數學解題對應說

王寧珍

如果把數學的解題過程作為一個獨立的對象來研究，其本質是尋找一類對應。在很多的解題方法中，大部分同學只用到一種對應關系解題。在小學數學中，解決問題實際大部分有對應規律，只要應用這一規律，解題就會變得簡單，具體的解法從宏觀上講，有兩種類型。

第一，是從已知條件中找到對應的數量關系式。

這個方法是較常用的一種。有一部分應用題，根據已知條件的結構特征，內容大部分是圍繞對數量關系式的應用來展開的，例如：功效×時間=工作總量、速度×時間=路程、單價×數量=總價，倍數、和倍、差倍問題，周長、面積、體積計算問題，植樹問題等，這類題都有數量關系式和公式，在已知條件上具有一定的對應關系，什么結構的式子用什么樣的表達式，這是我們常用的一種解題方法，相對來說比較簡單。

例如：甲在乙后面28千米處，兩人同時同向而行，甲每小時行16千米，乙每小時行9千米，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行16-9千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。已知甲在乙后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所需要的時間，根據數量關系：路程=速度×時間可列對應關系表：

由此算出：28÷（16-9）=4（小時）

第二，是從文字中找到對應的數學表達式。

這是我們要鉆研和研究的對應關系，即找到一個從文字到數學表達式的等價對應，或者說是一一對應，也就是常說的數學化。簡單的一種：列方程解應用題，首先是未知量與字母x對應（設未知數，我們常用x、y等字母），然后是其他相關量與含x的代數式對應（表達相關量，這一過程很重要），最后是這些代數式與題目中的等量關系對應（產生方程）。數學的學習過程相當于尋求這些對應。

例如商店運來8筐蘋果和10筐梨，一共重820千克。每筐蘋果重45千克，每筐梨重多少千克？

對應關系：

解：設每筐梨重x千克

45×8+10x=820

從這個角度來說，數學解題是一個翻譯過程，因此說數學是一門語言。當學生用對應法解題熟練后，就會體會到這樣一個程序化的過程，數學的任務是尋找各類公式、定理，盡可能地用這些來表達整個世界！從這方面理解數學知識的產生、形成與發展的過程，既簡單又是對數學內容更深層次的理解。當然有些題要找到對應關系就需要把已知條件進行等價變形，轉換思維，才能成為對應關系。例如：

1.30輛小車和6輛卡車一次運貨90噸，45輛小車和6輛卡出一次運貨120噸。每輛卡車和每輛小車每次各運貨多少噸？

對應關系：

比較條件，看看什么量變了，什么量沒變，兩個變化的量之間的關系是什么？從對應量的變化，可以看出（120-90）噸正好與（45-30）輛小車的載重量相對應，因此每輛小車每次可以運貨（120-90）÷（45-30）=2（噸），那么每輛卡車每次可以運貨（90-2×30）÷6=5（噸）

2.同學們采集植物標本，六年級采集了120件，比五年級的3倍少36件。五年級采集了多少件？

對應關系：

五年級采集的標本數看作1倍量，那么3倍量所對應的是（120+36）件，所以五年級采集的標本數是（120+36）÷3=52（件）。

這樣就可以大大減小解題難度。著名數學解題大師唐以榮曾在他的著作中提到“數字解題其實質就是變形的藝術”。只有找到對應關系，才能體現出智力活動源泉這一基本思想。

小學解決問題中，有一半以上數學題都能尋找到一種對應，或者稱之為信息加工，所謂信息加工就是對題目表象的文字、數據、情景圖片等做諸如組合、分離、焦點關注等深層次的思維加工，從而產生認知上的相同或相似，但這些相同或相似不一定是數學的。原有的知識基礎和生活經驗，都可以找到不同的對應關系。但有些題可能導致不同認知。這些不同的認知，有些對數學有用，具有正遷移的作用，可以誘發學生創新認識，拓展空間;有些對數學解題無益，尤其是那些錯誤的認知。從無知中走出來是相對較容易的事，但擺脫誤知是相當困難的。要找到一條繞過障礙的出路，能讓學生正確解決問題，用對應關系解題是培養學生解題能力的主要途徑。但同一個問題，可能不同的人從不同的方向理解成不同類型的問題，這樣就產生了一題多解，也就出現了數學解題的多樣性，這恰恰是數學追求的境界。但大部分學生做到這一點較困難。

總的來說，用對應法解決問題是一個高度抽象的問題轉化成簡單的概括。要找到解題對應關系，使學生成為有效的問題解決者，是對教師的挑戰。教師在教學中就要運用這一方法作為切入點，探究對應關系，尋找規律，發現規律，運用規律，培養學生逐步從中領悟這一規律和解決問題的能力，是數學知識進行潛移默化的另一種牽引，增加了解決問題的解題精髓，努力幫助學生不斷實現自我超越——贏自己，學有道。

參考文獻：

[1]中國教師智庫數學配人教版四年級下《鼎尖教案》[M].延邊教育出版社，2017-12.

[2]《課程標準教案》數學五年級下適用人教版[M].上海交通大學出版社，2017-3.

編輯 郭小琴