一道中考試題的賞析及教學啟示*

(金華市外國語學校,浙江 金華 321015)

●徐靈姬

(西苑中學,浙江 金華 321017)

2019年浙江省金華市數學中考第23題將正方形與拋物線較好結合，數中有形，以形助數，數形結合.先根據確定的拋物線，求出好點個數，數中有形；再根據好點個數恰好為8個，確定拋物線要滿足的條件，以形助數.這種渾然天成的命題布局彰顯出中考壓軸題的精致與靈活.

圖1

1 試題呈現

例1如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸、y軸的正半軸上，把正方形OABC的內部及邊上，橫、縱坐標均為整數的點稱為“好點”.點P為拋物線y=-(x-m)2+m+2的頂點.

1)當m=0時，求該拋物線下方(包括邊界)的好點個數；

2)當m=3時，求該拋物線上的好點坐標；

3)若點P在正方形OABC內部，該拋物線下方(包括邊界)恰好存在8個好點，求m的取值范圍.

(2019年浙江省金華市數學中考試題第23題)

2 試題賞析

解1)當m=0時，y=-x2+2,畫出圖像(如圖2).當x=0時,y=2；當x=1時，y=1.因此，可求該拋物線下方(包括邊界)的好點有5個，分別是(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1).

圖2 圖3

2)當m=3時，y=-(x-3)2+5，畫出圖像(如圖3).當x=1時,y=1；當x=2時，y=4；當x=4時，y=4.因此，該拋物線上的好點坐標分別是(1，1)，(2，4)和(4，4).

前兩個小題都賦予了m特殊的值，直接代入二次函數解析式，畫出圖像，從而完成解答，解法自然生成.

對于第3)小題,先作如下思考:

問題1觀察第1)和第2)小題畫出的拋物線，有何共同特征?

觀察發現兩個拋物線的位置不同,但形狀一樣.拋物線y=-(x-m)2+m+2的二次項系數為-1.隨著m的變化，拋物線的位置發生改變，但形狀和開口方向都不變，即可通過平移得到.

這是浙教版《數學》九年級上冊第11頁第1.2.2節二次函數的內容.

圖4

問題2點P的坐標是什么？可得什么信息？

由題目可知,點P(m,m+2)為拋物線y=-(x-m)2+m+2的頂點.觀察點P的橫、縱坐標，發現點P定在直線y=x+2上,隨著m的變化,點P在這條直線上運動.

問題3點P在正方形OABC的內部,說明了什么?

2.出臺針對基層統戰干部的表彰獎勵制度。為保證統戰干部對統戰對象、統戰工作的熟悉度，應鼓勵其長期從事基層統戰工作。為此，應建立基層統戰干部“功勛獎勵”機制，可考慮經由中央統戰部會同組織人事部門對長期從事基層統戰工作并取得成績的黨員干部發放紀念章或勛章，對在統戰工作某個領域取得突出成績的“優秀統戰干部”予以單項表彰，并作為統戰干部年度考核、評先選優、職級晉升的重要依據。

點P(m,2m)在正方形OABC的內部,則0

圖5

綜合以上信息,我們要研究的拋物線只要讓頂點在線段DE(不包括端點)上平移即可，如圖5.

問題4先畫哪條拋物線？用什么辦法平移呢？

根據浙教版《數學》七年級下冊第22頁第1.5節平行線的內容：

例2把長方形ABCD沿箭頭所指的方向平移，使點C落在點C′(如圖6)，畫出經這一平移后所得的圖形.

圖6 圖7 圖8

方法1如圖7，將透明紙覆蓋在長方形ABCD上，畫出相同的圖形，然后把透明紙沿箭頭所指的方向平移，直到點C與點C′重合(如圖8).長方形A′B′C′D′就是長方形ABCD經平移后得到的圖形.

圖9

根據以上方法，只需將透明紙覆蓋在圖1上,畫出拋物線,然后把透明紙沿DE方向平移,觀察好點個數即可.

圖10

通過數形結合、平移、從特殊到一般、分析臨界狀態等方法，還可以解決好點為其他個數時的情況，做到觸類旁通，有效地解決此類問題.

3 教學啟示

3.1 充分挖掘教材

不管中考題如何呈現，命題的知識點和思想方法都以課本為基準，進行合理綜合、拓展延伸.因此，教師平時的課堂教學要充分利用教材，深入研究教材及課程標準，領會教材編寫意圖，前后知識做到融會貫通.在教學過程中，將教材作用最大化.

例如,平移這節課的例題教學,課本提供了兩種方法：1)實際操作法，用透明紙覆蓋、畫出相同長方形、平移、再畫出平移后的圖形；2)用作圖的方法，先畫出長方形4個頂點平移后的頂點，再依次連接起來.兩種方法能發散學生的思維，讓他們領會解決問題方法的多樣性，從而解決平移問題.但有些教師往往會覺得實際操作法簡單,而第二種是平移作圖的基本方法，非常重要；教師容易忽略實際操作法，直接學習或著重講解第二種方法.這就降低了例1第3)小題的得分率，是沒有充分挖掘教材的后果.

3.2 積極引導思考

《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確提出：要處理好教師講授與學生自主學習的關系，注重啟發學生積極思考.有思考、有參與、有體驗的學習才會記憶深刻，更加具有創造力.比如例1中的點P(m,m+2)，教師可以通過以下問題引導學生思考：1)觀察點P的橫、縱坐標，你有什么發現?2)你是如何發現的，能進行驗證嗎?3)你能確定點P的位置嗎……如果平時我們都通過問題引導學生思考,開展教學,那么學生肯定更有興趣,能積極參與到數學活動中來.

3.3 注重滲透方法

現在是素質教育的時代,搞題海戰術肯定是行不通的.作為教師,在平時的教學活動中,要有計劃、有意識地滲透數學思想方法,這樣才能讓學生學會分析與解決問題,增強學生的創造力.比如例1中求取值范圍問題：1)要確定一個范圍，最重要的是確定什么？2)要確定臨界值,要先畫出臨界狀態,請你畫一畫.3)這種臨界狀態有何特征?4)過點F,對m有什么要求……通過這樣的教學,滲透了求臨界值法確定范圍和數形結合的思想方法，隨著方法的積累,學生自然看到問題,方法水到渠成.

3.4 合理利用軟件

如今不管是平時上數學課,還是出各種試卷,幾何畫板軟件已經非常普及,只要畫好圖形,根據題意,變化位置,就可以編制出壓軸題.在動態過程中,各種情形馬上顯現,對解題有著巨大幫助.但一看壓軸題,就利用幾何畫板分析,學生缺少了畫圖、觀察、猜測、計算、思考、推理、驗證、探索等獨立活動過程,對學生的思維發展是十分不利的.因此,在學生的學習階段,幾何畫板軟件適合在學生分析解決問題之后,作為輔助工具,讓學生進行觀察,更好地明白動態過程,對自己的分析結果作一個檢驗,從而體會分類討論的完整性.對于函數圖像教學,也是如此.先讓學生自己動手畫,隨著點的增多,感受圖像的形狀,有了體會之后,再利用幾何畫板.這樣利用軟件,學生的學習會更加深刻.

3.5 培養綜合能力

學習是為了更好的生活,解決生活中出現的問題并且進行創新，培養學生的綜合能力顯得尤為重要.在數學教學中,我們要讓學生學會看書、學會自學、學會獨立思考,如果有問題,大膽地表達出自己的想法,要學會交流、學會合作,養成良好的學習習慣,運用數學的思維去進行思考,增強發現和提出問題、分析和解決問題的能力.