小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力發(fā)展研究

（浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004）

數(shù)學(xué)問題提出是指“學(xué)生在己有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，對具體的情境給出自己的理解，并建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)問題的過程”[1].它與問題解決密切相關(guān)，一直以來被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的重要組成部分，是個人探索、研究數(shù)學(xué)問題的出發(fā)點(diǎn).因?yàn)椋瑐€人不僅要識別現(xiàn)實(shí)生活中有待解決的問題[2]，也需要在問題解決和數(shù)學(xué)探究中提出自己的問題，進(jìn)行自我反思[3]，以及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通過這些具有實(shí)際意義的問題充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)的意義，逐步樹立起學(xué)好數(shù)學(xué)的信心[4].因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起步階段就進(jìn)行問題提出能力的培養(yǎng)顯得至關(guān)重要，而這又以能夠準(zhǔn)確把握小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的現(xiàn)狀與發(fā)展特征為前提.

國內(nèi)學(xué)者進(jìn)行了兩項(xiàng)具有代表性的實(shí)證研究.早期的一項(xiàng)[5]是從某省8個縣市9所小學(xué)的四～六年級中分別隨機(jī)選擇一個班級，每班又隨機(jī)抽取40名學(xué)生，考查學(xué)生在圓點(diǎn)圖形和文字描述等表征的規(guī)律性問題情境下，提出難易程度不同的3個數(shù)學(xué)問題的表現(xiàn).該研究發(fā)現(xiàn)：盡管五、六年級分別提出較好、一般的數(shù)學(xué)問題的數(shù)量最多，但是學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力普遍較低，達(dá)到一般及以上的比例不足35%，年級差異也不明顯.最近的一項(xiàng)[6]將被試范圍拓展到二～六年級，借鑒SOLO分類，著重從學(xué)生提出問題的質(zhì)量方面，將數(shù)學(xué)問題提出水平進(jìn)一步劃分為由“最多能提出陳述性問題”到“能較為系統(tǒng)地提出發(fā)展性問題”共4個明確的層次，獲得了不同的發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在開放的現(xiàn)實(shí)情境下具有提出發(fā)展性問題的潛能；問題提出能力的發(fā)展具有階段性特征；二～五年級為其中跨度最長的發(fā)展階段.

值得關(guān)注的是，上述兩項(xiàng)研究在以下方面取得了較大推進(jìn).第一，精心設(shè)計問題提出情境，更加關(guān)注背景的公平性.第二，不僅發(fā)現(xiàn)五～六年級學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力處于較高的水平，更進(jìn)一步將二～五年級視為一個發(fā)展階段.但它們均未探討處于該發(fā)展階段的4個年級之間是否存在顯著差異和發(fā)展關(guān)鍵期，也沒有對數(shù)學(xué)問題提出能力是否存在性別差異進(jìn)行調(diào)查.其實(shí)，關(guān)于思維發(fā)展的心理學(xué)研究早已指出，10～11歲是兒童思維發(fā)展的“關(guān)鍵年齡”，由具體形象思維過渡到抽象邏輯思維[7].此外，13年前相關(guān)的一項(xiàng)研究[8]也表明：小學(xué)生創(chuàng)造性科學(xué)問題提出能力整體呈上升趨勢，三～四年級是發(fā)展的“關(guān)鍵期”，男、女生創(chuàng)造性科學(xué)問題提出能力發(fā)展趨勢基本相同，男生整體要略高于女生，二者差異不顯著.顯然，這兩項(xiàng)研究的結(jié)論和研究方法為回答上述問題指明了方向.基于此，對三～六年級小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行研究.

