立足課標?突破囿限?培養學生思維能力

羅萬良

【摘要】在數學課堂教學中，“用數軸上的點表示無理數”這一內容的教學，往往容易呈現偏差，或過于簡單，一帶而過；或過于復雜，但又不注重通過教學發展學生的思維能力。本文在課標研究基礎上，著眼于發展學生思維能力的角度，對這一內容教學進行了設計，并得出教學啟示。

【關鍵詞】初中數學；課標；無理數；思維能力

“用數軸上的點表示無理數”是北師大版初中數學教材八年級上冊《實數》一章的第六節內容“實數”中的“議一議”。按照教材安排，這個內容與實數概念、分類運算規律律等為同一節課。對于剛剛在第一節認識無理數、剛剛學習帶根號的無理數的學生來說，這樣的教學內容無疑是教學難點。在聽取兩位青年教師的講課后，發現不少問題。他們的共同特點是：把知識教“狹窄”了——僅手把手教學生畫 ，把知識教“呆板”——只教作圖程序知識，沒有教分析方法、思維方法。如何透過這個難點培養學生思維能力？為此，筆者提出以下教學策略來突破難點、培養思維能力。

一、設計培養思維能力的教學序列，巧妙突破策略

1.于自主探究中發展思維能力——由形到數

①教師提出問題：直角三角形的兩直角邊分別為1、1，斜邊長是多少？這是個什么數？運用什么知識求解？發現什么方法？

【設計意圖】學生計算，得出。明晰的長度可以通過畫直角三角形來獲得，揭示勾股定理在這里的運用價值，初步掌握這種畫圖分析方法。

②通過以下三組探究，發現更多的無理數的畫法。學生獨立操作，畫草圖分析，然后交流。

第一組：從兩直角邊分別為1、2，1、3……1、10。

第二組：從兩直角邊分別為1、1，2、2，3、3……10、10。

第三組：從兩直角邊分別為1、2，2、3，3、4……9、10。

【設計意圖】第一組可以畫出的數是 （可以化為 的倍數）. 第二組可以畫出的數是 ，它們可以化為的倍數。第三組可以畫出的數是 。通過學生操作，達到四個目的：一是真切地直觀地感受到帶根號的無理數的長度；二是經歷大量的畫草圖分析的過程，熟練地用勾股定理求出直角三角形的斜邊長，了解不同的無理數的長度 “是怎么來的”，即感受借助這種數學模型思考；三是發現這種數學思考模型所列出來的無理數并不齊全；四是把學習主動權還給學生，讓學生經歷探索過程，通過切身體驗發現方法、獲得知識。

2.于分析數構造形中培養思維能力——由數到形

任意給出一個帶根號的無理數，倒過來想，勾股定理的計算過程怎么會得出這個結果，然后再由此還原這個帶根號的無理數屬于什么形狀的直角三角形。

教師提出分析樣例：的分析過程。根據勾股定理a2+b2=c2， （）2=10.思考，哪兩個數的平方和是10呢？12+9，22+6，32+1。但要滿足，兩個數都必須是某個正整數的平方，由此想到，12+9，即12+32，此時，1和3就是直角三角形兩只角邊的長。簡要表述為：對于 我們可以思考哪兩個數的平方和等于10，通過實驗、計算，找到符合條件的兩個數，它們就是以 為斜邊的直角三角形的兩條直角邊。接下來，請學生分析至中帶根號的無理數的情況。發現在需要分析 這些數中，只有可以使用上面的方法。也發現 可以用勾股定理的變形式來思考。其他可以在此基礎上，借助一些簡單無理數的長度再次構造直角三角形來實現。

【設計意圖】從給定的帶根號的無理數進行分析，還原該無理數代表的線段所在的直角三角形，從而把“數”轉化為“形”，用線段表示線段的長度，為在數軸上找到這個無理數的位置打下鋪墊。同時，也為分析帶根號無理數“由數化形”找到解決此類問題的一般性方法。

3.于動手畫圖中感受對應關系培養思維能力——數形結合

①特例的準確對應

上面，通過畫直角三角形的方法，得到一些斜邊是帶根號的無理數，如何把它們畫在數軸上呢？

方法一：畫好后，借助圓規“量”，然后在數軸上截取即可。

方法二：把直角三角形畫在數軸上，然后用圓規在數軸上畫弧，把長在直角三角形上帶根號的無理數那段長度“轉”到數軸上。

②在數軸上標注任意帶根號的無理數的大致位置

師生一起分析至中帶根號的無理數如何在數軸上大致表示出來。

教師以為例，它在與之間，即4與5之間，但靠近4。其他的都由學生來分析，并標注在數軸上。讓學生感受到實數與數軸上的點的一一對應性，在直觀體驗中，增強學生的數感。

【設計意圖】前面學習過在數軸上表示有理數，學生已經知道，整數可以比較準確地在數軸上表示出來。而無理數，是否能在數軸上表示？通過第一個問題“直角三角形的兩直角邊分別為1、1，斜邊長是多少？”已經有了初步了解，但還不是很清楚。通過畫圖教學，啟發學生：無論是無限不循環小數形式，還是帶根號形式，都不能準確表示，只能大致表示。

二、教學反思

1.以上教學序列是否符合課標要求

課標的要求是“知道實數與數軸上的點一一對應”。教材給出的畫法，課外練習只要求在數軸上找到的點。教師用書對此的教學目標沒有明確給出。在設計目的處是這樣說的：“目的在于引導學生將實數和數軸上的點建立一一對應關系。這種關系的建立，將‘數’這一代數對象賦予了‘點’這一幾何特征，實現了數與形的結合。”“這里先給出一個無理數的數軸表示，然后再讓學生類似地在數軸上表示另外一個無理數。由此推想，無理數也可以用數軸上的點表示，從而初步獲得對‘每個實數都可以用數軸上的一個點來表示’的感性認識”。也提到，“初中階段無法嚴格說明它們的正確性，教學時可結合具體例子讓學生感受，不要深究”。基于以上要求，教學這一內容時，不必舉出學生難以在通過作業本畫出的無理數，也不必給出太多這樣的畫圖訓練，更不必介紹如何進行嚴格說明或證明。

對照以上要求，反觀以上教學序列，可以發現，這樣的教學把知識教“寬廣”了——找到畫出帶根號的無理數并標到數軸的通性通法；把知識教“活”了——教作圖程序知識只是示范，更多地是從學會分析問題的方法和數學思維方法。僅從知識的量的角度去思考，這樣的教學已經超過了課程標準的要求，但從課標的基本理念來說，借助一定的數學知識的教學，讓學生經歷探索發現來獲得數形結合的思想方法、學到解決一類問題的通性通法、發展學生高階思維能力、培養“四能”，這樣的教學又是符合課程標準的要求的。這樣的教學又何樂而不為呢？當然，可以視學生的實際情況，把這樣的教學放在課堂上或者放在數學興趣小組教學上。

2.得到的啟示

以上對一個教學內容進行的分析思考，可以得到兩點啟示：

①在教學前要善于制定準確的教學難點，要想方設法尋找最佳的突破策略。以上提供其中的一個突破策略，在實際教學實施中表明，其教學效果大大激發學生的探究熱情，取得較好的學習效果。不同風格的教師一定還有更多更好的突破策略；

②備考時要吃透課程標準要求。要深度理解教材的基礎上，對教學內容進行整合、拓展，讓教學過程成為發展學生思維能力的過程，使學生學會用數學的方法進行分析思考。