立足核心素養 精心設計課堂

李雪靜

摘 要：完全平方公式是蘇科版數學七年級下冊第九章《9.4乘法公式》的一個內容，同時也是本章《9.5多項式的因式分解》里的一個內容，所以，本節課的學習要讓學生充分地了解這節課的完全平方公式是“整式乘法”里的“完全平方公式”，同時，教學中還要注意公式結構特征的滲透.就整個初中階段而言，完全平方公式起著舉足輕重的作用，它是打開代數寶庫的一把金鑰匙.

關鍵詞：七年級數學;完全平方公式;設計;實驗操作;引導

一、教材分析

《9.4乘法公式（1）——完全平方公式》是蘇科版七年級下冊的內容，是繼《9.3多項式乘多項式》后再學習的一種特殊的兩個相同二項式的乘法，進而得出完全平方公式.完全平方公式在這一章起著承上啟下、舉重若輕的作用，它不僅給我們帶來運算的簡便，而且逆向應用還可進行后面因式分解的教學.正因為公式的重要性，所以在上課時選用數形結合和多項式乘法兩種方法推出公式.前者是借助圖形讓學生對完全平方公式有一個直觀的認識，后者則是從特殊的整式乘法推出公式，以利于學生理解公式的幾何、代數意義.這兩種推理不僅可以培養學生的符號意識，而且還可以使學生進一步感受數形結合、由一般到特殊的數學思想.

教學目標：（1）理解、掌握完全平方公式及結構特點;（2）經歷探索完全平方公式的過程，進一步感悟數形結合的思想，發展符號感和推理能力，了解化歸思想;（3）能正確運用完全平方公式進行計算.

教學重、難點：能夠熟練掌握完全平方公式，正確運用完全平方公式進行計算.

二、教學設計

布魯納曾說過：“學習者在一定的問題情境中，經歷對學習材料的親身體驗和發展過程，才是學習者最有價值的東西.”基于這一理論，故創設問題情境時，要從符合當前學生的興趣入手，這樣才能使學生人人都積極參與課堂，人人都有所發現.

1.創設情境 激發興趣

本節課引入從學生所熟悉的、感興趣的事物入手，播放動畫視頻《阿凡提》片段：從前有一個貪心的財主，人們叫他巴依老爺.巴依老爺有兩塊地，一塊面積為a2，另一塊面積為b2，而阿凡提只有一塊地，面積為（a+b）2.有一天，巴依老爺眼珠一轉對阿凡提說：“我用我的兩塊地換你的一塊地，可以吧？”如果你是阿凡提，你會和巴依老爺換嗎？

通過動畫視頻播放拋出本節課的問題，可以激發學生興趣，勾起學生解決問題的欲望，讓學生積極地參與課堂;同時也為本節課的學習埋下伏筆.

2.探究活動

（1）實驗操作 得出新知

在探究學習的過程中，學生會通過自己的親身體驗、動手操作、小組合作交流，主動地去發現問題，并創造性地解決問題.所以，以學生為主體通過實驗操作進行自主探究：（a+b）2與a2+b2哪個大？

準備材料：邊長分別是a、b的正方形彩色卡片各60張，寬為a、長為b的長方形彩色卡片120張.

操作方法：可將學生按照4人一組進行分組，每人發放寬為a、長為b的長方形卡片2張，及邊長是a或b的正方形卡片1張，用手中的卡片和組員協作進行拼圖，來解決提出的問題.并請一位同學將拼圖的結果張貼在黑板上.

學生借助拼圖，更加直觀、形象地發現（a+b）2≠a2+b2，而是前者比后者多了2ab，預設問題得以解決.在解決問題的同時，逐步引出今天所學內容.實驗操作，不僅可以調動學生的積極性，讓每位學生參與其中，大大提高課堂效率，激發學生的思維，而且使學生更容易理解、掌握完全平方公式及其結構特點;同時還可活躍課堂氣氛，培養學生的合作、交流意識，正所謂“一舉多得”.

（2）乘勝追擊 激發思維

除了用拼圖的方法解決這個問題，你可以用代數的方法嗎？請同學上來展示（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

即（a+b）2=a2+2ab+b2

從代數的角度，通過整式的乘法再次得出公式，讓學生充分了解完全平方公式其實就是兩個相同二項式相乘的這一特殊的乘法形式，進而加深本節課所講內容是“整式乘法”中的“完全平方公式”;同時，為后面即將學習的因式分解也奠定了基礎.這樣，完全平方公式的兩種證明方法——幾何圖形、代數方法得以完美呈現，學生也理解了完全平方的幾何意義和代數意義.

與此同時，教師還要強調等號的右邊，積的2倍里的數字“2”是這個公式中唯一的一個常數，可為今后公式的逆向應用等后續的學習打下良好的基礎.為了鞏固這個公式，不妨做一些簡單的計算.

計算（1）（x+y）2 （2）（a+1）2 （3）（2+m）2 （4）（2x+1）2

最后教師總結：公式中的字母a、b不僅可以代表單獨的一個字母，還可以代表單獨的一個數，甚至是代數式，以加強符號意識;為后面（a-b）2的推理埋下伏筆.

（3）小試牛刀 關聯知識

例1 計算（a-b）2

在做本題時，可以先請學生討論，這時，學生可能會有兩種做法：一種是按照平方的定義轉化成（a-b）（a-b）計算，一種是將兩數差的平方轉化為兩數和的平方計算;教師可請兩種不同做法的同學演板，讓學生找出最優化的計算方法，同時向學生表明老師比較傾向于將減法轉化為加法的這種計算方法，可以回避“-”，避免符號出錯.

