a^c與c^a的比較大小問題的一點(diǎn)思考

李源

摘 要：本文研究ac與ca的比較大小問題通過引入輔助函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性解決大小比較問題。

關(guān)鍵詞：對數(shù)函數(shù);單調(diào)性;摘帽公式

在多年的教學(xué)生涯中筆者經(jīng)常遇到這樣的問題：

例1：請比較與的大小，這類問題通常使用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性將就能夠得到順利的解決，下面我們簡單解答一下這個問題：

因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，又>，所以>.又因?yàn)楹瘮?shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，且>所以>，

所以>.

這么看來類似這樣比較形如ab與ba大小的問題也不難嘛，只要利用單調(diào)性進(jìn)行正確的放縮就可以了，那么下面我們再來看一個問題：

例2：請比較43.3與3.34的大小

讀者不妨用上述方法試一試很容易發(fā)現(xiàn)上述的方法不靈了，原因就在于前面例子中所使用的兩個函數(shù)單調(diào)性相反，這樣的話兩個待比較的數(shù)字正好一個大于中間數(shù)，一個小于中間數(shù)，從而使得問題得以解決，而在這個例子中所能涉及到的四個函數(shù)無一例外的在上都是增函數(shù)，從而使得待比較的兩個數(shù)字要么都大于中間數(shù)，要么都小于中間數(shù)從而使得問題無法得到解決，那么到這里也許部分讀者會說反正數(shù)字也不大，大不了動筆算，可是在不借助計(jì)算器的情況下我們能準(zhǔn)確算出43.3的大小么，更不要說計(jì)算類似大小了，那么這樣的問題又該如何解決呢？下面我們再看一個問題.

例3：請比較6677與7766的大小.

這回別說計(jì)算器了一般的計(jì)算機(jī)也無法處理這么大的數(shù)字，做商比較也很困難，有一些現(xiàn)行的比較方法但大都強(qiáng)調(diào)技巧性，有沒有一種通用的簡便方法呢，筆者經(jīng)過長時(shí)間的思考與探索偶然發(fā)現(xiàn)了一種方法可以較好的解決此類問題。

我們知道用利用函數(shù)的單調(diào)性方法是高中數(shù)學(xué)一個常用的方法，本例中前文已經(jīng)說明指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)不適合此種題目，那么作為高中函數(shù)另一種重要函數(shù)的對數(shù)函數(shù)是否可以處理此類問題呢，我們知道本例之所以難處理其中一個重要原因就是指數(shù)太大，而利用對數(shù)函數(shù)中的“摘帽”公式“”可以輕松的把指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)“化大為小”的目的。

回到本例中的問題，我們對兩個數(shù)字同時(shí)取以e為底的對數(shù)，問題就變成了比較ln6677與ln7766的大小，進(jìn)一步變成比較77ln66與66ln77的大小，到這里我們不妨假設(shè)77ln66>66ln77，變形得，這樣的話就化成了類似函數(shù)的形式，接下來只需要利用導(dǎo)數(shù)工具研究這個函數(shù)的單調(diào)性也就可以了。對函數(shù)求導(dǎo)得

令f'（x）>0，即1-lnx>0，解得0

令f'（x）<0，即1-lnx<0，解得x>e.

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以f（66）>f（77），即，從而問題得證.

我們不難發(fā)現(xiàn)通過這個方法我們可以得到以下結(jié)論：

1.若0

2.若則有.

這個結(jié)論僅僅適用于a、b在e的同側(cè)的問題，對于在e的異側(cè)的問題不適用，比如比較42.3與2.34的大小，這種情況筆者未能找到通用的方法，期待各位同仁繼續(xù)研究此問題.