統計問題常見考題例析

■胡 彬

統計是高中數學的重要內容,在歷年高考中占有重要地位,題型多以解答題為主。下面對這類題型舉例分析。

例1某學校為了解1000名新生的身體素質,將這些學生編號為1,2,…,1000,從這些新生中用系統抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗。若48號學生被抽到,則下面4名學生中被抽到的是( )。

A.9號學生 B.207號學生

C.718號學生 D.815號學生

解：由系統抽樣可知,第1組學生的編號為1到10,第2組學生的編號為11到20,…,最后一組學生的編號為991到1000。設第1組抽到的學生編號為x,則第2組抽到的學生編號為x+10,以此類推,可知所抽取的學生編號為10的倍數加x。因為48號學生被抽到,所以x=8,由此可知718號學生被抽到。應選C。

評注：解決系統抽樣的兩個關鍵點是：①分組的方法應由抽取比例而定;②起始編號確定后,其他編號隨之確定。

例2某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖1所示。

圖1

(1)求直方圖中x的值。

(2)求月平均用電量的眾數和中位數。

(3)月平均用電量在[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶?

解：(1)由已知可得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,解得x=0.0075。

(2)由頻率分布直方圖可知,面積最大的小矩形對應的月平均用電量所在的區間為,所以月平均用電量的眾數的估計值為230。

因為20×(0.002+0.0095+0.011)=0.45＜0.5,20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125)=0.7＞0.5,所以中位數在區間[220,240)內。設中位數為m,則20×(0.002+0.0095+0.011)+0.0125×(m-220)=0.5,解得m=224,所以月平均用電量的中位數的估計值為224。

(3)由頻率分布直方圖可知,月平均用電量在[220,240)的用戶數為(240-220)×0.0125×100=25。

同理可得,月平均用電量在[240,260),[260,280),[280,300)的用戶數分別為15,10,5。

由題意可知,用分層抽樣方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取的用戶數為

評注：本題主要考查頻率分布直方圖的實際應用問題。