這個例題的設計，既鞏固了兩數和的平方公式，又推出了兩數差的平方公式，達到完善完全平方公式的目的;同時，還有利于引導學生感悟轉化的數學思想和建立知識之間的內在聯系.

解：（a-b）2=a+（-b）2=a2+2·a·（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2

學生演板后教師總結，并在黑板上板書兩個公式.這種做法既可以突出本節課的重點，也便于學生清晰理解、掌握公式.

（4）層層設疑 深化公式

為了讓學生對公式的形式特征及結構有更深刻的認識，便于熟練掌握、應用公式，特設置以下兩個問題：仔細觀察公式，小組討論并回答：

問題1 你可以用語言描述完全平方公式嗎？

問題2 你能說出公式的結構特點嗎？

教師根據學生實際情況，適時地引導學生進行觀察.

最后，做出總結：（首±尾）2=首2±2首尾+尾2

并重點強調，“2首尾”前的符號取決于左邊二項式的運算符號，前面是“+”，積的2倍則用“+”，前面是“-”，積的2倍則用“-”.簡言之：首平方，尾平方，積的2倍加（減）在中央.

（5）應用新知 鞏固深化

練一練 下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正.

①（x+y）2=x2+y2? ②（x-2y）2=x2-2xy+4y2? ③（2m+n）2=2m2+4mn+n2

根據教學經驗，特選用以上幾道典型的學生易錯題進行辨析，以加強對公式的理解和掌握.待學生完成后，教師總結：

完全平方的結果是三項（首2、2首尾、尾2）、乘積不忘乘2倍、2m要整體乘方.

在辨析題后，設計利用完全平方公式計算的例題以鞏固.

例2 利用完全平方公式計算：

（1）（5+3p）2 （2）（2x-7y）2 （3）（-m+2n）2? （4）（-2a-5）2

第（1）題可以由教師帶領學生一起來分析，找準首項、尾項，再決定乘積的2倍用加法還是減法，然后教師把這道題目的計算過程寫在黑板上作為范例.

其他三道題目讓學生自己在下面做，然后老師巡視下面學生的完成情況.在巡視的過程中你會發現第（3）題同學們有兩種做法：一種是直接使用完全平方公式中和的形式計算，還有一種做法是利用交換律將題目轉化成（2n-m）2，利用公式里差的形式計算;同樣，第（4）題也是兩種解法：一種是直接按公式里差的形式計算，一種是利用平方這個偶次冪將其轉化到相反數的平方上去做，即轉化成（2a+5）2計算.教師把這兩道不同解法的同學請到講臺上板演或把解題過程投影，讓學生自己比較哪個做法更簡單.并請同學們談談自己對以上4道例題的收獲.最后，教師對例題做出總結：

①注意完全平方公式的結構特征，結果是三項——首平方、尾平方、首尾的2倍;乘積不忘乘2倍、2倍的符號;代數式整體乘方;

②最后兩道例題老師傾向于轉化的這種做法，可以有效地把“-”規避掉，符號不容易弄錯，也讓計算得以簡便;

③通過以上題目的解法，今后我們遇到的用完全平方公式計算的題目最終都可以轉化為（a+b）2、（a-b）2這兩種形式進行計算.

通過學生以上練習、小結和教師的歸納總結，教師可再設置幾道練習以鞏固公式及計算方法.

3.拓展延伸 鞏固提升

例3 用簡便方法計算 982

分析 本題是計算一個數的平方，應用今天所學的知識，只要把982寫成兩數和或兩數差的平方就可以了.觀察可以發現，把98寫成100-2最為簡便.

解：982=（100-2）2=1002-2×100×2+22=9604

接下來，教師可以請學生出一道用簡便方法計算的題目，其他同學來求解.讓學生感受從學知識到用知識這樣的轉變過程，體驗學習的快樂，同時活躍了課堂氣氛.

想一想 你會計算（a+b+c）2嗎？

這個問題比例3更加難一些，需要學生在大腦里經過分析、類比等，將信息進行整合、加工、轉化方可計算.教師可根據學生實際情況，適時地加以引導，比如：完全平方公式是兩個數和的平方，而這道題目是三個數和的平方，能否將三數和轉化為兩數和呢？經過這一提示，掌握得好的學生立馬就可以用加法的結合律將其中兩個數的和（a+b）看做一個整體，從而將（a+b+c）2轉化成（a+b）+c2，兩次使用公式就可以了.通過這道題目幫學生再總結一下字母的含義，加強符號意識，讓學生再次體會整體思想、轉化的數學思想.

4.布置作業

作業：完成課時學案.

三、設計理念

數學教育家斯托利亞爾指出：“積極的數學教學，應是數學活動（思維活動）的教學，而不是數學活動的結果——數學知識的教學.”所以，教學設計要重視學生對所學知識的參與、體驗程度;要本著符合學生的認知特點、順應學生思維發展的目的而設計;同時要對課堂教學內容進行優化重組——精選例題和習題，要緊緊圍繞教學重難點有針對性地、合理地設計問題和活動.當一切都在適當的問題引領之下、學生的積極參與之下、教師的適當點撥下自然生成時，學生的主體作用得以體現是水到渠成的事.整個教學過程，學生體驗到了知識的生成過程，感受到了數學知識的來龍去脈，也體驗了思維的過程，感受到了數學思想，必會實現教師和學生教學相長.

參考文獻：

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編輯 郭小琴