1 分析框架

在學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的評價上，Cankoy和Hasan廣泛借鑒已有的研究成果，開發(fā)了一個評價小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的量表[9]，并運(yùn)用概化理論對其可靠性進(jìn)行了驗(yàn)證.該量表共包含可解性、合理性、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、情境和語言等5個維度.其中，“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的判斷依據(jù)是學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題中的未知量在該問題所揭示的思維過程中的特定位置，即是否在其末端之處.比如，學(xué)生對“運(yùn)用算式(160+40)×2，編寫兩個計算相關(guān)圖形周長的數(shù)學(xué)問題.”這一任務(wù)，若能提出“一個長方形的周長是400，長是160，寬是多少？”就是運(yùn)用逆向思維提出數(shù)學(xué)問題，也即提出的是“起始未明”型數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的問題.由此可知，這一維度實(shí)際上是在探測學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的思維順序.“情境”維度是指問題所處理的對象與教師在課堂上使用的形式是否截然不同，或在教科書中是否少見，也即所提出的問題是否非常規(guī).“語言”維度則是指表述問題的語言是否清晰、易懂、流暢與遵守語法規(guī)則.由此可知，這3個維度分別是從數(shù)學(xué)復(fù)雜性、情境性和可讀性角度評價學(xué)生的問題提出能力.

但問題的“數(shù)學(xué)復(fù)雜性”不是單一概念，而是復(fù)雜的綜合體，已有研究[10-12]又多從語義復(fù)雜性角度進(jìn)行評價.因此將“數(shù)學(xué)復(fù)雜性”分為兩個子維度，分別是語義復(fù)雜性和結(jié)構(gòu)復(fù)雜性.其中，語義復(fù)雜性包含6個子指標(biāo)：重述、組合、更換、變換、比較和分類.前5個指標(biāo)在文獻(xiàn)[10]中有詳細(xì)論述，在此不再贅述.但這5個子指標(biāo)難以包含“通過對問題提出情境中某一對象進(jìn)行分類來提出數(shù)學(xué)問題”這一情形，因而研究增添此類型，并將其命名為“分類”語義類型.另外，當(dāng)面對同一個情境提出多個問題時，問題之間的變化則能反映出提問者思維的靈活性，因此“變通性”也應(yīng)該作為一個重要的評價維度.當(dāng)然，對于“情境性”，除了常規(guī)性判斷之外，還有必要考慮提出的問題是純粹的數(shù)學(xué)問題還是蘊(yùn)含個人、職業(yè)、社會或科學(xué)等情境的數(shù)學(xué)問題.

因此，研究對上述評價框架進(jìn)行了調(diào)整與擴(kuò)充，從以下7個方面界定小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力，如表1所示.評價實(shí)施過程可簡要分為如下4個步驟：第一步，如果被試提出的是構(gòu)不成問題的陳述，或非數(shù)學(xué)問題，或不符合題意，或重復(fù)表述的數(shù)學(xué)問題，則直接賦0分；第二步，如果被試不滿足第一步的條件，則在此基礎(chǔ)上評價其提出的每一個數(shù)學(xué)問題的可解性、合理性、情境性、數(shù)學(xué)復(fù)雜性（語義和結(jié)構(gòu)）、可讀性等6個品質(zhì)；第三步，對于被試基于同一個問題提出情境提出的多個數(shù)學(xué)問題，評價其變通性品質(zhì)；第四步，對第二、三步的賦值求和，所得數(shù)值即為小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的總體得分.

表1 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力評價框架

2 研究方法

2.1 被試

被試學(xué)校為河南省新鄉(xiāng)市一所公辦小學(xué)，每個年級8個班，教學(xué)成績在市屬公辦小學(xué)中處于上等水平.被試家庭的社會經(jīng)濟(jì)狀況普遍處于市區(qū)中、上等水平.研究者依據(jù)2017—2018學(xué)年上學(xué)期期末測試成績，將三～六年級的每個年級平均分為高、低兩個層次班，分別從中挑選一個中等水平的班級.剔除無效測試卷13份，最終統(tǒng)計被試年級人數(shù)分布如表2所示.需要說明的是，被試在測試前已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、三角形、梯形等圖形的周長以及加、減、乘、除四則運(yùn)算知識，所使用的人教版數(shù)學(xué)教科書存在一定數(shù)量的問題提出情境，在日常的課堂學(xué)習(xí)中也有問題提出的機(jī)會.因此，研究者認(rèn)為被試已初步了解數(shù)學(xué)問題提出.

