復變函數與積分變換課程的教學實踐與改革

張海霞 謝秀峰 宋曉紅

摘要：“新工科”背景下，對課程的教學以及學生培養提出了更高的要求，針對復變函數與積分變換課程教學的現狀和存在的問題，合理安排教學內容，理清教學思想和思路，采用傳統與多媒體相結合的教學方法，開展學生討論式的自主學習，發揮計算機軟件的作用，將理論與實踐相結合，以此激發學生的學習熱情，收到事半功倍的學習效果。

關鍵詞：復變函數;積分變換;教學改革

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）44-0160-02

復變函數與積分變換是大學工科相關專業，尤其是通信類專業的必修基礎課，它在電路理論、通信工程、自動控制等課程中有著廣泛的應用。通過對本課程的學習，可以使學生掌握復變函數與積分變換的基本理論和方法，為后續專業課程學習提供必要的數學基礎。因此，做好復變函數與積分變換的教學工作是十分重要的，不僅有益于學生對專業知識的深入研究，也為將理論轉化為實踐提供了基石。本文分析復變函數與積分變換課程教學的現狀和存在的問題，總結和提出幾點教學改革的經驗和體會，希望對提高該課程的教學效果有所幫助和進益。

一、復變函數與積分變換課程的教學現狀及存在問題

1.復變函數知識板塊理論性較強。目前，國內的復變函數與積分變換教材將課程的知識體系大致分為兩大部分，前面部分講述復變函數的知識，這部分內容比較注重數學理論知識，涉及較多的定理和結論，其推導過程較多，因此缺少直觀性和實際應用背景，沒有較強的數學基本功的學生很難理解和掌握。這樣，學生們覺得教學內容枯燥，上課很難集中注意力，直接導致了學生的學習熱情不高，特別是學習基礎不好的學生產生厭煩的情緒，放棄了對該課程的學習。而后面部分講述積分變換的內容，本應是應用性較強的知識，學生們會感興趣，但由于各種原因，無法在實際中體現，比較遺憾。

2.高等數學的知識掌握較差。復變函數與積分變換作為高等數學的后續課程，與高等數學的內容緊密相連，許多理論知識其實是實函數到復函數的推廣和延伸。該課程一般安排在大二的第一學期，這學期學生的課程相對較多，課業負擔也比較重，在課程上很難做到兼顧。另外，盡管學生們已系統地學習過高等數學，但在學習復變函數與積分變換知識，尤其是跟高數內容銜接比較緊的內容時，并沒有及時地去回顧相關的知識。此外，還有不少學生對高等數學有恐懼心理，考試結束后不會再進行學習，因而勢必影響到對該課程的掌握程度，沒有高等數學知識這一強大的支撐，要想學好這門課程是非常困難的。

3.復變函數與積分變換課程課時數較少。近些年來，隨著學生培養計劃的修正和專業課程的調整，原本課時數為48學時的課程減少到32學時，而該課程需要講述的重要知識點和重點內容仍保持不變。這樣課堂上教師教授的內容量就很大，教學速度相對也加快，對于知識的深度和廣度沒有充足的時間去探討和深入研究，留給學生的印象是教師們照本宣科，沒有新意和廣度。漸漸地，學生們沒有興趣繼續學習下去，學到的僅僅是皮毛，這樣的情緒也影響了教師的講課效果，整個課堂上沒有互動，沒有激情，有的只是沉默和學生們呆滯的目光、遲鈍的反應，這必將對復變函數與積分變換課程的學習帶來極其負面的影響。

二、教學改革的內容

1.精煉教學內容，傳授思想方法。長期以來，我們采用的是蘇變萍等人編寫的《復變函數與積分變換》教材[1]，該教材難易適當，教學大綱中涉及的內容書中都有合理的介紹。我們要做的主要是對教學內容進行適當的調整，淡化數學推導，基于學時數和學生的實際水平，刪掉理論性較強的內容和定理證明，用寶貴的學時講好重點內容和難點內容，讓學生消化重點內容，明白難點內容，深刻體會課程內容的思想方法。例如復變函數中“復變函數的解析性”、“復變函數的泰勒級數和洛朗級數的展開”、“孤立奇點類型的判斷和留數的求法”等皆是需要重點講述的內容，也是該課程的難點。至于復變函數為何能展成相應級數的定理證明可略去不講，畢竟工科專業的學生更注重的是實際的應用。類似的，級數的一致收斂性概念，解析函數唯一性定理等可略去不講或做簡要介紹。再如，教材中對孤立奇點的類型給出了詳細的判斷方法，這些方法都是從定義出發，并結合解析函數的性質給出的，在講解這些內容時要細致講解，幫助學生體會研究問題的思想方法，做到觸類旁通。

