數形結合方法在微積分證題中的應用分析

黃梅花

【摘 要】在高等數學中，微積分證明題堪稱難點。在微積分證明題中引入數形結合的方法，可以把抽象難懂的微積分證明題變得直觀具體，利用數形結合來解題還有助于數學思維與創新能力的培育和養成。

【關鍵詞】數形結合;微積分;應用

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0007-02

把數形結合的思想引入微積分證明題的解題中就是為了簡化解題思路，我們通?？梢酝ㄟ^利用圖形的對稱性、利用幾何作圖法、利用導數的幾何意義與利用積分的幾何意義來解答微積分證明題[1]。

1? ?利用幾何作圖法來解答微積分證明題

例1：設，求。

單調有界原理是我們在解答這道題時的主要解法，然而我們如何找出此數列的上界呢？我們可以引入數形結合的解題思想，通過作圖來直觀的看出數列的有界性與單調性，如圖1中所示：

我們可以把數列的遞推公式看成是方程x=f（x）的迭代格式，它的根就是的極限。我們可以作直線y=x與曲線y=，二者的交點為P（a，a），

其中a=，在x軸上取初值x1，然后過x1點做x軸的垂線與y=相交于P1（x1，f（x1））=P1（x1，x2），Q1的坐標為（x2，x2），然后過Q1作X軸的垂線交y=于P2（x2，f（x2））=P2（x2，x3），以此類推，可以由P2得出Q2=（x3，x3），然后再得到P3（x3，x4），如此推導下去，即可得出x1

因此，我們可以由此證明，由于a=是方程x=的根，所以=c+a，然后：，同時由于x1=<=a，根據歸納法可以得知，

2? ?利用導數的幾何意義來解答微積分證明題

由于曲線的切線與函數的導數密切相關，因此，通過數形結合的思想利用導數的幾何意義能更好的幫助我們來解答微積分證明題。

例2：假設f（x）在[a，b]上連續，并且在（a，b）內二階可導，連接點（a，f（a））與點（b，f（b））的直線段交曲線y=f（x）于點（c，f（x）），并且a

可以從題中得知用羅爾定理來證明此題，可以假設F（x）=f′（x），為了使它滿足羅爾定理的條件，需要找出兩個點，使F（x）在這兩點處的值相等，可以從圖三中發現，曲線弧AC上的點（a1，f（a1））處的切線與曲線弧CB上的點（a2，f（a2））處的切線平行，即F（a1）=F（a2），而a1，a2可以由Lagrange中值定理得到，所以對函數F（x）在[a1，a2]上應用羅爾定理即可。

由此可以證明，在[a，c]和[c，b]上對y=f（x）分別使用拉格朗日中值定理，可以得出（a，c）上存在一點a1，在（c，b）上存在一點a2，使f′（a1）=，

f′（a2）=，同時又由于=

因此，可以得出f′（a1）=f′（a2）。

又因為F（x）=f′（x）在[a1，a2]上連續，同時又在（a1，a2）上可導，由羅爾定理可知至少存在一點a∈（a，b），使得f″（a）=0。

3? ?利用積分的幾何意義來解答微積分證明題

例3：已知f（x）是[a，b]上的連續遞增的函數，試證明f（x）至少存在一點a∈（a，b），使。

如圖3所示，可以從幾何意義上來理解此等式，表示矩形BCFG的面積，表示矩形ADFE的面積，而等式的右端則表示階梯形ADCBGE的面積。

當=b時，此時階梯型的面積最小，當=a時，此時階梯形的面積最大，而曲邊梯形ABGE的面積則介于這二者之間。等式表明，曲邊梯形ABGE的面積恰好等于某一個階梯形面積。我們因此可以用連續函數的介值定理來證明，我們可以設階梯形的面積函數為輔助函數。

解題過程如下：設F（x）=f（a）（x-a）+f（b）（b-x），則F（x）在[a，b]上連續，且F（a）=f（b）（b-a），F（b）=f（a）（b-a），又因f（x）是[a，b]上的遞增的連續函數，所以對一切x∈[a，b]有f（a）≤f（x）≤f（b）。由定積分性質有f（a）（b-

a）≤≤f（b）（b-a）。又由于F（a）=f（b）（b-a），F（b）=f（a）（b-a），所以F（b）≤≤F（a）。由介值定理可知，至少存在一點∈（a，b），使=F（a）。即。

4? ?結語

綜上所述，通過以上的例題可以發現，引入數形結合思想是解答微積分證明題的有效方法，因此在微積分解題中應熟練掌握并運用。通過把數形結合的思想引入微積分解題之中，把抽象的微積分公式具體直觀化，更有助于激發和培育自身的數學思維與創新能力。

【參考文獻】

[1]李慧娟，傅海倫，權奎.試論高中導數學習的教育價值[J].高中數學教與學，2016（24）.

[2]夏沛庭.用簡單的數形結合思想和微分證明微積分基本公式[J].數學學習與研究，2016（11）.