圖論及其應用課程教學的思考與探索

陳莉莉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 圖論及其應用是數學專業的一門選修課程，該課程與實際生活有密切的關系。同時圖論中有許多經典的結論，這些結論的證明蘊涵著巧妙的數學方法，能夠鍛煉學生嚴謹的邏輯思維能力。探索如何設計該課程，既能體現圖論的廣泛應用性，也能培養學生的數學思維。

[關? ? 鍵? ?詞]? 圖論及其應用;邏輯證明;數學思維

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）19-0166-02

一、引言

圖論及其應用是數學專業的選修課程，一般開在大三下學期或大四上學期。該課程只需要一些集合、二元關系和線性代數等知識，不需要高深的數學工具。圖論在現實生活中的應用十分廣泛，很多問題都能用圖模型解決。而圖論又與計算機網絡密切相關，由于計算機的快速發展，圖論也隨之迅速發展，成為數學領域中一個重要的分支。在圖論發展過程中產生了許多重要的理論和方法，近些年的數學競賽和數學建模中常常會用到圖論的理論和方法來解題。對這些理論和方法的學習是這門課的主要目的。在對理論的學習過程中會涉及許多證明，而證明又是學生不愿意聽的內容。因此如何設計課程，既能夠突出應用，也能鍛煉學生的邏輯嚴謹性，是本文所要探討的問題。

二、教學的現狀及存在的問題

（一）課程性質

圖論及其應用是數學學院為信息與計算科學、數學與應用數學專業開設的專業選修課。該課程的目的是使學生全面了解圖論的歷史、現狀與未來發展趨勢，系統掌握圖論及其應用中的基本概念、結論和方法，了解一些常用的算法及其思想，培養學生利用圖論解決實際問題的方法和技巧。但由于這門課是選修課且安排在大三下學期，大部分學生都開始準備考研，他們選擇這門課程主要是為了修學分，只要課程成績及格就可以。因此，大多數學生只是每節課都來聽聽課，課后不會花更多時間去學習這門課。所以作為教師，如何利用課堂的時間讓學生能掌握相關知識，同時又能調動他們的上課積極性，是需要深入思考的問題。

（二）使用的教材

目前大部分圖論教材都是給研究生編寫的，最經典的是Bondy和Murty著的Graph Theory with application（1976年），經過了30多年的發展，該領域增加了許多新的內容，于是他們在2008年出版了新書Graph Theory，該書在1976年版的基礎上加入了許多新的內容，同時也單獨給出了許多證明技巧。但這本書內容太多，不適合本科生學習。國內比較常用的有中國科學技術大學出版社出版、徐俊明編著的《圖論及其應用》和東南大學出版社出版、卜月華等人編著的《圖論及其應用》。這些教材的主要內容和經典圖論教材的一致，主要介紹了圖的基本概念、樹、連通性、Euler環游和Hamilton圈、匹配、染色及平面圖等。徐俊明編著的教材是在每章前幾節先介紹基本概念，后幾節介紹應用;而卜月華等人編著的教材是將應用穿插在每一節中。作為選修課，我比較傾向邊講概念邊介紹應用，因此我選擇卜月華等編著的這版

教材。但教材涉及的內容還是比較多，有的證明也比較長，要在一學期學完必須刪減部分內容。目前適合本科生的教材還相對比較少。

（三）教學中存在的問題

圖論是應用性很強的一門學科，但是作為教師一直都在學

校環境中長大，對實際的應用了解較少，都是通過書本和研究內容中去了解圖論的進展，因此對實際應用的例子掌握較少，上課舉的例子不夠有特點，對學生的吸引力就不夠。另外，學生的邏輯思維能力大部分不是很好，讓他們寫證明題，很難遇到幾個能把前后邏輯順序寫得非常清楚。因此，教師的邏輯一定要非常清晰，一旦一個地方沒講明白，學生就容易一頭霧水。還有就是圖論的概念非常多，如果上課只是一味地講概念，學生容易覺得枯燥，更容易分心，會大大降低他們的學習興趣。因此，將概念、證明、應用穿插于教學過程中，使課堂豐富多彩，是非常重要的。

三、圖論及其應用教學方法探索

針對圖論及其應用該課程的特點，我們建議如下設計該課程。

（一）課堂適時增加歷史與人物故事

圖論及其應用是一門選修課，如果課堂上只是講書上的概

念和定理證明，學生很容易乏味，因此可以適時增加些歷史背景和人物故事。圖論雖然是1736年才發展起來的，到目前還不到三百年的歷史，但在圖論發展過程中有很多著名的人物，這些人物的故事本身就非常有吸引力。例如，“圖論之父”歐拉，他是個多產的數學家、物理學家，數學領域中許多重要的常數、公式、定理都是以他的名字命名的。同時歐拉的一生也有很多不盡如人意的地方，在他28歲時一只眼睛就失明了，在生命最后七年雙目完全失明，但是他仍堅持研究，完成了很多著作。通過介紹這些人物故事可以給學生以啟發，讓學生受到鼓舞，遇到困難時能更有信心去面對。

