函數單調性在解題中應用

劉經平

函數單調性在解題中有十分廣泛的應用，有些表面上似乎與函數無關的問題，只要精心觀察、深入挖掘、廣泛聯想，適當構造函數，轉化為函數問題，利用所構造函數的性質去解決，常常可化難為簡，化繁為簡，獲得意想不到的效果

1.利用函數單調性比較數值大小

例1.如果f（x）=x2+bx+c對任意實數t都有f（2+t）=f（2-t），則有（ ）

A.f（2）

B.f（1）

C.f（2）

D.f（4）

解：由題設知f（x）的圖象是開口向上且以直線x=2為對稱軸的拋物線，易見f（x）在[2，+∞）上為增函數，并且f（1）=f（3）

2.利用函數單調性解不等式

例2.解不等式4x+log3x+x2>5.

解：f（x）=4x+log3x+x2的定義域為（0，+∞），且在（0，+∞）上是增函數，又f（1）=5，故原不等式f（x）>f（1）x>1，故不等式的解為x>1.

3.利用函數單調性解方程

例3.解方程

解：令，則x=92t，原方程化為log12（9t+3t）=t，即，顯然當t=1時，方程成立。

設，因為兩個函數都是減函數，故當t>1時，當0

4.利用函數單調性求參數的范圍

例4.不等式1+2x+a4x>0在總成立，試求a的取值范圍。

解：將已知不等式化為，因（）x，（）x同為減函數，則時，有最大值-，∴a>-.

5.利用函數單調性求函數最值

例5.若，求函數的最小值。

解：設，則。原函數式化為，配方得。易見，并且在時，y關于t單調遞增，所以，當時，達到最小值，所以函數的最小值為。

函數思想是中學數學的重要思想，培養學生使用函數思想的意識，提高學生運用函數性質解題的能力，是中學數學教學的基本要求。考查學生能否較好地運用函數思想和函數性質解題，是對學生能力考查的重要內容.適當構造函數，轉化為函數問題，利用所構造函數的性質去解決，常常可化難為簡，化繁為簡，獲得意想不到的效果.