淺談正二十面體的衍變

徐汪華

摘要： 正二十面體及其衍生物是中學化學競賽的熱點，甚至在高考試題中也常出現。介紹了正二十面體的衍變過程，對硼二十面體B12、足球烯C60、復雜陰離子[CB11H6Cl6]-等的結構進行了探討，并提出了一些教學建議。

關鍵詞： 化學競賽; 發散思維; 正二十面體

文章編號： 1005-6629（2019）11-0093-04? ? ? ? ? ? 中圖分類號： G633.8? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： B

引言

“證據推理與模型認識”是化學學科核心素養[1]五個方面之一，它反映的是化學學科思維方法。在教學中，如果引入一些模型，往往可以使問題的處理大為簡化，從而便于我們去認識、掌握并應用它們。在化學教學中，模型的建立，具有十分重要的意義。本文從正二十面體出發，對硼二十面體B12、足球烯C60、復雜陰離子[CB11H6Cl6]-等的結構進行探討，以期拓展教學思路，提高教學效率。

1? 初步認識正二十面體

正二十面體是由20個全等的等邊三角形所圍成的凸正多面體，共有20個面，12個頂點（5個正三角面圍出一個正五重頂），30條棱，6條C5旋轉軸（通過每一對相對著的五重頂有一個五重旋轉對稱軸），如圖1和表1所示。

圖1? 正二十面體示意圖

為便于理解和記憶，從C5（A-A′）方向看，我們把正二十面體看作是“雨傘A-BCDEF”（記作：“雨傘A”;其中A看作是“傘頂”;B、 C、 D、 E、 F看作是“傘扣”;△ABC、 △ACD、 △ADE、 △AEF和△AFB看作是“傘面”;正五邊形BCDEF看作是“傘邊”;A-A′看作是“傘柄”;其余依此類推）和“雨傘A′-B′C′D′E′F′”交錯“相扣”，中間夾著“平臺BCDEF-B′C′D′E′F′”（正五邊形BCDEF看作是該平臺的“上底面”;正五邊形B′C′D′E′F′看作是該平臺的“下底面”;2個正五邊形的每一條邊都可以看作是等邊三角形的底邊，該平臺的側面共由10個等邊三角形構成）。

表1? 正二十面體的結構說明

名? ? 稱數目

頂點A、 A′、 B、 B′、 C、 C′、 D、 D′、 E、 E′、 F、 F′12

面△ABC; △ACD; △ADE; △AEF; △AFB;

△A′B′C′; △A′C′D′; △A′D′E′; △A′E′F′;

△A′F′B′;

△BCE′; △CDF′; △DEB′;

△EFC′;

△FBD′; △B′C′E; △C′D′F;

△D′E′B; △E′F′C; △F′B′D20

棱AB; AC; AD; AE; AF; A′B′; A′C′;……30

C5軸A-A′、 B-B′、 C-C′、 D-D′、 E-E′、 F-F′? 6

2? 從正二十面體出發，進一步認識硼二十面體

若圖1正二十面體中12個頂點分別被1個B原子所占據，則得到如圖4-（a）的硼二十面體B12。

單質硼有多種復雜的晶體結構，其中最普通的一種是σ-菱形硼，其基本結構單元為正二十面體的對稱幾何構型[2]，每個面近似為一個等邊三角形，20個面相交成12個頂角，每個角頂為一個硼原子所占據，然后由B12的這種20面體配布起來組成六方晶系的σ-菱形硼。

例題1? 晶體硼的基本結構單元都是由硼原子組成的正二十面體，其中含有20個等邊三角形的面和一定數目的頂角，每個頂角各有一個硼原子，其平面示意圖如圖2所示，請回答：

圖2? 晶體硼的基本結構單元平面示意圖

（1） B—B鍵鍵角為? ? ? ? ;

（2） 晶體硼中硼原子的個數為? ? ? ? ;B—B鍵有? ? ? ? 條。

[答案]（1）60°;（2）12;30。

[解析]“晶體硼的基本結構單元都是由硼原子組成的正二十面體，其中含有20個等邊三角形的面和一定數目的頂角，每個頂角各有一個硼原子”B—B鍵鍵角為60°。

由圖2可以看出，每個頂點為5個等邊三角形的面所共有每個頂點只有1/5屬于該等邊三角形的面由20個全等的等邊三角形所圍成的正二十面體的頂點數=晶體硼中硼原子的個數=3×20×1/5=12。

由圖2還可以看出，每條邊為2個等邊三角形的面所共有每條邊有1/2屬于該等邊三角形的面由20個全等的等邊三角形所圍成的正二十面體的棱邊數=晶體硼中B—B鍵數=3×20×1/2=30。

3? 從正二十面體出發，進一步認識C60

碳足球也叫足球烯，是一種球碳分子C60，如圖3。對于這種復雜的結構，教師往往感到不好講解，學生往往感到不好理解。面對這些困惑，如果我們從正二十面體出發，用“發展”的眼光來看，問題就可迎刃而解。

