淺析數學概念教學設計的解決策略

陳文生

摘??要：數學概念是數學思維的基本形式，是數學基本技能形成與提高的必要條件，作為數學教學不可或缺的一個環節，概念教學關系到學生能否弄清相關的數學知識，正確理解并熟練運用數學知識解決實際問題.在實際教學中，概念教學對例題引入和問題設計的局限性使并沒有發揮出來其價值，為此，本文主要對概念教學中例題設計和問題設計的解決策略進行分析.

關鍵詞：概念教學;例題設計;策略

數學概念是數學思維的基本形式，是基本技能形成與提高的必要條件，數學概念具有高度抽象性和概括性的特點，數學概念與它的性質、公式、定理密切連系，比如“對數”這個概念理解不透徹，那么“對數函數”這個概念理解也不可能到位，更談不上理解“對數函數的性質”;比如“等差數列”這個概念只要能準確理解和熟練掌握，那么等差數列的通項公式與等差數列前n項和公式就能推出和記牢;比如“直線與平面垂直”這個概念如果不能正確理解和掌握，那么“直線與平面垂直的判定定理”就談不上理解記憶，而只能是死記硬背。

因此概念教學在數學教學中的地位非常突出，不少教師也都非常重視數學概念的教學，并且很多有自己獨到的見解和體會.而筆者所教的學生是學前專業的，她們以后所從事的工作多數是幼兒教育工作，針對這種情況，我認為概念教學尤為重要，要擺在更加突出的地位。在這過程中發現，目前概念教學最大的問題并不是如何引人概念，如何剖析概念，如何應用概念;而是有一些教師沒有選擇恰當的例題與合適的問題設計，沒有意識到例題的重要性，僅僅是形象性地、比喻性地給學生解釋概念，所以教學效果不好，既不能使學生準確理解概念，也不能使學生正確掌握概念.為此，筆者就概念教學中的例題設計與問題設計環節來談談自己的心得體會。

（一）概念引入時強調產生這個概念的問題情境

從無到有，學生必須要有一個契合處，以緩解新的概念對思維產生的“碰撞”。概念的引人意在新舊知識點或數學模型中找到一個結契合點，以實現新知自然銜接、過渡的目的.從學生對知識的認知規律來看，對抽象、概括事物的認識、理解需要一個具體化、形象化的過程.因此，教師在概念的教學過程中，要想方設法借助學生熟悉的或引起興趣的問題情境選取較多的合適的例題與問題設計。

點滴滲透引出“數列”概念：

情景一、讓同學們看運載火箭發射升空倒計時10、9、8、7、6、5、4、3、2、1瞬間激動情景.讓學生從中抽象出一列數.

情景二、從古語出發：一尺之棰，日取其半.萬世不竭.讓學生做數學實驗“撕紙尺”。體會古語中的數學含義。

情景三、貼近學生的專業，分小組讓學生課前收集必須是帶數的兒歌，留作課上分享.然后在課上讓學生從兒歌中找出隱藏著數.將它們組合成一列列數。不同的學生會得到不同的一列數。通過上述事例引出數列概念的講解。

突出數學實驗情境引出“橢圓”?概念：

在上“橢圓”這個概念教學時，因為學前專業的學生每人都有一個畫板，所以數學教師上課時可以讓學生取出事先準備好的一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫板上的和兩點上，當繩長大于和兩點間的距離時，用2B鉛筆尖在畫板上繃緊細線慢慢拖動，這樣鉛筆就畫出一條曲線，教師問：同學們手中畫的是什么圖形？學生回答：這是橢圓。教師又問：你會畫橢圓嗎？學生回答：會畫。怎樣做才能使畫的圖形是橢圓？從而引出橢圓概念的講解。在講解“橢圓”概念時，引導學生理解畫板相當于平面，鉛筆尖相當于動點，細線繃緊相當于動點到兩定點和上的距離之和為定長。

問題設計引出“補集”概念：

觀察下面三個集合：U={x|x是學前一系18（1）班的學生}，A={x|x是學前一系18（1）班的男學生}，B={x|x是學前一系18（1）班的女學生}。分析上面三個集合U，A，B的關系，從而引出補集的概念。

創設問題情境和動手做數學實驗是概念引人中常用的方式方法，它不僅能夠為概念的導入做有效的鋪墊，而且還能夠引起學生的好奇心和求知欲。也能使學生對概念的理解起到很好的幫助作用。

（二）概念剖析時抓住概念內在含義和本質

引人概念之后，學生雖對其有了基本的印象，但仍處于初步理解的狀態，易出現概念的理解不到位現象，特別是數學概念大多抽象性和概括性較強，需要逐字逐句的分析、找出關鍵詞并剖析到位，只有這樣才能使學生準確理解和掌握它。