表2 被試年級人數(shù)分布

2.2 實(shí)驗(yàn)材料

研究選取“圖形的周長”為測試內(nèi)容.遴選的原因是該內(nèi)容僅在三年級上學(xué)期學(xué)習(xí)，可以避免因被試關(guān)于測試內(nèi)容的知識儲備不同而引發(fā)的不公平.

Christou等[13]結(jié)合問題提出認(rèn)知過程提出了4種類型的數(shù)學(xué)問題提出任務(wù)，分別是基于理解、轉(zhuǎn)換、選擇和編輯提出數(shù)學(xué)問題.這一分類得到了研究者的認(rèn)可[14-15]，被廣泛應(yīng)用于[16-17]研究小學(xué)與職前教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力中.據(jù)此命制了小學(xué)三～六年級學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力測試題.測試題有4道，分別是基于理解、選擇、轉(zhuǎn)換和編輯提出數(shù)學(xué)問題，其中第一題包含兩小題，難度遞增，從理解單一算式的意義提出數(shù)學(xué)問題，到基于“關(guān)聯(lián)”視角建立兩個算式所表示圖形的組合提出數(shù)學(xué)問題.

測試題由數(shù)學(xué)教育研究人員、數(shù)學(xué)教育研究專家以及區(qū)級教研員（小學(xué)高級教師）組成的4人團(tuán)隊命制.命制團(tuán)隊圍繞圖形周長相關(guān)的知識，以教材和Christou等學(xué)者的問題提出任務(wù)為藍(lán)本編制測試題初稿，并經(jīng)5次預(yù)測與訪談、研討與修改，再結(jié)合兩位資深的數(shù)學(xué)教育專家的建議進(jìn)行調(diào)整，從而形成最終稿，如表3所示.

表3 測試材料

2.3 實(shí)驗(yàn)程序

以班級為單位集體施測，主試為研究者與一名數(shù)學(xué)教育研究專家，測試時間為30分鐘.為了避免部分學(xué)生消極應(yīng)對，主試在測試前向被試提供相同的激勵語和引導(dǎo)語.在測試的過程中，如果被試有什么疑惑，主試會給予必要的答疑，但不會對題意進(jìn)行任何解釋和提示.測試結(jié)束后，挑選提問情況具有代表性的個別學(xué)生，進(jìn)行5～10分鐘的訪談.

2.4 計分方法

表4為調(diào)整與擴(kuò)充后的小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力評價量表.其中，“情境性”的評價分兩個步驟進(jìn)行.首先，判斷問題是否常規(guī).比如，被試提出的“長方形菜地長160米，寬比長少3倍，周長多少？”這個問題并沒有直接給出長方形的寬，而是將其表述成長方形長的“倍數(shù)”關(guān)系，由此被稱之為非常規(guī)問題，被賦值2分.其次，對于常規(guī)性數(shù)學(xué)問題，通過進(jìn)一步細(xì)分為有情境和無情境類型進(jìn)行賦值.無情境類型僅指純數(shù)學(xué)情境，有情境類型指問題至少包含PISA中測評數(shù)學(xué)素養(yǎng)的真實(shí)情境類別框架[18]中的一種類型.“變通性”維度中的數(shù)學(xué)問題種類是依據(jù)情境性、語義復(fù)雜性、結(jié)構(gòu)復(fù)雜性和未知量種類4個角度進(jìn)行判斷.

2.5 信效度檢驗(yàn)

樣本的數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)得分均符合正態(tài)分布.

信度檢驗(yàn)：兩位評分者隨機(jī)從三～六年級各選取30份、共計120份答卷進(jìn)行獨(dú)立評分.兩組分?jǐn)?shù)值的Pearson積差相關(guān)系數(shù)r=0.918（P=0.000），數(shù)學(xué)問題提出能力總體得分與各品質(zhì)得分的Cronbach'sα系數(shù)為0.86.說明測試具有較高的分半信度與內(nèi)部一致性信度.

