探究二次函數的圖像與性質

赫文波

【摘 要】在初中數學中，二次函數的圖像和性質使不少初學二次函數的初中生感到困惑。結合教科書的內容安排，按照本文中的研究順序，循序漸進，逐步深入，會很容易弄明白二次函數的圖像和性質。

【關鍵詞】二次函數;拋物線;對稱軸

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0170-02

在初中數學中，二次函數的圖像和性質使不少初學二次函數的初中生感到比較困惑。其實二次函數的本質是數量關系的變化，將數量變化與圖形相結合進行學習，就不會像一些同學想象的那么困難。結合教科書的內容安排，按照下面的研究順序，循序漸進，逐步深入，會很容易弄明白二次函數的圖像和性質。

1? ?y=x2和y=-x2的圖像和性質

二次函數的學習，要以y=x2和y=-x2的探究為起點。采用五點法作圖，通過找到函數圖像的最高點或最低點，然后根據橫坐標對稱性取點，描點作圖，這樣就很容易得出這兩個函數圖像（如圖1）。仔細觀察這兩個函數的圖像特點，不難發現：y=x2和y=-x2的圖像都是頂點在原點、關于y軸對稱的拋物線，其形狀和張口大小完全相同，區別僅在于開口方向不同。

2? ?y=ax2（a≠0）和y=ax2+k（a≠0）的圖像和性質

在上面研究的基礎上，再來探究y=ax2（a≠0）的圖像和性質。還是先通過五點法描點畫圖，得出圖像。比如研究y=2x2（和y=-2x2）的圖像，y=2x2的圖像與y=x2的圖像對比可知，y=2x2的圖像的張口要比y=x2的圖形的張口小;y=x2的圖像張口比y=x2的圖像的張口大。也就是說，x2的系數a的絕對值越大，圖像的張口越小;a的絕對值越小，圖像的張口越大。a是負數時只是對應的開口方向不同。

于是得到，函數y=ax2（a≠0）的圖像與y=x2的圖像對比：當a是正數時，它們的頂點、對稱軸完全相同，只是張口大小不同;而且當a的絕對值越大張口越小，a的絕對值越小張口越大。與y=x2和y=-x2的圖像關系相同，y=ax2中a是正數與a是負數時圖像的開口方向不同。例如y=3x2

的圖像的張口要比y=x2的圖像的張口小，y=x2的圖像的張口要比y=x2的圖像的張口大;y=-3x2的圖像的張口大小與y=3x2的圖像的張口大小相同，只是它們的開口方向相反。

理解了y=ax2（a≠0），接下來探究y=ax2+k（a≠0）的圖像。通過畫圖，可以看到，這一函數的圖像（如圖2），只是在y=ax2的圖像的基礎上向上或向下平移|k|個單位。當k是正數時，向上平移;當k是負數時，向下平移。頂點坐標是（0，k），對稱軸還是y軸。例如y=2x2+1的頂點坐標是（0，1）;y=-3x2-1的頂點坐標是（0，-1）。

3? ?y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像和性質

在探究了y=ax2（a≠0）和y=ax2+k（a≠0）的圖像基礎上，再來探究y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像。通過五點法描點作出圖像（如圖3），可以發現y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像和y=ax2+k（a≠0）的圖像形狀和大小相同，只是對稱軸向右或向左平移了|h|個單位。當h是正數時對稱軸向右平移，當h是負數時對稱軸向左平移。對稱軸是x=h，頂點坐標是（h，k）。

如y=2（x-1）2+1的頂點坐標是（1，1），對稱軸是x=1，它可以看做是y=2x2+1的圖像向右平移了1個單位;y=2（x+1）2+1的頂點坐標是（-1，1），對稱軸是x=-1，它可以看做是y=2x2+1的圖像向左平移了1個單位。

此外，所有的二次函數都可以寫成y=a（x-h）2+k（a≠0）。當h=0時，就是函數y=ax2+k（a≠0）;當k=0時，就是函數y=a（x-h）2（a≠0）;當h=0、k=0時，就是函數y=ax2（a≠0）;當a=1、h=0、k=0時，就是函數y=x2。對于一般形式的二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），也可以通過配方的方法轉化成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，轉化后的結果為

y=a（x+）2+（a≠0），它的對稱軸是x=，

頂點坐標是（，）。如y=x2+2x+3可變形為y=（x+1）2+2，它的頂點坐標是（-1，2），對稱軸是x=-1;再

如y=3x2-2x+5可變形為y=3（x-）2+，它的頂點坐標是（，），對稱軸是x=。

按照上述順序，由簡入難，循序漸進地學習二次函數，找到與之對應的具體二次函數認真思考、舉一反三、反復練習，每一種類型都堅持這樣去做，便會弄清它們之間的聯系與區別，那么二次函數圖像和性質的問題就會迎刃而解。如y=5x2、y=5x2-2、y=5（x-1）2、y=5（x-1）2-2

（即y=5x2-10x+3），這些二次函數圖像的形狀如何，它們的頂點坐標、對稱軸分別是什么？y=5x2-2、y=5（x-1）2、y=5（x-1）2-2（即y=5x2-10x+3），這些函數的圖像是由函數y=5x2的圖像怎樣移動得到的？認真分析各個函數的圖像特點、函數間的移動變化規律，二次函數的實質也就弄明白了。

初學二次函數的學生，不要被一條條抽象的曲線嚇住了，按照上述學習步驟，逐步揭開數量變化與圖形之間的關系，認真思考，積極訓練，一定能學好二次函數。