（1）剖析概念中關鍵詞的含義???準確掌握概念

某些關鍵詞能揭示概念的本質，之所以有些學生對少數概念理解不到位，是由于沒能抓住關鍵詞。比如說對原始概念的理解便是如此，從而為后繼知識的學習埋下隱患，使學習效果大打折扣.因此，教師必須要強調關鍵詞，并通過淺顯易懂的方式進行講解和剖析，確保每一位學生都能真正理解和掌握。

如在“集合”的學習中，要強調“集合”是一個原始概念，是不可能下定義的，因此不能用“叫做”這兩個字，只能用描述性的語言表述為：在一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體能構成一個集合。教師可通過實例：（1）我們班中的每一名學生都是確定的，而且也沒有相同的，因此我們班學生的全體能構成一個集合。（2）我們班中的漂亮的女學生是不確定的，因為“漂亮”這個詞沒有精確的定義，所以我們班漂亮的女學生不能構成一個集合。（3）“hello”中的英文字母的全體”能構成一個集合，因為該集合中的不同英文字母只能是h，e，l，o四個，盡管l這個字母在單詞“hello”出現過兩次，但也只能在該集合中看成一個。

通過以上實例讓學生們深刻理解“集合”這個概念中的“確定的”、“不同的”兩個關鍵詞的準確含義。

如在“數列”的學習中，數列的定義為：按一定次序排列的一列數.看似簡單的一句話，學生理解起來卻并不樂觀.很多學生對于“一定次序”四個字理解不到位，怎么樣才算是‘一定次序’？”教師可以通過書本中一個例子：我國參加6次奧運會獲金牌數依次為15，5，16，16，28，32，如果交換其中的數字5和16的位置，還能表達原來的含義嗎？

顯然不能，通過這個例子的講解來幫助學生理解“一定次序”的準確含義;“同學們都知道1，3，5，7，…是數列，那么1，3，1，3，1，3，…是否也算是數列呢？?2，4，6，8，10和10，8，6，4，2是不是屬于同一數列？”在學生分組討論之后，教師強調關鍵詞?“一定次序”的含義，這樣學生自然就能得出結論：如果組成兩個數列的數是相同的而排列次序是不同的，那么它們就是不同的數列;既然定義中并沒有規定數列中的數必須不同，那么同一個數在數列中可以重復出現。

（2）逐層分析，通過歸納現象找出規律，從而抓住概念的內在含義。

數學概念中符號式子具有高度的概括性，教師可以通過對符號式子進行逐層分析來理清概念的內在含義，從而達到抓住概念本質的目的.因此，教師在概念教學的過程中，要注意逐層地對概念進行展開分析整理，一方面深化學生對概念的理解和掌握，另一方面以培養學生思維的周密性、嚴謹性。

如在“奇函數概念”的學習中，教師可將其從圖形與數式兩方面進行分解，通過觀察圖形，發現當自變量取一對相反數時，通過計算得亦取得相反數，可得出它們關于原點對稱對稱;例如，，…，進一步分析可知圖像上的每一點關于原點都有對稱點，而每一點都和唯一的一個數對一一對應，也就是它們的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數，用數學式子可高度概括表示為：。同樣在“偶函數概念”的學習中，教師可讓學生仿照“奇函數概念”的講解過程進行類比對照理解學習。然后再強調：（1）式子中的與的含義是代表著定義域中的任意一對相反數，即“函數的定義域必須關于原點對稱”;（2）“定義域內任一個”是指對定義域內的每一個（3）判斷函數奇偶性的第一步是看定義域。通過這樣由表及里的剖析、講解，學生對概念的理解也能夠從表層深人到其本質。

如數列與數集的關系的學習，

解決方法：以問題串的形式，逐層深入探究數列與數集的關系.

問題1我們發現數列與我們學過的一個數學概念很像，那是什么？

是數集。

問題2它們一樣嗎？能總結出二者的區別嗎？不妨小組討論一下.

不一樣。數列中的項要求按“一定次序”排列，數列中的項可以重復;數集中元素的排列不要求按次序排列，但數集中的元素不允許重復。

問題3數列不同于數集，最根本的原因是？

數列要求序號和數是一一對應的，即序號和項是一一對應;而數集沒有以上要求。

從而又引出數列與函數的關系的學習

解決方法：以問題串的形式.逐層深入探究數列與函數的關系.

問題1函數有三要素，哪三要素？

問題2數列與函數的關系？

數列是特殊的函數：數列可以看成以正整數集（或它的有限子集{1，2，3，…，k?}）為定義域的函數，當自變量按從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值。

如數列?3，5，7，9，11

它可以看成自變量為的函數，即

（3）注意概念比較、歸納，區分概念的異同。

數學中有些概念之間聯系緊密，在表述上也只有微小的差別.不少學生對概念的記憶是機械的，因此常常把一些相似概念搞混淆.為了避免學生犯此類低級錯誤，教師在概念的教學過程中，要注意相似概念之間的比較，并通過歸納、總結概念之間的異同，來揭示它們之間的聯系和區別.