效度檢驗(yàn)：表4是在已有的廣泛研究成果[9]的基礎(chǔ)之上形成的，突出了測試內(nèi)容的廣度、涵蓋度與豐富性，具有較好的內(nèi)容效度.實(shí)驗(yàn)計算了小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力各個品質(zhì)分?jǐn)?shù)與總得分間的相關(guān).數(shù)據(jù)表明：除結(jié)構(gòu)復(fù)雜性之外（討論部分做進(jìn)一步的說明）的其他各品質(zhì)與總得分之間的相關(guān)遠(yuǎn)高于各品質(zhì)之間的相關(guān)，說明具有較好的結(jié)構(gòu)效度.

表4 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力評價賦值表

3 結(jié)果與分析

不同年級、不同性別小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力及結(jié)構(gòu)復(fù)雜性之外的其它6種品質(zhì)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差如表5所示.需要特別說明的是，在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上，學(xué)生的得分僅有0分、1分、2分、3分、5分共5種情形，對應(yīng)的人數(shù)分別為411、48、8、2和1.其中，得分為0的學(xué)生占比87.45%，得分為0或1的學(xué)生占比99.78%.據(jù)此可知，學(xué)生在該品質(zhì)上的得分不具有統(tǒng)計意義，也即各個年級、不同性別的被試在運(yùn)用逆向思維提出數(shù)學(xué)問題方面表現(xiàn)極為不佳.因此，不必在本節(jié)后續(xù)部分對結(jié)構(gòu)復(fù)雜性做專門討論，因而本節(jié)后續(xù)有關(guān)“各品質(zhì)”的論述不再包含結(jié)構(gòu)復(fù)雜性.

3.1 年級和性別對小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的影響

以數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)作為因變量，以年級、性別作為自變量，進(jìn)行多元方差分析.結(jié)果表明：第一，年級與性別在數(shù)學(xué)問題提出能力及各品質(zhì)上的交互作用不顯著（F(3,666)=0.83,P＞0.05）.第二，年級對小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力總體具有顯著的主效應(yīng)（F(3,666)=7.99,P＜0.01），表明三～六年級學(xué)生的問題提出能力總體存在差異.第三，性別主效應(yīng)不顯著（F(3,666)=0.62,P＞0.05），男、女生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)上的差異不顯著.進(jìn)一步分析表明，年級在小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力各品質(zhì)上均顯著，分別為 F(3,666)=14.52，P＜0.01，η2=0.09；F(3,666)=13.13，P＜0.01，η2=0.08；F(3,666)=31.31，P＜0.01，η2=0.17；F(3,666)=18.83，P＜0.01，η2=0.11；F(3,666)=16.56，P＜0.01，η2=0.10；F(3,666)=13.03，P＜0.01，η2=0.08；F(3,666)=23.52，P＜0.01，η2=0.14.

表5 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力及各品質(zhì)得分均值（標(biāo)準(zhǔn)差）

3.2 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的年級差異

以數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)作為因變量，以年級作為自變量，進(jìn)行單因素方差分析.結(jié)果表明：小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)均呈上升趨勢.利用LSD法進(jìn)行事后多重比較發(fā)現(xiàn)：（1）在數(shù)學(xué)問題提出能力總體及可解性、情境性（圖1所示）和語義復(fù)雜性3個品質(zhì)上，三年級顯著低于四、五、六年級（P＜0.05），四年級又顯著低于五、六年級（P＜0.05），五年級低于六年級但差異不顯著（P＞0.05）.（2）在合理性上，如圖2所示：三年級顯著低于其他3個年級（P＜0.01），四年級低于五年級差異不顯著（P＞0.05），但卻顯著低于六年級（P＜0.01），五年級低于六年級差異不顯著（P＞0.05）.（3）在可讀性上，如圖3所示：三年級顯著低于四、五、六年級（P＜0.01），四年級低于五年級差異不顯著（P＞0.05），但卻顯著低于六年級（P＜0.001），五年級也顯著低于六年級（P＜0.05）.（4）在變通性上，如圖4所示：三年級顯著低于其他3個年級（P＜0.001），而四年級盡管低于五、六年級，五年級也低于六年級，不過這種差異并不顯著（P＞0.05）.這說明在數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)的發(fā)展過程中，四年級顯著高于三年級，又與五、六年級存在一定的差異.

