例談轉化與化歸思想在數(shù)學中的應用

【摘 要】結合實例分析說明幾種常見的轉化與化歸思想在數(shù)學解題中的應用。轉化與化歸思想是數(shù)學中五大思想之一。所謂轉化與化歸思想，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種數(shù)學方法[1]。更具體地說，就是將一個待解決的問題或者是一個復雜的問題通過轉化或再轉化，使之化歸為一個已經(jīng)解決或者是一個簡單的問題。下面結合實例分析說明常見的幾種轉化與化歸的思想在數(shù)學中的應用。

【關鍵詞】轉化與化歸;應用;實例

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0089-02

1? ?化無理式為有理式

例1? 解方程

分析：這是一個含根式的對數(shù)方程，直接求解很有難度，我們可以通過轉化與化歸的思想將它化為一個有理方程，然后再去求解就簡單多了。

解：變形設。即x=92y代入原方程得，于是有

即

觀察得y=1，又因為是單調遞減函數(shù)，所以y=1是唯一的根，從而有x=81。

2? ?化分式為整式

例2.設實數(shù)a、b、c互異，且有abc≠0，求解下列關于x，y，z的方程組？

分析：通過觀察題目發(fā)現(xiàn)這是一個形式上為分式的方程組，直接去分母化簡求解很有些復雜，但是這三個方程形式上是相同的，我們可以通過轉化與化歸進行化三歸一，然后利用根與系數(shù)關系定理來求解則可以化繁為簡。

解：設x，y，z為常量，化三歸一為下列方程xt3-yt2+zt-1=0，由已知有該方程有三個不同實數(shù)根，分別為

，，于是由韋達定理有，，所以有方程的解為? x=abc，y=ab+bc+ca ，z=a+b+c

3? ?化代數(shù)式為三角式

例3.設有實數(shù)x，y，z，且有xy≠-1，yz≠-1，zx≠-1，

求證：

分析：要證明表上面這個分式等式成立，直接去分母難度極大，通過觀察，聯(lián)想到三角函數(shù)中的一些公式，我們可以通過將之轉化為三角形式來證明將大大簡化了其計算量。

證明：因為當A+B+C=kπ，有tanA+tanB+tanC

=tanAtanBtanC成立，

又令A=α-β，B=β-γ，C=γ-α

且設x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，則有由于A+B+C=0，所以上式成立，即有tan（α-β）+tan（β-γ）+tan（γ-α）=tan（α-β）tan（β-γ）tan（γ-α），展開三角函數(shù)表達式并代入x，y，z，即成立。

4? ?化代數(shù)為幾何

例4若，且有，求證：（第26屆全蘇數(shù)學競

賽題）

分析：這是一個不等式證明題，如果簡單地想通過不等式的放縮是很難證明出來的。我們可以通過已知條件聯(lián)想到構造一個邊長為p的等邊三角形，將此代數(shù)問題轉化為幾何問題然后運用面積法來求證。

證明：構造一個邊長為p的等邊三角形ABC，如圖1

所示。

圖1

因為即有

故有。

5? ?化無窮為有窮

例5 當n為正整數(shù)時，若n，n+6，n+12，n+18，n+24均為質數(shù)，求n為多少？

分析：因為質數(shù)有無窮多個，這里我們不可能一一列舉，我們需要化無窮為有窮，將無窮多個質數(shù)轉化為有限類進行分析判定。

解：因為n為正整數(shù)，我們可以將n分為五類進行討論，分別為n=5k，5k+1，5k+2，5k+3，5k+4（這里k為整數(shù)）。當n=5k+1時，n+24=5k+25=5（k+5）為合數(shù);不滿足條件。當n=5k+2時，n+18=5k+20=5（k+4）為合數(shù);不滿足條件。當n=5k+3時，n+12=5k+15=5（k+3）為合數(shù);不滿足條件。當n=5k+4時，n+6=5k+10=5（k+2）為合數(shù);不滿足條件。當n=5k時，要n為質數(shù)，所以只有當k=1時，即n=5才行，此時n+6=11，n+12=17，n+18=23，n+24=29，均為質數(shù)，所以n=5。

點評：以上結合例題列舉了5種常見的轉化與化歸方法。在平時數(shù)學解題中，轉化與化歸思想貫穿了重點與難點知識的方方面面，學生在平時知識點的學習與掌握中，熟練運用轉化與化歸思想可以幫助學生在各知識點之間相互滲透與轉化，促進重點知識融會貫通[2]。在解題中熟練運用這些方法往往可以起到化繁為簡、事半功倍的效果，但是掌握轉化與化歸思想，需要平時仔細觀察題目的已知條件與所求結論，從中找到知識結構的內在聯(lián)系，日積月累。

【參考文獻】

[1]張曉輝.化歸思想與例題解析[J].數(shù)理化學習（高三版），2015（8）.

[2]張連吉.例談構造法在高中數(shù)學解題中的應用[J].福建中學數(shù)學，2017（5）.

【作者簡介】

王新（1971～），男，湖北武漢，職稱：高級，研究方向：數(shù)學教育。