中澳數學教師專業(yè)行動能力的比較研究
——以“統計思想”為例

（溫州大學 教師教育學院，浙江 溫州 325035）

“Teacher Capacity”最早出現在有關學校改進、學校領導以及系統改革等文獻中，著重關注教師在面對學校系統變革或課程改革時的應對與適應情況[1].有研究將Teacher Capacity翻譯為“教師專業(yè)行動能力”，考察中澳兩國數學教師在具體內容的教學上“基于專業(yè)知識與素養(yǎng)做出教育教學判斷與決定的能力”[2].

2010年以來，世界上多數國家進行了新一輪國家層面的數學課程改革，如中國、澳大利亞與美國等.統計課程是世界各國著重強調的內容領域，當課程文件設定了改變的大方向后，統計教學整體理念的實施成功與否，最終取決于教師專業(yè)行動能力.數學教師在統計教學上的專業(yè)行動能力指教師在對統計思想的深刻認識下，深入解讀統計課程理念及發(fā)展方向，理解學生的數學學習與思考，在此基礎上設計具體教學情境與內容的專業(yè)能力.教師專業(yè)行動能力涵蓋了針對統計內容的數學知識、數學課程、學生學習及教學設計.

1 研究背景

毫無疑問，當今社會已是信息社會.在人類社會文化發(fā)展與經濟建設中，統計學已經凸顯出越來越至關重要的作用.在世界上的許多國家，統計已經成為中小學數學課程中必不可少的內容.學校里的統計課程與教學經歷了從重視概率計算到發(fā)展統計思想與素養(yǎng)的變化[3].“統計學的研究基礎是數據，依據數據進行分析和推斷.”[4]簡言之，統計的核心價值在于數據的收集、處理與分析.有研究者認為統計教學的關鍵應放在統計素養(yǎng)的養(yǎng)成上，并明確指出：“中小學階段學生學習統計的目標應多放在關鍵理念的理解與統計素養(yǎng)及思想的養(yǎng)成上.”[5]

這一觀點在世界上不少國家層面的數學課程標準中得到體現.在中國，“統計與概率”是《義務教育數學課程標準（2011版）》4個內容領域中的一個，要求學生“經歷在實際問題中收集和處理數據，利用數據分析問題、獲取信息的過程……體會統計方法的意義，發(fā)展數據分析觀念，感受隨機現象”[6].在《澳大利亞國家數學課程》中，“統計與概率”也是3個內容領域之一.其中指出：“統計與概率是并行發(fā)展的.學生認識分析數據并得出結論，表征、概括、理解數據并進行有目的的調查，包括收集理解數據……”[7]

然而，雖然課程標準非常明確地設定了統計教學的理念，在課程的實際實施過程中，由于很多教師不能理解統計的關鍵概念與統計教學的核心價值所在，并不清楚學生在統計學習上的要求，在教學中出現了偏差，最終導致了課程實施上的諸多問題.因此，研究數學教師的專業(yè)行動能力有著重要的意義.

2 研究問題

中澳兩國數學課程對“統計與概率”這一內容的要求體現出一個非常重要的相同之處，即對統計思想與統計素養(yǎng)培養(yǎng)的重視.研究旨在在國家數學課程改革這一背景下，對中澳兩國數學教師的專業(yè)行動能力進行分析比較.在這里，“統計”需要關注關鍵概念的理解以及統計思想的發(fā)展，而不僅是掌握理論概率計算的規(guī)則與方法.對于教師而言，既要檢驗教師是否理解與統計相關的關鍵概念，也要看教師如何理解課程標準中對這一內容的理念，還要關注教師是否能很好了解學生在這一內容上的學習狀況并做出合理的應對，最后要針對教師在這一特定內容上做出的具體教學設計.

3 研究方法

中國與澳大利亞最新的國家數學課程標準都將“統計與概率”作為單獨的內容領域，在內容結構與理念上非常相似.從20世紀下半葉開始，統計就已成為澳大利亞數學課程中的重要內容，這一點與多數西方國家一致.但是在中國，直到21世紀才在數學課程中正式地將統計內容作為一個單獨的內容領域[8].因此，研究采用比較研究的方法，以期從西方國家數學教師的專業(yè)行動能力反觀中國教師的情況.