圖1 情境性均值的年級差異

圖2 合理性均值的年級差異

圖3 可讀性均值的年級差異

圖4 變通性均值的年級差異

3.3 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的性別異同

研究發(fā)現(xiàn)，男、女生的數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)整體均呈上升趨勢.利用LSD方法分別對男、女生的數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)進(jìn)行多重比較，進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)如下：

第一，男、女生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)上得分均值的高低在四年級發(fā)生轉(zhuǎn)折性變化.如圖5、圖6所示：三年級男生在數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)上的得分均低于女生；而到了四年級，男生的得分均高于女生；五年級男生在數(shù)學(xué)問題提出能力總體及情境性、變通性兩個品質(zhì)上的得分低于女生，而在其他4個品質(zhì)上幾乎與女生持平；上到六年級，這一情形幾乎沒變，男生在數(shù)學(xué)問題提出能力總體及情境性與語義復(fù)雜性兩個品質(zhì)上的得分低于女生，但在其他4個品質(zhì)上幾乎與女生持平.

第二，男生與女生一樣，其數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)的發(fā)展存在3個階段.對于男生而言，在數(shù)學(xué)問題提出能力總體及情境性、可讀性和語義復(fù)雜性3個品質(zhì)上，三年級顯著低于其他3個年級（P＜0.01），四年級低于五年級差異不顯著（P＞0.05），但卻顯著低于六年級（P＜0.05）；五年級低于六年級，差異不顯著（P＞0.05）.在可解性、合理性、變通性上，三年級顯著低于其他3個年級（P＜0.01），而四年級低于五、六年級，五年級也低于六年級，但這些差異并不顯著（P＞0.05）.這說明男生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展可能存在3個較為明顯的階段，依次為：三年級，四年級和五、六年級.對于女生而言，在可讀性品質(zhì)上，三年級低于四年級，差異不顯著（P＞0.05），但卻顯著低于五、六年級（P＜0.05），四年級低于五年級，差異不顯著（P＞0.05），卻顯著低于六年級（P＜0.05），五年級低于六年級，但差異不顯著（P＞0.05）.在數(shù)學(xué)問題提出能力總體及其他5個品質(zhì)上，三年級低于四年級，但不顯著（P＞0.05），不過卻顯著低于五、六年級（P＜0.05），四年級顯著低于五、六年級（P＜0.05），五年級低于六年級，但差異不顯著（P＞0.05）.這同樣說明，女生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)的發(fā)展也存在類似的3個階段，并在四年級發(fā)生顯著性變化.

圖5 學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力各品質(zhì)均值上的性別差異

圖6 學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力總體均值上的性別差異

4 討論

研究從年級、性別及其交互作用的相關(guān)性上，探討了小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)的現(xiàn)狀與發(fā)展規(guī)律.

4.1 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性特征

在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上，89.77%的被試得分為0或1.這說明學(xué)生在提出“起始未明”型問題方面的難度異常大，甚至可以說不具備提出該類問題的能力.這一發(fā)現(xiàn)與關(guān)于問題解決的一項(xiàng)研究結(jié)果[19]存在相似之處.該研究認(rèn)為，學(xué)生在解決“起始未明”型問題上遇到困難，主要是由任務(wù)結(jié)構(gòu)差異的邏輯性結(jié)果引發(fā)的.具體而言：當(dāng)學(xué)生解決一個“起始未明”型問題時，除了要克服特定的困難（不能像該類問題描述的那樣，簡單地運(yùn)用算術(shù)運(yùn)算）之外，還必須做其他一些事情，比如，理解問題表述和進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算等，以等效“結(jié)果不明”型問題.由此可知，“起始未明”型問題的解決在邏輯上可能受到更大的限制，至少與“結(jié)果不明”型問題一樣困難.