2.傳統和多媒體相結合的教學方式。復變函數與積分變換既是一門理論性較強的課程，又是一種解決問題的強有力的工具，因此既要重視基礎知識的傳授，同時又要注重實際應用的引導。傳統教學上，教師授課主要采取板書的形式，將教學的重點內容逐一寫到黑板上，上至定義、定理的展示，下至例題、習題的講解。在教師的書寫過程中，學生有了獨立的思考的時間，這樣不僅加強和加深了學生對知識的理解和掌握，也避免了純粹的多媒體教學帶來的一掃而過的弊端。凡事都有兩面性，多媒體也有其優越性，多媒體課件形象、生動、可視性強，可以清晰、簡潔地展示一些教學知識，例如，在講述冪級數收斂域的內容時，通過多媒體課件靜態或動態的演示，讓學生從直觀上形象地理解了冪級數的收斂域是圓盤的特性，從而激發學生探索知識的興趣。因而我們要發揮板書和多媒體各自的優勢，揚長避短，讓學生們不再感到課堂索然無味。同時，也解放了教師的課堂時間，便于其他教學方式的嘗試與探索及教學知識的拓展和深入。

3.課堂內學生分組討論式學習。為了激發學生上課的學習熱情，最大限度地調動學生上課的積極性，也避免學生上課不專注的現象發生，就要改變以往教師從頭講到尾的教學模式，根據每節課教學內容的安排，在課堂上留出適當的時間，以6—7名學生為一個學習小組，采取自由討論的形式開展自主學習，并以小組為單位展開競賽。復變函數與積分變換作為高等數學的后繼課程，在內容上有很多相似之處，如包括極限、連續、可導、積分、冪級數等內容，對于這些知識的學習，學生們是有能力自主完成的。在課堂規定時間內，每個小組派一位代表上講臺進行內容講解，然后讓其他學生對講述學生進行評估和打分。教師從專業的角度對學生講解的條理性和正確性給予評價，并將成績作為平時成績評定的一個參考指標。這樣，一方面極大地激發了學生的學習興趣，讓學習的主動性掌握在學生的手里，同時以小組的形式學習，也增強了學生的合作與交流;另一方面豐富了課堂教學，讓數學課不再索然無味，而是變得更有趣，學生們對所學知識印象更深刻。

4.Matlab軟件求解Fourier積分變換和Laplace積分變換。教育部在“面向21世紀教學內容與課程體系改革計劃”中明確提出要加強數學教學過程中的實踐環節，加強數學理論與實際應用相結合，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力，提高學生的綜合素質[2]。Matlab等數學軟件具有強大的數值計算功能，也擁有卓越的分析和圖形處理的能力，應用領域極其廣泛。同時Matlab操作簡單、代碼少、效率高[3]。因此，在講解傅里葉變換和拉普拉斯變換內容時，盡量爭取1—2個課時來介紹Matlab求解積分變換的問題。課堂時間有限未必能做重點展開，但是會作為重要的應用介紹展現給學生。同時，積極與學院、學校的計算機實驗室協調，安排1—2課時讓學生進行上機實際操作，體會數學軟件對于解決數學問題的幫助與作用。通過計算機軟件強有力的輔助，提高學生學習數學知識的興趣，促進學習效果的提高。這也是今后復變函數與積分變換課程教學的新趨勢、更多地重視應用知識的趨勢。

參考文獻：

[1]蘇變萍，等.復變函數與積分變換[M].第二版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]張紅英.開展數學實驗提高《復變函數與積分變換》課程教學質量[J].價值工程，2012，31（3）：210-211.

[3]王莉，楊崢，王詩云，孫菊賀，樸鳳賢.《復變函數與積分變換》課程教學方式的改革與探索[J].教育進展，2018，8（3）：237-240.