數學建模融入經濟數學教學中的案例及分析

崔石買

摘 要：經濟數學是財經類專業的關鍵的基礎課程之一，是高校財經類專業的重要基礎課程，在培養高素質的復合型人才中具有無法忽視的基礎作用。在經濟數學教學課程中，如何引入數學模型進行教學？本文結合經濟數學教學實踐，主要介紹經濟數學中幾個經典的應用于財經類專業的數學建模案例，將數學融入經濟學課程中。

關鍵字：經濟數學；數學建模；案例；微積分

一、引言

數學在經濟全球化以及當今世界科學技術的迅速發展進程中發揮了至關重要的作用，經濟社會發展的一個重要特點是定量思維和定量化的不斷加強。可以說當今世界的每一項經濟方面的研究與決策都離不開數學的運用，故數學在近十年來已然成為經管專業的重要基礎學科之一。

二、數學建模融入經濟數學中的典型案例

（一）廣告投放越多越好嗎？

廣告是通過各種媒介向消費者推銷商品或者承包生活服務以使客戶更加了解和信任商品或服務以最終達到擴大銷售目的的一種銷售產品形式。

商業廣告十分發達，在日常生活工作中隨處可見商業廣告的蹤跡。那么，廣告投放量越多越好嗎？廣告效益與廣告投入成正比嗎？下面我們主要通過微分方程建模來簡單解釋和分析如何才能使廣告收益最大化：

首先我們假設 表示消費者對某商品的購買量， 表示消費者對該商品的最高需求水平， 表示對企業對該商品投放的廣告量， 表示廣告量的最高投放限制。商品的需求發展速度 受當前消費者對該商品的需求量 與實際的商品需求發展潛力 影響；同時也受廣告投放量 的影響， 不超過 時，廣告能促進消費，當 超過 ，消費者往往會出現逆反心理，甚至會猜測該商品是否有質量問題等而影響消費者對某商品的購買量 。廣告的投入速度 受消費者對該商品需求量的影響，于是有下面的廣告投入與商品銷售量的微分方程模型： （1.1）

其中 ，k，r是正常數，μ表示商品的實際購買水平對該商品的購買速度增長潛力的影響系數，k表示廣告投入量對商品的購買速度的影響系數，r表示商品的實際購買水平對單位時間內的廣告量的影響系數。

系統（1.1）有兩個奇點是 和 。

對于奇點p點，（1.1）的線性近似系統的特征方程為： ，即 +μλ+κγ=0，

當 時，P是穩定的結點；當 時，P點是穩定的焦點。

對于Q點，（1.1）的線性近似系統的系數矩陣為

特征方程為

這就表示廣告投入并非越多越好，在日常商業活動中需要去仔細考慮 點，使廣告投放效益最大化。

（二）商品定價越高越好嗎？

眾所周知，商品的定價關乎著銷售企業的經營收入，因此對于企業而言商品定價是至關重要的一個經濟決策。那么商品定價為多少才合適呢，既不會過高影響消費者經濟利益又不會損失企業效益，并使企業達到利益最大化呢？下面我們通過經濟數學的思維來解釋分析商品價格與企業收益之間的關系，進而找到最合理的定價。這里我們將會用到微積分中的微分學。

我們假設某商品的需求函數用D=D 表示，且可微。 為價格p的相對變量， 為需求D的相對變量，則稱

為該商品的需求價格彈性，簡稱需求彈性1，記為 。

需求彈性 表示消費者對該商品的需求量D對商品價格p的變動的反應程度。由于需求函數是價格的減函數，故需求彈性為負值。當商品價格上漲（或下跌）1%時，其需求量將減少（或增加）約 。

在商品經濟中，商品銷售者關心的是提高價格 或降低價格 對銷售商品總收益的影響。設銷售總收益 則當 很小時，有： ，于是有：

由此可知：

當 （富有彈性）時，降低價格可使銷售總收益增加，也就是常說的薄利多銷多收益，一般適用于一些為非必需品的且容易找到替換物的商品，這些商品價格變化時，引起的需求量變化較大，如果價格變動為1%，那么需求變動將超出1%，也就是價格對需求的影響非常明顯。

當 （缺乏彈性）時，提高價格可使銷售總收益增加，一般適用于社會必需品，如糧食等，價格波動對需求影響較小，價格變動1%，需求變動小于1%。

當 （單位彈性）時，提高價格或降低價格對銷售總收益沒有明顯的影響。

通過上面的分析，讓學生充分了解微分學的廣泛應用，讓學生更好地掌握了經濟學數學，也為他們后續的專業課學習打下堅實的基礎，提供了有利的保障。

三、結束語

以上是經濟數學教學過程中融入數學建模思想的幾個典型教學案例，可能還存在需要補充和改進完善的地方。同時從這些案例可以發現，將數學建模的思想融進到經濟學數學中，不僅可以提高學習經濟數學的興趣，還可以較大程度地激發學生的潛能。

參考文獻：

[1]錢和平，徐清舟.數學建模融入經濟數學教學中的案例及分析[J].大學數數.2012.06.

[2]成均孝.數學建模融入經濟數學教學中的案例研究[J].財經界（學術版）.2013.11