進(jìn)一步，學(xué)生提出“起始未明”型問題在邏輯上受到的限制，與解決它所受到的限制相同，甚至更大.原因在于這類問題的提出涉及特定的情感與認(rèn)知.一方面，要在情感上敢于挑戰(zhàn)順向思維這種傳統(tǒng)的算術(shù)思維形式，大膽運(yùn)用逆向思維；另一方面，在認(rèn)知上，（必要情況下通過問題解決的方式）初步了解給定情境或任務(wù)中的數(shù)量關(guān)系，通過思維逆序的方式由末端回溯至始點(diǎn)進(jìn)一步厘清這種數(shù)量關(guān)系.以前文所舉的“起始未明”型問題為例，一被試在回顧自己提出該問題的思維過程中，指出不甘心提出已知長方形的長與寬求其周長的常規(guī)問題，而欲反其道以行之的想法和行為.由此可知，“起始未明”型問題的提出對學(xué)生的情感、思維容量和思維順序等要求更高，因而會出現(xiàn)更大的困難.在此方面，被試普遍表現(xiàn)極差，可稱之為結(jié)構(gòu)復(fù)雜性品質(zhì)欠缺.

4.2 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展趨勢

小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)（結(jié)構(gòu)復(fù)雜性除外）均呈上升趨勢.這與一般意義上的小學(xué)生問題提出能力，以及特定領(lǐng)域的小學(xué)生創(chuàng)造性科學(xué)問題提出能力的研究結(jié)果[8，20]一致.主要原因是：第一，小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力隨著其知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的日趨完善和豐富而提高.數(shù)學(xué)知識、生活經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力發(fā)展的前提和基礎(chǔ)[21]，盡管“圖形的周長”這一測試內(nèi)容是三年級上學(xué)期中一個獨(dú)立的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但隨著年級的增高，尤其是四～六年級“圖形與幾何”領(lǐng)域中“面積”“數(shù)與運(yùn)算”等內(nèi)容的學(xué)習(xí)和經(jīng)驗(yàn)的積累，無形中幫助小學(xué)生深入理解周長知識，豐富關(guān)于周長的認(rèn)知，進(jìn)一步完善知識結(jié)構(gòu)，由此在一定程度上促進(jìn)了小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展.第二，問題提出能力伴隨著學(xué)生言語表達(dá)能力的增強(qiáng)而提高.問題提出是將發(fā)現(xiàn)的問題用語言表述或用符號表達(dá)的過程[22]，因而是一種內(nèi)在的言語活動.正如一位研究者[20]所指出的，問題提出能力的發(fā)展應(yīng)該離不開言語的發(fā)展，小學(xué)生問題提出能力隨年齡增長而發(fā)展可能與兒童言語的發(fā)展有關(guān).第三，教科書中問題提出內(nèi)容的編排與日常的問題提出教學(xué)是小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力發(fā)展的外在因素.小學(xué)數(shù)學(xué)一～六年級的教科書中設(shè)置了數(shù)學(xué)問題提出欄目，類型多樣且分布于不同的教學(xué)環(huán)節(jié)中[23]，能“更好地發(fā)揮教科書在培養(yǎng)學(xué)生問題意識和提出問題能力方面的引教導(dǎo)學(xué)作用”[24].除此之外，在日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師會積極創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生主動提出數(shù)學(xué)問題.這二者分別以間接和直接的方式促進(jìn)了小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展.

4.3 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力發(fā)展的階段性

首先，四年級是一個特殊時期.在這一階段，小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力由較低水平向更高水平過渡，并且男、女生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)（結(jié)構(gòu)復(fù)雜性除外）上的得分均值間的差異發(fā)生轉(zhuǎn)折性變化，男女生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及各品質(zhì)（結(jié)構(gòu)復(fù)雜性除外）間的差異也發(fā)生顯著性變化.以上表明：小學(xué)生在四年級表現(xiàn)出數(shù)學(xué)問題提出能力及各品質(zhì)（結(jié)構(gòu)復(fù)雜性除外）迅速發(fā)展的趨勢.