生活用語中的“或”與邏輯用語中的“或”的區別：生活用語中“或”的含義為兩者之一，不兼有;而數學的含義為兩者至少有一個，可兼有。

命題的否定與否命題的區別：命題“大于1的數是正數”的否定是什么？其否命題是什么？命題的否定：大于1的數不是正數;其否命題：不大于1的數不是正數。命題的否定只否定結論;否命題則既否定條件也否定結論。

（三）概念應用時注重探究質疑

概念的應用是用來檢驗學生在現實生活中對已掌握的概念運用情況，看看學生能否達到徹底吃透和掌握概念.概念應用階段是從教師講授到學生自主探究的過程.從“概念引人”到“概念分析”，教師對學生的知識輸人已達到飽和狀態，此時教師要將自主權交還給學生，使他們最大限度地發揮自主性，以概念為切人點，對新知進行探索，從而避免學生學習走人“紙上談兵”的誤區。

（1）倡導自主探究、協作交流

自主探究、合作交流是概念應用過程中極其重要的一個環節，隨著學生對概念認識的深化，以概念為抓手的數學探究活動對于發散學生的思維、提高他們合作探究的能力具有重要的作用.因此，教師要在應用的過程中給學生創造廣闊的自主探究平臺，使學生在動手操作、協作交流討論的過程中對概念有更深層次的認識和理解。

如在學習“數學建模”概念課時，案例為利潤最優化模型。

【問題表述】

上海某一個五星級賓館有1500個客房。經過一段時間的市場調查，客房部經理得到一些數據：如果每間客房定價1600元，住房率為55%;每間客房定價1400元，住房率為65%;每間客房定價1200元，住房率為75%;每間客房定價1000元，住房率為85%。欲使每天收入最高，問每間住房的定價應為多少？

【模型分析】

從材料中你能獲得并收集到哪些有用的信息？首先，旅館的入住率是隨著客房定價的增加而降低的;其次，入住率是隨著客房定價的增加呈現的是線性遞減趨勢。

【模型假設】

為了便于建立旅館的收入模型，特做如下假設：

假設一??再無其他信息時，不妨假設每間客房的最高定價為1600元：

假設二??根據經理提供的數據，設隨著房價的下降，住房率呈線性增長：

假設三??設旅館每間客房定價相等。

【模型建立與求解】

從假設和已知數據中能得出一些有用的東西嗎？未知量與已知數據有什么聯系？根據題意，設旅館一天的總收入為y元，而為與1600元相比降低的房價。

由假設二，可得每降低1元房價，住房率增加為【模型討論】

能用具體數據檢驗這個結果嗎？列舉幾個定價可以得到如下表所示的總收入：

實際上，1366875元在已知各個定價對應的收入中是最大的，但是不可能實現，因為定價為1350元，收入至少是10的倍數，這是理論與實際的差距。

【建模體會與反思】

用函數的方法研究實際問題能夠獲得最大利潤，能夠解決最優化問題，盡管得到的結果可能與實際有出入，但是，它的建模和求解過程已經告訴我們答案了：數學是有用的，數學是可靠的。傳統數學應用題的問題明確，條件一般都是充分的，而數學建模的問題一般來自實際，問題中的條件往往是不充分的、開放的或多余的，有時甚至要求學生自己動手去收集數據、處理信息。在建模的過程中作一定的假設是必須的，而傳統數學應用題一般不需要假設。數學建模的討論與驗證比傳統數學應用題的檢驗要復雜得多，不僅要驗證所得到的模型解是否符合，而且要考察它們與假設是否矛盾，與實際是否吻合等等。

通過小組成員之間的合作與探討從而加深對“數學建模”含義的理解。

（2）辨析質疑

正如亞里士多德所說：“思維從疑問和驚奇開始.”反思、質疑是數學學習深化的重要途徑.在質疑的過程中，學生往往能夠在細小的“漏洞”中，發現數學問題，窺見具有一般性的數學規律.因此，教師在概念的應用過程中要鼓勵學生敢于質疑、敢于發問，以培養他們的思辨能力和質疑精神。

如在學習“函數”的概念之后，不少學生雖然對“定義域”印象深刻，但在實際做題目的運用中往往拋之腦后，忽略了定義域優先的原則.可以通過下面例題進一步加深對定義域優先的理解。

例如：判斷下列哪些函數與是同一個函數你？說明理由

當做上述例題出現錯誤時，教師不必馬上點評，可以讓學生慢慢爭論理會，使同學們深刻理解函數概念中定義域和對應法則的重要性。

除了上述解決方法外，概念教學中的例題設計還有很多應當值得注意的地方，筆者也不可能一一窮盡，謹以此文來達到拋磚引玉吧！總之，關鍵都在于要以學生為主體，尊重學生學習的實際，體現出數學學習的本質。