淺析函數中的不等式恒成立問題的解決策略

何開應

摘 要：函數中的不等式恒成立問題是新課程背景下的高考數學中的熱點考題之一，同時也是考題中的重點和難點，它常以基本初等函數為背景，與導數、不等式綜合考查等價轉化思想、函數的最值或值域問題。對涉及已知函數在給定區間上恒成立，求參數的取值問題、證明不等式等問題，大多數題目可以利用分離參數的方法，將問題轉化為求函數的最值或值域問題。結合本人教學的積累，現將這類問題的解決策略與各位同仁探討如下。

關鍵詞：不等式恒成立，函數，策略

一、 型在區間 上恒成立問題

【例1】已知函數

（Ⅰ）求函數 的單調區間；

（Ⅱ）設 ，若 對 恒成立，求 的取值范圍.

【分析】本題以對數函數、反比例函數和一次函數的和、差為模型，以不等式恒成立問題為背景，利用導數研究函數的單調性和最值以及求參數的范圍問題。

解：（Ⅰ）函數定義域為 ，且 ，

故 在 上為單調遞減函數.

（Ⅱ）∵z ，而 ，

由（Ⅰ）有 在 上為單調減函數，又 ，

故當 時， ，即 ，

當 時， ，即 ，

而 時， ，∴ 時， 的最小值為0，

要使 對 恒成立，只需 ，故有 .

【解決策略】

對于 型在區間 上恒成立問題，通常是將不等式恒成立問題轉化為一個函數最值問題求解：若 在區間 上恒成立 ，若 在區間 上恒成立 。

二、 型在區間 上恒成立問題

【例2】已知函數 若 對定義域內的 恒成立，求實數 的取值范圍 .

【分析】本題以二次函數和對數函數為模型，在二次函數的一次項系數中設置參數，以不等式恒成立問題為背景，利用分離變量法以及轉化思想考查導數的應用及參數的范圍問題。

解：函數 與函數 的公共定義域為 ，

由 即 ，得 對任意 恒成立，

，當 時， ，當 時，

故當 時， 取最小值 ，要使 恒成立，只需 ，

故 ，即實數 的范圍是 .

【解決策略】

對于 型在區間 上恒成立問題：

1.若是證明 或 在區間 上恒成立。

（1）通常情況下，需構造函數 或 ，利用導數求出 在區間 上的單調性和最值（或值域），判斷其最值與0的關系。

（2）極少數情況下需判斷 在區間 上的最值與 在區間 上的最值關系，如 在區間 上恒成立 ； 在區間 上恒成立 ，但前提是尋找等價條件。

（3）若上述（1）、（2）方法都不奏效時，則需構造“加強不等式”進行證明，如要證 ，若能證 ，且 ，即可證明 。

2.若是求參數的取值問題，則通過轉化思想，利用分離變量法或分類討論的思想，將該類恒成立問題轉化為上述一的恒成立問題求解。

總之，對于函數中的不等式恒成立問題，函數是載體，求參數的范圍或證明不等式是目的，導數是工具，分離變量、分類討論、構造新函數和轉化是思想和方法，求函數最值或值域是目標。

參考文獻：

[1]秦傳明，楊子林.函數中不等式恒成立、能成立問題的七種類型及解題策略[J].學周刊，2017（05）：221-222.