正反結(jié)合法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中的應(yīng)用

魏選平

摘 要 本文詳細(xì)介紹了正反結(jié)合的教學(xué)法在小學(xué)、中學(xué)及大學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，反映出辯證的哲學(xué)思想，此方法對(duì)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)性。

關(guān)鍵詞 正反結(jié)合 哲學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

矛盾無(wú)處不在，萬(wàn)事萬(wàn)物都有矛盾。一切事物的發(fā)展過(guò)程中，都有主要矛盾和次要矛盾，同一矛盾中又有矛盾的主要方面和次要方面。反映在生活中有正有反，有好有壞，有上有下，有左有右，有前有后。體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上將貫穿于小，初，高，大的始終。數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界從數(shù)量關(guān)系和空間位置兩方面進(jìn)行研究的學(xué)科，數(shù)學(xué)作為具體科學(xué)是哲學(xué)的體現(xiàn)，哲學(xué)又為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究提供了指導(dǎo)。無(wú)論數(shù)學(xué)計(jì)算和應(yīng)用題，正反結(jié)合的原理都可以用來(lái)很好地指導(dǎo)解題過(guò)程。此外，該原理也在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著巨大作用。

1正反結(jié)合法的應(yīng)用

1.1正反運(yùn)算是方程和等式移項(xiàng)的本質(zhì)

小學(xué)四年級(jí)都學(xué)習(xí)了含有未知數(shù)的等式為方程。方程的移項(xiàng)原理是移項(xiàng)時(shí)，加變減，乘變除。那么，這樣簡(jiǎn)單地推理出移項(xiàng)時(shí)一種運(yùn)算變成它的反運(yùn)算。

那么，這樣的移項(xiàng)原理也來(lái)自于實(shí)際生活。物理上用天平秤物質(zhì)質(zhì)量時(shí)，左物右碼，左邊放物質(zhì)后，右邊如放1克和2克的砝碼天平平衡時(shí)，體現(xiàn)左邊物質(zhì)質(zhì)量為3克，可用1+2=3表示。如左邊去掉1克重物，要使天平達(dá)到新的平衡，需去掉右邊的1克砝碼。這就相當(dāng)對(duì)上邊1加2等于3的等式兩邊同時(shí)減去1，就變成2=3-1，這也相當(dāng)于1由等號(hào)左邊移到右邊變成減1了。初步說(shuō)明移項(xiàng)原理為加變減。同樣，4x2=8的等式兩邊同時(shí)除以2，就變成4=8？。這也相當(dāng)于2由等式左邊移到右邊乘變除的道理。這都說(shuō)明等式移項(xiàng)的原理是一種運(yùn)算變成它的反運(yùn)算。

初中的乘方與開方是一對(duì)反運(yùn)算，在等式移項(xiàng)中也能體現(xiàn)。如式1所示，如2的立方等于8，將立方運(yùn)算由左移到右邊就變成了開立方，即2等于8的開立方。

23=8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

高中的指數(shù)與對(duì)數(shù)是一對(duì)反運(yùn)算，在等式移項(xiàng)中也能體現(xiàn)。如式（2）所示，如2的立方等于8，當(dāng)?shù)讛?shù)2由右邊移到左邊時(shí)，就由指數(shù)運(yùn)算變成了對(duì)數(shù)運(yùn)算，即形成3等于以2為底數(shù)的8的對(duì)數(shù)。

23=8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3=log? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

大學(xué)中的微積分也是正反結(jié)合的體現(xiàn)，如式（3）所示，x立方的導(dǎo)數(shù)等于x平方的3倍，將導(dǎo)數(shù)運(yùn)算由等式的左邊移到等式的右邊，就得到x立方等于x平方的3倍的不定積分。

（x3）'=3x2? ? ? ? ? ? ? ?x3=3x2dx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

1.2正反結(jié)合的應(yīng)用

做數(shù)學(xué)題的過(guò)程是用學(xué)過(guò)的公式和定理進(jìn)行等量變換下的化簡(jiǎn)過(guò)程。等量變換保持了所研究問(wèn)題的性質(zhì)，使所做的問(wèn)題不會(huì)變?yōu)閯e的問(wèn)題。化簡(jiǎn)是利用加減乘除移項(xiàng)合并化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程，只有化繁為簡(jiǎn)才能解決問(wèn)題，否則，止步不前，或化簡(jiǎn)為繁，越做越難，不可能解決問(wèn)題。正因?yàn)橥茖?dǎo)的每一步都是等量變換，所以，正反結(jié)合可利用回推法來(lái)驗(yàn)證每一步推導(dǎo)是否正確。