這一發(fā)現(xiàn)與國外有關(guān)藝術(shù)類問題提出的兩個早期研究具有很大的相似性.第一個[8]是通過對小學(xué)藝術(shù)課教師大量深入的觀察，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)四年級學(xué)生提出的問題更加完善，且在三、四年級實(shí)現(xiàn)了一個質(zhì)的飛越：由一些表層問題發(fā)展到刨根問底，提出一些追求事物本質(zhì)的深層問題.這一研究表明三、四年級是學(xué)生問題提出能力的數(shù)學(xué)復(fù)雜性品質(zhì)具有質(zhì)的提高的一個時期.第二個[8]則是關(guān)于小學(xué)生理解和解釋圖片能力的，研究發(fā)現(xiàn)小學(xué)生在11歲時可以創(chuàng)造性地解釋場景描述，在“問—猜”測驗(yàn)中簡潔闡述原因假設(shè)的能力初見端倪.該研究發(fā)現(xiàn)的前一種能力是學(xué)生在仔細(xì)觀察、描述事物或現(xiàn)象上進(jìn)行的標(biāo)新立異、變通等創(chuàng)新，與問題提出的情境性品質(zhì)和變通性品質(zhì)有關(guān)；另一種能力是推理上的邏輯性、合理性、簡潔性的表現(xiàn)，與問題提出能力的可解性、合理性、語義復(fù)雜性與可讀性品質(zhì)密切相關(guān).由此可知，這兩項(xiàng)研究從數(shù)學(xué)問題提出能力的6個品質(zhì)方面對研究結(jié)果給予了支持.

另外，研究進(jìn)一步明確了四年級是小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力迅速發(fā)展的一個特殊階段，重要依據(jù)是學(xué)生思維發(fā)展的特殊性，這與小學(xué)生創(chuàng)造性科學(xué)問題提出能力發(fā)展關(guān)鍵期的劃分和依據(jù)一致[8].小學(xué)四年級（10～11歲）是兒童思維發(fā)展的“關(guān)鍵年齡”，是具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵階段[7].小學(xué)三年級以具體形象思維為主，而數(shù)學(xué)本身具有抽象性和高認(rèn)知的特點(diǎn)，限制了學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展.直到小學(xué)四年級，學(xué)生初步具備了抽象邏輯思維能力，數(shù)學(xué)問題提出能力也隨之發(fā)生了驟變.

其次，小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展可分為3個階段.其中，三年級為較低發(fā)展階段，四年級為“關(guān)鍵”發(fā)展期，而五、六年級為高級發(fā)展階段.這一發(fā)現(xiàn)與最近國內(nèi)一項(xiàng)研究結(jié)果具有相似之處[6]——都將小學(xué)生問題提出能力劃分為3個階段或水平，但又有一些不同.后者是依據(jù)干預(yù)措施介入前后二～六年級學(xué)生發(fā)展性數(shù)學(xué)問題提出的變化，將學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力分為如下3個階段：第一，在二年級沒有經(jīng)歷問題提出學(xué)習(xí)活動前，學(xué)生處于從不會提出問題到能提出簡單問題的“過渡階段”，第二，經(jīng)歷問題提出學(xué)習(xí)活動后，二～五年級學(xué)生處于問題提出的“局部思考階段”；第三，經(jīng)歷問題提出學(xué)習(xí)活動后，六年級學(xué)生進(jìn)入問題提出的“整體思考階段”.該劃分突出了學(xué)生思維廣闊性明顯變化的3個階段.相比而言，研究則是從數(shù)學(xué)問題提出能力各個品質(zhì)所體現(xiàn)的思維深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性等方面加以劃分，對具體階段的劃分可能更為精細(xì)，并突出了關(guān)鍵發(fā)展期這一特征.