圖論中也有些非常著名的問題，如四色定理、中國郵路問題、旅行售貨員問題等，這些問題有些容易解決，有些是非常困難的。對這些問題，教師可以向學生介紹問題的來源、思考的方向、解題的思路，未解決的問題難點在哪里，讓學生對問題的發展有一定的了解，有助于培養他們對圖論的感覺，同時也讓他們看到很多問題看似簡單，解決起來卻不一定那么容易。

（二）多用引導帶動學生思考

圖論中有很多重要的定理，這些定理的證明過程是對邏輯思

維的一種訓練。例如樹的等價定理，在證明這些等價論斷時要用歸納法、反證法，這是平時思考和證明問題常用的方法。在講這些定理時，可以一步步引導學生思考，比如講樹的邊數時，先不告訴他們答案，讓他們自己從一個點、兩個點……去試，找出其中的規律，然后再試著用歸納法去證明。只有他們自己參與思考，他們才能對這些性質掌握得更牢固。對比較復雜的證明，教師可以畫成思維導圖，將證明分成幾部分，引導學生找出每部分的聯系，把復雜的問題簡單化。教師適當地講些定理證明可以提高學生的抽象思維和概括能力，提高他們分析問題和解決問題

的能力。

（三）多媒體與板書結合

在課堂教學過程中，由于圖論的概念較多，因此可以用多媒體來介紹相關的概念，這樣就不用手寫概念，可以節約些時間。同時圖論中的圖用多媒體播放也會比較直觀，學生看得更清晰。多媒體上還可以加一些動畫，例如在介紹Euler環游的時候，要找出一條Euler環游用動畫就可以將尋找環游的過程描述得非常清楚。這是多媒體教學的優勢。但是遇到定理證明時還是需要用傳統的板書，通過板書將推導過程一步步講解清楚，寫板書有一個過程，在這個過程中學生可以跟著一起思考，學生與教師互相交流，這樣有利于學生理解證明的思路。通過板書與多媒體的結合，能更好地進行課堂教學，使課堂更豐富多彩。

（四）創建成長式課堂

斯坦福大學教授喬·博勒在他的著作《這才是數學（教師篇）》中提到幾乎所有的學生都具備學好數學并享受數學學習的能力。很多學生數學不好的主要原因是從小受到僵固式思維的影響，比如“數學是需要天分的”“你不適合學數學”等，在這樣的影響下，覺得自己就是學不好數學，從而慢慢放棄數學。因此，要讓學生學好數學就是要培養他們的成長式思維，即相信能力是

可以培養的，夢想是可以通過自己的不懈努力獲得的。個人認為，喬·博勒教授的觀點用于課堂教學是非常有參考意義的。

首先，我們要相信每一個學生，要公平對待他們，不能一開始就給他們分層次，當然每個學生都有自己更擅長的地方，這個要區別對待，但決不能有誰好誰壞的評價。其次，我們可以在課堂上設置一些小組討論的環節。圖論中有許多應用，在講到應用或課后題時，可以采用分組的形式，讓學生自己先討論并得出結論，然后讓小組成員上黑板給大家講解，這樣既可以鍛煉他們團隊協作的能力，也給他們上臺向大家展示自己的機會。同時鼓勵學生用不同的方法解題，并歡迎他們提問題，對他們提的問題應引導他們自己尋找答案，而不是直接告訴他們答案。作為教師，我們應該喜歡學生犯錯，對學生的犯錯不要批評，應鼓勵他們犯錯。喬教授指出每一次犯錯大腦都會成長，犯錯過程中他們也在學習。通過這些方式創建的成長式課堂，既鍛煉了他們的邏輯思維，同時也能活躍課堂氣氛。

四、總結

圖論是與生活緊密聯系的一門學科。作為教師，我們除了教授他們知識外，還應該培養思考問題的方法。大部分學生都是要繼續讀研究生的，因此在教學過程中增加一些做科研的方法對他們的未來也是非常有幫助的。本文探索圖論及其應用課程的設置，旨在教授學生課程內容的同時又能培養他們分析和解決問題的能力，提高他們的數學思維。在探索過程中也對自己作為教師所應擔當的職責有了更進一步的認識，不僅是學生，教師也應該擁有成長式思維，這樣才能和學生共同進步、共同成長。

參考文獻：

[1]J.A.Bondy，U.S.R.Murty.Graph Theory with Applications，

Macmllan Press Ltd.London，1976.

[2]J.A.Bondy，U.S.R.Murty.Graph Theory，GTM 244，Springer，New York，2008.

[3]徐俊明.圖論及其應用[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2010.

[4]卜月華，王維凡，呂新忠.圖論及其應用[M].南京：東南大學出版社，2015.

[5][英]喬·博勒.這才是數學（教師篇）[M].朱磊磊，譯.北京：北京時代華文書局，2017.