一個(gè)公式，利用移項(xiàng)和等量變換原理可以由一個(gè)生發(fā)出多個(gè)公式。例如：如式（4）所示。路程等于速度乘以時(shí)間。移項(xiàng)后可以得到時(shí)間等于路程除以速度，也可得到速度等于路程除以時(shí)間。三個(gè)公式雖然形式不同，但本質(zhì)一樣，都從不同角度揭示了物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中路程，速度和時(shí)間的關(guān)系。如式（5）所示，初中的因式分解和多項(xiàng)式相乘也互為逆運(yùn)算。其次，解二重積分時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)是二元函數(shù)時(shí)，對(duì)x和y進(jìn)行積分，將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的過(guò)程是二元函數(shù)求偏導(dǎo)的逆運(yùn)算。

s=vt? ? ? ? ? ? ? ? v=? ? ? ? ? ? ? ?t=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

（a+b）·（ab） = （a2b2）? ? ? （a2b2）=（ab）·（a+b）? ? ? ? ? ? （5）

1.3正反結(jié)合的本質(zhì)及意義

由上可見，方程或等式移項(xiàng)的原理，本質(zhì)上是在方程或等式兩邊同時(shí)進(jìn)行相同的運(yùn)算得到的，所以其本質(zhì)仍然是等量變換。數(shù)學(xué)是從數(shù)量和幾何兩方面對(duì)客觀世界進(jìn)行研究的學(xué)科。做數(shù)學(xué)題的過(guò)程是等量變換下的化簡(jiǎn)，中間等量變換的每一步形式不同但本質(zhì)相同，每等量化簡(jiǎn)一步就向結(jié)論靠近一步，等量化到最簡(jiǎn)，既做對(duì)做完了題，又揭示了問(wèn)題的本質(zhì)。所以，做數(shù)學(xué)題的等量變換下的化簡(jiǎn)過(guò)程就是揭去層層偽裝，透過(guò)外表看本質(zhì)的過(guò)程。透過(guò)外表看本質(zhì)是一種智惠，凡事只要能透過(guò)外表洞察到本質(zhì)，就能一步到位，少走彎路。另外，做數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵是讀懂題，只有在讀懂題的基礎(chǔ)上，才能利用學(xué)過(guò)的公式定理搭建已知和未知的橋梁。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，讀懂題也就是實(shí)事求是，恰當(dāng)利用公式定理也就是按客觀規(guī)律辦事，所以，正確地做一道題的過(guò)程就是一切從實(shí)際出發(fā)，實(shí)事求是，按客觀規(guī)律辦事的過(guò)程。因此，每做對(duì)一道題就強(qiáng)化了一切從實(shí)際出發(fā)按客觀規(guī)律辦事的能力。只要堅(jiān)持一切從實(shí)際出發(fā)，按客觀規(guī)律辦事就能無(wú)往而不勝。

等量變換意義重大，生活上講得失相關(guān)，喜憂參半，利弊相關(guān)。物理化學(xué)上有質(zhì)量能量守恒，哲學(xué)上有矛盾的辨證統(tǒng)一律。矛盾普遍存在，事物中的主要矛盾和矛盾的主要方面決定了事物的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，主次矛盾和矛盾的主次方面的相互依存，相互排斥促成了事物的發(fā)展。萬(wàn)事萬(wàn)物都遵循自然辨證法，任何事物發(fā)展都是辨證的，只有把握好度，才能促成事物穩(wěn)定長(zhǎng)遠(yuǎn)地發(fā)展。這個(gè)度不可能絕對(duì)把握好，只能盡力而為地把握，要努力地向這個(gè)度去接近。

2結(jié)論

綜上所述，正反結(jié)合法在方程和等式的移項(xiàng)化簡(jiǎn)中作用巨大，在代數(shù)式等量推導(dǎo)中每一步的檢驗(yàn)中也發(fā)揮著作用，無(wú)不顯示出正反結(jié)合的原理覆蓋了數(shù)學(xué)的方方面面和角角落落。只有有正有反 ，正反結(jié)合才能更全面地去分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。只有正反結(jié)合，才能為我們進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)提供指導(dǎo)。