圖3? C60結構示意圖

若將圖1正二十面體中每個頂點按一定比例且同等程度地削去（切點不重合），即可得到像足球一樣的三十二面體，此三十二面體含12個正五邊形（正二十面體中由5個正三角面圍成的每個頂點被削后變成1個正五邊形），20個正六邊形（正二十面體中每個正三角形面被削后變成1個正六邊形），60個頂點[正二十面體有30條棱，每條棱有2個三等分點（如圖1中的棱AB上有2個三等分點，其中靠近A的三等分點記作AB，靠近B的三等分點記作BA，其余依此類推），共得到60個點]，正二十面體切割前后點、線和面衍變的情況參見表2。若此三十二面體中每個角頂為一個C原子所占據，則得到C60。

表2? 正二十面體切割前后衍變情況對比

切割前的正二十面體切割后的三十二面體（C60）

12個頂點12個正五邊形

20個正三角形面20個正六邊形

30條棱60個頂點

例題2? （1997年全國高考化學試題第36題）

1996年諾貝化學獎授予對發現C60有重大貢獻的三位科學家。C60分子是形如球狀的多面體（如圖3），該結構的建立基于以下考慮：

① C60分子中每個碳原子只跟相鄰的3個碳原子形成化學鍵;

② C60分子只含有五邊形和六邊形;

③ 多面體的頂點數、面數和棱邊數的關系，遵循歐拉定理： 頂點數+面數-棱邊數=2。

據上所述，可推知C60分子有12個五邊形和20個六邊形，C60分子所含的雙鍵數為30。

請回答下列問題：

（1） 固體C60與金剛石相比較，熔點較高者應是? ? ? ? ，理由是：? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（2） 試估計C60跟F2在一定條件下，能否發生反應生成C60F60（填“可能”或“不可能”）? ? ? ? ，并簡述其理由：? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（3） 通過計算，確定C60分子所含單鍵數為? ? ? ? 。

（4） C70分子也已制得，它的分子結構模型可以與C60同樣考慮而推知。通過計算確定C70分子中五邊形和六邊形的數目。C70分子中所含五邊形數為? ? ? ? ，六邊形數為? ? ? ? 。

[答案]（1） 金剛石;金剛石屬原子晶體，而固體C60不是，故金剛石熔點較高。（答出“金剛石屬原子晶體”即給分）

（2） 可能;因C60分子含30個雙鍵，與極活潑的F2發生加成反應即可生成C60F60。（只要指出“C60含30個雙鍵”即給分，但答“因C60含有雙鍵”不給分）

（3） 依題意，C60分子形成的化學鍵數為： 12×（3×60）=90，

也可由歐拉定理計算鍵數（即棱邊數）： 60+（12+20）-2=90，

C60分子中單鍵為： 90-30=60。

（4） 設C70分子中五邊形數為x，六邊形數為y。依題意可得方程組：

12（5x+6y）=12（3×70）? ? ? （鍵數，即棱邊數）

70+（x+y）-12（3×70）=2（歐拉定理）

解得： 五邊形數x=12，六邊形數y=25。

[解析]（1） 固體C60為分子晶體，而金剛石為原子晶體。一般來說，分子晶體的熔點低，而原子晶體的熔點高。所以，固體C60與金剛石相比較，熔點較高者應是金剛石。

（2） 已知“C60分子所含的雙鍵數為30”即每個C60分子含30個雙鍵C60跟F2在一定條件下，能發生加成反應生成C60F60： C60+30F2C60F60。

（3） 方法一： 將化學問題抽象成數學問題求化學鍵總數。已知：“C60分子只含有五邊形和六邊形”，且“C60分子有12個五邊形和20個六邊形”球狀多面體的頂點數=碳原子數=60;面數=碳原子形成的五邊形數+六邊形數=12+20=32;棱邊數=碳原子間的共價鍵數（包括單、雙鍵）。歐拉定理： 頂點數+面數-棱邊數=2共價鍵總數=棱邊數=頂點數+面數-2=60+32-2=90。又已知“C60分子所含的雙鍵數為30”C60分子所含單鍵數為90-30=60。

方法二： 借助多面體的頂點數與棱邊數的關系求化學鍵總數。“C60分子中每個碳原子只跟相鄰的3個碳原子形成化學鍵”頂點數為60，且每個頂點連線三條邊。每條邊有兩個頂點每個頂點占每條邊的1/2C60分子形成的化學鍵數（棱邊數）為： 60×3×1/2=90。又已知“C60分子所含的雙鍵數為30”C60分子所含單鍵數為90-30=60。

方法三： 借助多面體的面數與棱邊數的關系求化學鍵總數。已知：“C60分子只含有五邊形和六邊形”，“C60分子有12個五邊形和20個六邊形”且每條棱邊為兩個面共用棱邊數=（12×5+20×6）×1/2=90。又已知“C60分子所含的雙鍵數為30”C60分子所含單鍵數為90-30=60。