3.1 研究樣本

研究選取的樣本為澳大利亞與中國六、七年級的數學教師，在澳大利亞墨爾本主城區(qū)與郊區(qū)的兩個學區(qū)的17所中小學隨機選取并回收了有效問卷共41份，其中來自七年級教師的有28份，另外13份由六年級教師完成.澳大利亞的小學數學教師不是專職教師，同時任教其它學科.中國部分的研究對象主要為參加各級培訓的數學教師，來自重慶、溫州、杭州3個地方的城區(qū)與鄉(xiāng)鎮(zhèn)學校，所有教師都是專職數學教師.共收集問卷115份，其中有效問卷103份.為了與澳大利亞樣本對應一致，研究者從有效樣本中隨機選取了41位教師，其中28位任教七年級，13位任教六年級，與澳大利亞樣本相對應.

3.2 研究工具

研究采用問卷研究，問卷采用開放的題目，這些問題是為教師準備的，并不是教科書中典型的為學生準備的習題，這些題目中包含了小學高年級與初中學生會遇到的與統計有關的情境與思想.內容由兩部分組成，A部分有4個跟統計思想相關的問題.其中第一個題目的情境是一個口香糖售賣機，里面裝有100?？谙闾?，其中20粒是黃的，30粒是藍的，50粒是紅的，這一題考查理論概率的計算以及對在現實生活中的“偏差”的理解；第二道題目通過對兩個直方圖的理解來考查對“變異性”這一概念的理解；第三道題目需要教師能對樣本容量大小對理論概率與實際變差（variation）關系的影響有較好的把握；第四道題目需要教師能區(qū)分不同事件之間的因果關系與相關因素.在完成A部分的4個問題后，教師還需要思考B部分中3個跟教學有關的問題：（1）如果讓你班級里的學生回答A部分的問題1e（問題1e是指問卷中問題1下面的子問題e，下文同），你認為在你的學生中可能出現的普遍性的困難和錯誤的理解會是什么？請針對問題1e中A-F中至少兩個錯誤的回答進行討論；（2）簡單談談A部分問題1中所包含的數學思想在數學課程標準六年級或七年級的要求中是如何體現的；（3）你認為A部分問題3中包含的主要數學思想是什么？如果你在課堂上教你的學生這些數學思想，你會如何設計一節(jié)或幾節(jié)課幫助學生理解這些重要思想？

3.3 研究框架

研究框架主要由美國密歇根大學Ball等人的“數學教學知識”結構模型[9]發(fā)展而來，并考慮中澳兩國的實際情況，將對數學課程標準理念的解讀作為研究框架中非常重要的一個內容，同時更加關注針對特定內容的具體教學.與之前對這一研究主題在加強數與代數銜接這一內容上的研究一樣，從下面4個維度對中澳數學教師的專業(yè)行動能力展開研究[10].不過，在對各維度的分析指標進行闡述時結合了統計思想的相關內容：（1）數學知識（記為“ZS”），是指對與統計相關的關鍵概念的理解；（2）對數學課程標準理念的解讀（記為“KC”），指向課程標準中發(fā)展統計思想的理念與要求；（3）對學生數學學習的理解（記為“XX”），是指對于不同學生的數學學習的認識與應對；（4）教學設計（記為“JX”），指設計具體教學發(fā)展學生的統計思想.而在每個維度下各有4個詳細的分析指標（如表1所示）.在收集數據之后，對各維度之間的相關系數進行分析，從0.38到0.65，都在0.3至0.7之間.這表明4個維度間存在適當的相容性，所有4個維度在測試中都有其作用與價值[11].說明分析框架具有良好的結構效度.

表1 數學教師專業(yè)行動能力的4個維度及詳細分析指標

4 研究分析

研究從質性分析和量化分析兩個方面，分析比較中澳數學教師在統計內容上的專業(yè)行動能力.對澳大利亞與中國教師的編碼分別為Au-n和Ch-n，其中Au和Ch分別代表澳大利亞與中國，n代表教師編號.

4.1 質性分析

分析框架中的每個維度都有4個具體的操作性指標，在分析教師問卷時，以4個維度下的詳細指標為依據.基于這4個維度，從教師問卷中析出的描述與分析如下.中澳兩國教師在4個維度上都體現出了不同的水平層次.

ZS：數學知識

在對問卷A部分第3題的回答中，Au-37指出：“醫(yī)院B更可能有（女嬰出生率）80%的記錄，因為它的出生總數要小得多……更大的樣本或更多的測試會給出離理論概率更接近的結果”.該教師清楚地表述了樣本容量大小與變差之間的關系.但是Au-21認為：“對每一個新生兒來說，出生男嬰或女嬰的概率各是0.5.兩個醫(yī)院擁有女嬰出生率80%的記錄的可能性相等，因為每個新生兒（是女嬰）的概率是一樣的”.而Ch-28則選擇了答案D（沒有依據可以預測哪個醫(yī)院更有可能發(fā)生這一事件），認為“這是隨機的，沒有一個絕對性的”.

