圓錐曲線切線的一個定點伴隨定直線的性質

安徽省合肥市第一中學 (230601) 偰永鋒

圓錐曲線作為高中數學里非常重要的一個內容，有很多優美的性質.很多圓錐曲線試題，往往背后都蘊含著圓錐曲線一般性質.高考也往往從這些性質出發設計出優質的試題，這就要求我們不僅要教會學生解題，還要加強對問題背后原理的探究.

筆者在高三一輪復習教學圓錐曲線時，遇到一個蘊含了美妙的圓錐曲線切線性質的題目.

圖1

題目如圖1，已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，過l上一點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，若|PA|=3,

|PB|=4,則|PF|=.

記A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=2pt，y1y2=-2pn.又切線PA：y1y=p(x1+x)，PB：y2y=p(x2+x).

通過上述解題過程顯然可以得到拋物線的切線有如下的性質：

性質1 過拋物線y2=2px的準線l上任意一點P作拋物線的切線PA、PB，切點分別為A、B，則切點弦AB恒過焦點F，且有PA⊥PB，PF⊥AB.

上述結論的逆命題也成立.

性質2 過拋物線y2=2px的任意一條焦點弦AB的兩個端點分別作拋物線的切線PA、PB，則兩條切線的交點P在準線上，且有PA⊥PB，PF⊥AB.

這兩條性質可以作出進一步推廣.通過探究發現:改變弦AB所過定點M的位置，兩條切線PA與PB不一定垂直，但它們的交點P還在定直線上.PM與AB也不一定垂直，但當AB斜率存在時，kPM·kAB為定值.

證明過程與上述問題解決過程類似，此處從略.

這個性質在橢圓和雙曲線中還成立嗎？經過探究發現仍然成立.于是，在橢圓中有

類似地，在雙曲線中有

橢圓和雙曲線中的性質及推廣證明過程類似，下面證明推廣3，其余從略.