4.4 小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的性別差異

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上存在性別差異似乎是一個公認(rèn)的事實(shí).傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)常常被視為是一個男性占優(yōu)的學(xué)科[25].因此，男女被試在數(shù)學(xué)問題提出能力及各品質(zhì)上的差異也成為研究的關(guān)注點(diǎn).研究發(fā)現(xiàn)，男、女生數(shù)學(xué)問題提出能力發(fā)展趨勢基本相同，呈上升趨勢，且二者間的差異性并不顯著.這一發(fā)現(xiàn)與2003年P(guān)ISA和TIMSS的數(shù)學(xué)測驗(yàn)數(shù)據(jù)所反映的性別差異[26]相似：兩者差異很小，并不具有實(shí)際意義.這說明男、女生之間的相似性要比差異性多得多.究其原因，一方面，從心理學(xué)視角看，男性和女性在大部分心理變量上是相似的[27]；另一方面，中國傳統(tǒng)文化中雖然存在明顯的性別不平等，但當(dāng)下文化中卻具有強(qiáng)烈性別平等取向[28]：受計劃生育政策的影響，中國傳統(tǒng)的男尊女卑思想受到了很大的沖擊，在教育投入方面，特別是城市家長對女孩的投入與男孩一樣多，甚至?xí)?研究的被試是市區(qū)學(xué)生，家庭經(jīng)濟(jì)狀況整體處于市區(qū)中、上水平.由此可以推斷，被試父母的教育程度和對教育的投入程度相對較高，在子女的教育投入上并不存在明顯的性別差異.可以認(rèn)為，小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力不存在性別差異.

5 結(jié)論與展望

5.1 結(jié)論

（1）小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性品質(zhì)缺失；

（2）小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及其它各品質(zhì)呈上升發(fā)展趨勢，存在3個發(fā)展階段，四年級為發(fā)展的“關(guān)鍵期”；

（3）男女生數(shù)學(xué)問題提出能力總體及其它各品質(zhì)的發(fā)展趨勢基本相同，呈上升趨勢，二者差異不顯著.

5.2 局限性

（1）數(shù)學(xué)問題提出能力的評價方法.該研究主要使用紙筆測試，要求學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，而沒有讓他們解答自己提出的問題，由此難以從學(xué)生解答的角度更加深入了解他們是如何概念化自己提出的問題；雖然通過訪談了解了部分學(xué)生問題提出的思維過程，但覆蓋面較小，在一定程度上難于獲得更加真實(shí)和全面的數(shù)據(jù)信息.

（2）被試年齡范圍與調(diào)查范圍.由于被試為中部省份一個市區(qū)公辦學(xué)校三～六年級的學(xué)生，因而研究的結(jié)果是否適用于鄉(xiāng)村學(xué)校以及經(jīng)濟(jì)與文化發(fā)達(dá)的地區(qū)，有待后續(xù)研究.

5.3 展望

（1）在數(shù)學(xué)課程的設(shè)計上，可結(jié)合小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展規(guī)律，進(jìn)一步細(xì)劃《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中有關(guān)問題提出能力的兩個發(fā)展階段，并從情境性、復(fù)雜性、變通性等方面，對該課程標(biāo)準(zhǔn)中第二學(xué)段的問題提出能力要求——能從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學(xué)問題，做進(jìn)一步的具體化與明確化，這可能是未來理論研究與實(shí)踐探討的一個重要方向.

（2）在數(shù)學(xué)教科書的編寫上，如何體現(xiàn)如（1）指出的課程要求的可能性變化，以及創(chuàng)設(shè)何種類型的問題提出情境有助于激發(fā)學(xué)生提出“起始未明”型問題，也是值得重點(diǎn)關(guān)注的議題.

（3）在以問題提出為培養(yǎng)目標(biāo)的教學(xué)上，教師既要結(jié)合各個年級學(xué)生問題提出能力的不同水平與特征實(shí)施教學(xué)，實(shí)現(xiàn)能力培養(yǎng)的連續(xù)性和梯度性，又要把握好四年級這個關(guān)鍵時期，多種方式著力培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力，對此可探索學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力發(fā)展路徑的教學(xué)研究.

致謝：感謝河南省新鄉(xiāng)市新區(qū)小學(xué)對調(diào)研活動的支持！