KC：對數學課程理念的解讀

Ch-35提到：“這是體現概率與統計思想的典型例題.小學階段以統計為主，統計的主要內容是數據處理，真正明確統計概念，而不是用理論概率的方法進行推測和預測……”但是也有教師，如Au-13僅僅列出了在官方課程文件中用到的幾個標題，比如“測量，可能性與數據”以及一些相關的理念比如“概率的計算”.Ch-24在談到數學課程標準中的要求時提到“包含了抽象、化歸、模型等數學思想”，可以看出，這位老師談到了數學中非常概括和一般的一些思想，但沒有能指向問卷中所體現的具體統計內容與思想.

XX：對學生數學學習的理解

Au-21在B部分第一題中談到：“選擇C(5,5,5,5,5)的學生并沒有考慮到變差，但能理解概率的基本原則.而選擇A(8,9,7,9,10)、D(2,4,3,4,3)、E(3,0,9,2,8)和 F(7,7,7,7,7)的學生卻連概率的基本原則都不理解.”這位教師對每個學生的回答給出了合理的解釋，并能據此區(qū)分學生在對統計素養(yǎng)理解上的不同水平.但有教師，如Ch-4首先認為：“學生的理解會是紅色的多”，但繼而又指出：“一般學生會認為抓的各種都有，不好判斷”.該教師不能從這6個非常具有代表性的學生可能出現的答案中來了解學生的學習情況以及統計思想水平.

JX：教學設計

Au-6給出了詳細的教學計劃：“教學中可以有很多課堂活動，比如使用計數器、扔硬幣和骰子來模擬適當的事件.在討論新生兒是男嬰還是女嬰這種情況下，扔10次硬幣并記錄正面為女嬰，反面為男嬰.如果每位學生都扔10次硬幣，將有足夠的數據進行比較并預計會有很好的范圍，包括出現80%女嬰的可能.之后可以將5個學生組成小組，將他們的試驗結果疊加起來得到50次試驗，再比較男嬰與女嬰的數量，希望能展現給學生女嬰與男嬰的比例更加接近50:50的結果.”最后指出：“需要通過運用計算機模擬更多次的情況，讓學生理解這一觀念，即當一個試驗重復很多次后，可能會發(fā)生一定的模式.”但是，Ch-19只提到教學內容有關“統計知識”，并沒提到任何關鍵的知識點或具體概念.想要“學生進行各種類型的實驗……他們需要實際操作來探索可能性”.這位教師給出的教學策略非常一般，雖然提到了要進行實驗和操作，但并沒有能夠給出針對這一問題相關知識或概念的具體教學建議或實例.而Au-2甚至沒有討論統計思想的教學，而認為：“對分數、百分數與小數的理解.將會介紹整數與相等以及將小數轉化為分數.”

4.2 量化分析

以表1中4個維度的每個指標為依據，再對82位教師問卷進行量化分析，如果教師在問卷中提到了一個與指標相符合的內容，就可得到1分；如果沒有提到或者用了不恰當的表述，則得0分.每一個維度上分別都可得到0~4分，4個維度加起來，就可能得到0~16分.由兩個研究者獨立對中澳所有教師在每個指標上進行雙重編碼以保證外部信度，最終校正以后，利用SPSS19英文版進行量化處理.對收集到的數據進行信度分析，科隆巴赫系數（Cronbach’sα）為0.817，大于0.7，因此可以認為數據具有良好的內部信度[11].

41位中國教師的最高分為14分，最低分為3分，中位數為8，平均得分是8.34，標準差為2.66.澳大利亞教師中，最高分為15分，最低分為4分，中位數為9，而平均得分是9.26，標準差為2.63.表2給出了中澳兩國教師在4個維度上的得分以及總分的平均值.

表2 中澳數學教師專業(yè)行動能力4個維度及總分平均值（標準差）

從表2可以看出，參加研究的澳大利亞教師在4個維度上的平均得分都要高于中國教師.整體來看，82個樣本在JX維度上得分的平均值最低（1.77），之后是KC，平均值為2.11，其次是平均值為2.38的XX，ZS的平均值最高，為2.56.根據兩國教師的總體得分，在前面質性分析的基礎上可對數學教師的專業(yè)行動能力做出劃分.參考已有研究對教師層次的劃分[10]，得分在12~16分的可稱為高專業(yè)行動能力；在7~11分的可稱為中等專業(yè)行動能力；在0~6分的可稱為低專業(yè)行動能力（如表3所示）.

