由一根線段說開去

張映斌

【摘 要】本文由中山大學珠海校區教學樓的線性建筑得到啟示，探討一根定長的線段在數學上的有趣應用。本文主要探討了用等周長正多邊形的性質，包括中心到頂點，邊，頂點連線，以及這些情況在極限條件下的有趣性質。這些性質也跟實際生活中的現象和應用關聯起來。數學分析上，這篇文章涉及平面幾何，初等函數的性質，三角函數的性質，簡單求導方法，以及極限的基本性質方面興趣。本文也簡單介紹了Excel這個辦公軟件在數學繪圖上的應用。這篇綜合性的文章對啟發中學生的數學興趣是非常有用的。

【關鍵詞】線段;性質;啟示

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）22-0267-02

前段時間，筆者途經亞洲最長的中山大學珠海校區教學樓。當時，筆者有個疑問，如果有些學生所選課程的教室不幸在教學樓兩頭，那這些學生為了上課需要走的路可不少啊。而如果能夠把這兩頭連起來，使這教學樓在二維平面上形成一個密閉的形狀，那么這樣的學生卻是是最幸運。現在，讓我們把實際的建筑要求和物理原理的限制拋開，而僅考慮數學上的抽象，然后可以提出以下的問題：

問題1：一線段的長度為a，把它在二維平面上圍成一密閉的n邊形（n≥3）。這個多邊形上任意不同兩點的距離最長為en。那么，如何設計這個邊長一定的n邊形，使得en最小。

這個問題在高等解析幾何里面不難解。事實上，多邊形的“極限”形狀無非兩種：（1）寬度趨近于零的矩形和（2）完美的圓形。這兩種情況的en很容易求得：

（1）矩形：e4→a2

（2）圓形：周長為a的圓的直徑。所以e∞=aπ

事實上，圓形作為多邊形的一種特殊形式為我們所要的形狀。

讓我們把這個問題簡化，使得這個問題可以用于啟發中學生在平面幾何，初等函數的性質，簡單求導方法，以及極限的基本性質方面的興趣。

（3）對于我們構造的這些等周長的正多邊形（包括圓），頂點連線最長為en。如果n為偶數，en為正多邊形對角線，長度為2bn。如果n為奇數，以五邊形為例子如圖7所示，en將比2bn小，或者說en不再是其外接圓的直徑，而是弦AC。這個問題事實上是回歸本文最開始的問題1，只是我們現在在正多邊形的簡化的情況下進行討論。在bn的基礎上，當n為奇數時，en的通式也不難求得。以圖為背景，

en=2×bn×sin∠AOF

=2×bn×sin（π2-π2n）

=2×a2n×1sinπn×cosπ2n

=an×12sinπ2ncosπ2n×cosπ2n

=π2n×1sinπ2n

類似的，這個函數為單調遞減函數，求解過程不再累述。

所以，如果從最短的最大節點間距的設計上說，圓也是為我們所求。事實上，不管圍出什么形狀，圓的en就是本文開頭問題1的答案。這個在高等數學上不難驗證。

用一根定長的線圍出來的正多邊形中，圓的面積最大。事實上，不僅僅是正多邊形，所有等周長多邊形中，圓的面積是最大的。這在現實生活中有其指導意義，比如，如何用一定的長的圍欄圍出最大（圓）或者最小（三角形）的面積。在物理上也有很多應用，比如水滴在親水平面上的舒展是呈圓形的，這是通過使得接觸面最大而讓總能量最低使得系統最穩定等等。

很明顯，以上的多次討論都以圓為結尾。事實上，不僅僅二維的圓有著這么多有趣的性質，三維的球體也有著很多值得探討和啟迪學生的性質。最簡單的，對于等體積的立體結構，球的表面積最小。這在建筑上可以節省表面裝飾材料，也是物理上散熱的問題（冷的時候，人喜歡蜷成一團）。

本文主要討論的是很見到的多邊形的問題。這些在現實生活中也經常接觸到。正八角形的建筑是很多道學家喜歡的。再說，南京大學以前浦口校區的八角樓恐怕是很多南大學子難忘的。至于圓的建筑，那就更舉不勝數了，比如著名的土家圓樓或者享譽全世界的美國加州理工學院的Beckman大會堂的白色建筑。

在這個基礎上，最后筆者提出幾個問題留給讀者去思考。如果引入解析幾何，尤其是極坐標，很多螺旋形的設計也有很多數學方面的有趣性質。最簡單的，如何用一根定長的線段設計最復雜的迷宮？另外，如果我們在三維的角度上看問題，引入立體幾何，把本文的討論的一切拓展到三維空間，這將頗有電影《盜夢空間》里面那些復雜而有趣的拓撲建筑的味道而給我們帶來無限的遐想。

結論

本文從最簡單的幾何元素—線段開始，探討了很多二維平面上的有趣的幾何問題。對這些問題的探討讓讀者尤其是中學生對現實生活中數學的應用有了更深層次的理解。本文的數學分析部分涉及中學數學的方方面面。這篇綜合性的文章對現在的數學教學在聯系現實應用方面有著一定的指導作用，是一份拓展中學生的視野啟迪他們的數學興趣的很好的讀物。