方法四： 由碳原子成鍵規律直接求單鍵數。“C60分子中每個碳原子只跟相鄰的3個碳原子形成化學鍵”，且碳原子又必須是4個價鍵每個碳原子只含一個雙鍵，兩個單鍵單鍵數為雙鍵數的2倍。又已知“C60分子所含的雙鍵數為30”C60分子所含單鍵數為： 30×2=60。

4? 從正二十面體出發，進一步認識某些復雜陰離子

若圖1正二十面體中A頂點被1個C原子所占據，且C原子上連接1個H原子（“A頂點被1個C原子所占據，且C原子上連接1個H原子”簡稱“A頂點被C—H所占據”，下面依此類推），A′頂點被B—Cl所占據，B、 C、 D、 E、 F分別被B—Cl所占據，B′、 C′、 D′、 E′、 F′分別被B—H所占據，則得到有一根C5旋轉軸的[CB11H6Cl6]-，如圖5-（a）。

例題3? （2001年全國高中化學競賽初賽試題第10題）

最近有人用一種稱為“超酸”的化合物H（CB11H6Cl6）和C60反應，使C60獲得一個質子，得到一種新型離于化合物[HC60]+[CB11H6Cl6]-。回答如下問題：

（1） 以上反應看起來很陌生，但反應類型上卻可以跟中學化學課本中的一個化學反應相比擬，后者是：? ? ? ? ?。

（2） 上述陰離子[CB11H6Cl6]-的結構可以跟圖4-（a）的硼二十面體相比擬，也是一個閉合的納米籠，而且[CB11H6Cl6]-離子有如下結構特征： 它有一根軸穿過籠心，依據這根軸旋轉360°/5的度數，不能察覺是否旋轉過。請在圖4-（b）上添加原子（用元素符號表示）和短線（表示化學鍵）畫出上述陰離子。

（a）

（b）

圖4? B12及其骨架結構示意圖

[答案]（1） NH3+HClNH4Cl。（注： 答其他非質子轉移的任何“化合反應”得1分）

（2） 參考圖形： 圖5-（a）。（注： 硼上氫氯互換如參考圖形仍按正確論，但上下的C、 B分別連接H和Cl，不允許互換）

[解析]（1） H（CB11H6Cl6）+C60[HC60]+[CB11H6Cl6]-，顯然，這是質子轉移的反應，是兩種不帶電荷的中性分子相互作用，產生了兩種帶相反電荷的離子。H（CB11H6Cl6）被稱為“超酸”，是質子給予體，失去H+后變為[CB11H6Cl6]-;C60是質子接受體，得到H+后變為[HC60]+。該反應類似于中學化學課本中的反應： HCl+NH3NH4Cl，其中，HCl是酸，失去H+后變為Cl-;NH3得到H+后變為NH? +4。

（2） “[CB11H6Cl6]-的結構可以跟圖4-（a）的硼二十面體相比擬，也是一個閉合的納米籠”[CB11H6Cl6]-的“骨架”也是二十面體。“它有一根軸穿過籠心，依據這根軸旋轉360°/5的度數，不能察覺是否旋轉過”[CB11H6Cl6]-有一根C5旋轉軸[CB11H6Cl6]-可能的結構如圖5所示。

（a）

（b）

（c）

（d）

圖5? [CB11H6Cl6]-可能的結構示意圖

原答案的參考圖形為圖5-（a），且原答案注： 硼上氫氯互換如參考圖形仍按正確論，但上下的C、 B分別連接H和Cl，不允許互換。原答案的意思是說： 圖5-（a）符合題意，圖5-（b）也算對，但圖5-（c）和圖5-（d）就不算對。

有資料說：“B、 C是正二十面體的骨架，但由于B是缺電子原子，而氯是富電子原子，因此C原子上一定要連接H原子，而不能連接Cl原子”。

筆者不以為然。筆者認為： 根據題意，[CB11H6Cl6]-可能的結構應有如圖5所示的四種。圖5-（a）符合題意，圖5-（b）也算對，圖5-（c）和圖5-（d）也應算對。只不過后兩者穩定性稍差些。

5? 兩點建議

（1） 巧妙發散，拓展教學思路

如圖6這樣，從正二十面體出發，能加深我們對硼二十面體B12、足球烯C60、復雜陰離子[CB11H6Cl6]-等的進一步認識。

圖6? 以正二十面體為發散點的教學思路

在教學中，倘若我們經常以某事物的結構為發散點，設想出利用該結構的各種可能性，我們的思維能力必將得到訓練，思維空間必將得以拓展。

（2） 一題多解，提高教學效率

一題多解是對知識的升華和總結。在教學中，經常像解答例題2中第（3）小題那樣，對同一道題目，從不同的角度，運用不同的思維方式，采用不同的解題方法進行解答，我們的教學效率必將得到提高。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中化學課程標準（2017年版）[S]. 北京： 人民教育出版社， 2018： 3.

[2]武漢大學，吉林大學等校. 無機化學（下）[M]. 北京： 高等教育出版社， 1983： 224.