表3 中澳數學教師專業(yè)行動能力的層次劃分

在總體分布上，兩國教師的專業(yè)行動能力的層次分布非常接近，均接近20%（高）、60%（中）、20%（低）的比例.澳大利亞的高專業(yè)行動能力教師比中國多一位，而低專業(yè)行動能力教師比中國少一位.

另外，通過分別控制其中一個維度，對專業(yè)行動能力的4個維度進行偏相關分析（篇幅所限，分析表格略）得知：JX與其它3個維度中的任意一個都密切相關，但是ZS、KC與XX兩兩之間并沒有體現出直接的顯著相關，它們之間的相互關聯是通過JX的作用產生的.

5 研究結論與思考

根據前面的質性與量化分析，對比中澳兩國數學教師在統計思想上的專業(yè)行動能力，可以得到以下結論.首先，在ZS上，澳大利亞教師對統計中變差、變異性等關鍵概念的理解要更清晰；第二，在KC上，中國教師更多關注學生能掌握概率或可能性計算的方法，相比而言，澳大利亞教師則更明確需要發(fā)展對數據的處理與對現實情境的應對；第三，在XX上，澳大利亞教師能更多預測學生可能出現的困難與錯誤，分析背后的數學思維水平并加以區(qū)分；第四，在JX上，澳大利亞教師能更加準確地定位醫(yī)院問題中的關鍵統計概念，教學設計更加明確地指向發(fā)展學生對這種概念的理解，而不僅是會正確地答題.

澳大利亞教師在所有4個維度上的表現都要更好，雖然這種差異不是統計學意義上的，但這一結論仍令人意外，這也與之前在“數與代數”這一數學內容上的中澳教師比較研究[9]結論不同.但這一結論又是合理的，因為與“數與代數”內容不同，中國數學課程中單獨呈現“統計與概率”這一內容領域從2001年的課程改革才開始[10]，很多數學教師并不能很好理解這一內容領域課程與教學的大方向與理念，沒有將發(fā)展學生的統計素養(yǎng)與統計思想作為教學的主要目標，而是旨在如何能在考試中正確答題.而“統計與概率”在西方（包括澳大利亞）學校數學課程中的歷史要長久得多，與統計教學相關的研究要多得多，而且多數聚焦在發(fā)展統計素養(yǎng)與統計思想上.由此可以看出，數學教師的專業(yè)行動能力與統計課程改革之間的密切關聯.

從ZS、KC、XX與JX這4個維度比較中澳兩國數學教師的專業(yè)行動能力，可以對中澳兩國數學教師的專業(yè)行動能力進行3個層次的劃分，其中JX是表現最為明顯的1個維度，從這一維度可以有效對數學教師的專業(yè)行動能力進行高、中、低的劃分.首先，對這4個維度進行回歸分析，可以看出哪個維度對數學教師專業(yè)行動能力有更好的預測性能.對理論框架作線性多元逐步回歸（step-wise）分析，顯示4個維度在回歸模型的順序依次為JX（0.885）、XX（0.941）、KC（0.972）與ZS（1.000），其中JX體現出了最好的預測性能.其次，在所有4個維度中，JX這一維度與其它維度的相關性最為密切，其它3個維度之間的相關也都是通過JX這一維度的作用才發(fā)生的.最后，兩國教師在JX上遇到的困難最大，表現最不理想，要提升他們的專業(yè)行動能力，JX是需要得到最大重視的1個維度.因此，可以認為JX是數學教師專業(yè)行動能力的關鍵維度與核心要素.此外，數學教師自身的統計知識、對數學課程理念的理解以及專業(yè)情意（包括態(tài)度、信念、價值觀等）也直接影響了數學教師的教學.

如今，統計素養(yǎng)已成為現代公民的基本素養(yǎng).這正是學生在現實以及未來的數字化世界與信息化社會中，學習與生活所必需的.世界各國的數學課程都將統計作為重要內容，并明確提出發(fā)展統計思想與統計素養(yǎng)的理念[2].而作為課程的直接實施者，教師在課程改革中無疑起著舉足輕重的關鍵作用.課程改變從來都不是自上而下自然完成的，教師對于理念的理解以及在實踐層面的行為也絕不是對官方課程的簡單反映[12].因此，提升數學教師的專業(yè)行動能力將對統計課程的有效實施起決定性作用.

此外，研究構建的研究框架對于教師在其它課程內容的教學素養(yǎng)研究也提供了重要的參考意義，即需要區(qū)別不同的學科甚至具體內容，從學科知識、對課程標準理念的解讀、對學生學習的理解以及教學設計這4個維度進行綜合考慮，并同時考察各維度之間的關聯.