高中數學解題常用的思想方法及應用

祝小童

摘? 要：高中數學的解題思想方法與小學、初中有了本質的不同。在小學、初中階段學習數學，往往是模仿老師的解題思路和方法，學生嘗試解決類似的問題，即由例及類，根據一道例題，對于有限的類型問題也都能迎刃而解。但在高中階段，對于海量的數學知識和數學題目，這種方法便很難實行。究竟應如何進行高中的數學解題呢？筆者將從高中數學解題思想方法的角度上做一個嘗試。

關鍵詞：高中數學? 解題技巧? 思想方法? 應用

中圖分類號：G63? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2020）11（c）-0076-04

The Common Thought Method and Application of High School Mathematics Problem Solving

ZHU Xiaotong

（Jilin Normal University， Changchun， Jilin Province， 130000 China）

Abstract： The high school mathematics problem solving thought method and primary school， junior high school has the essential difference. Studying mathematics in primary and junior high schools， students often imitate the teachers' thinking and methods of solving problems， and try to solve similar problems， that is， by example and class. According to an example， they are able to solve limited types of problems. However， in high school， it is difficult to implement this method for massive mathematical knowledge and problems. How to solve the math problem in high school？ The author will make an attempt from the Angle of the thought method of solving high school mathematics problems.

Key Words： High school mathematics; Problem-solving skills; Thinking method; Application

美籍數學家喬治·波利亞曾說：“完美的思想方法猶如北極星，能使人們找到正確的道路”。他認為中學數學教育的根本宗旨是要教會年輕人思考。在解題的過程中靈活地應用數學的思想方法，能夠加深學生對問題的理解，使其教學綜合素養與獨立思考能力得到提升，創新思維能力得到加強。學生可以體會到任何數學問題的解決過程，都是分析與方法選用的結果，從而改善對數學學習的畏懼情緒。筆者主要闡述了高中數學解題中8種常用的思想方法，并加以舉例。

1? 化歸與轉化思想

轉化是將比較復雜、陌生、不易解決的問題轉化為比較簡單、熟悉又能夠容易解決的問題，即化陌生為熟悉。因此，轉化是思維的進程，構造是實現轉化的一個手段。不斷地轉化和構造，就成為解決數學問題的主線。

例：如果一條直線和圓兩者之間沒有公共點，求實數m的取值范圍。

解：根據已知的條件化簡，運用轉化思想中的簡單化原則得到，當無公共點時得出，也就是，因此，實數m的取值范圍為。

2? 函數與方程思想

函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數特征，從變量的運動變化、聯系和發展角度拓寬解題思路。方程的思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，通過解方程（組）或不等式（組）解決問題[1]。

例：的3個內角的大小構成等差數列，且，又已知，對應的邊z上的高等于，求的三邊長x、y、z的大小以及的大小。

解：由題可知：，可聯想到中的恒等式：

因此，。又因為構成等差數列，則，所以，即是方程的兩個根，由，解得，則。

由此得出，。

3? 數形結合思想

數形結合是根據數與形的互化來解決數學問題的一種重要思想。以形助數，以數解形，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化[2]。從形的直觀和數的嚴謹兩方面思考問題，拓寬解題思路。

例：已知在坐標系中由兩個圖形：一個是橢圓，其方程為;另一個是以（0，0）為圓心，以為半徑的圓。已知橢圓的短軸長為2，離心率是。

求：（1）求橢圓和圓的方程。

（2）若一條直線與橢圓相交于M、N兩點，與圓交于兩點。且，求的最大面積。

解：（1）由題可知：b=1，，因此=1，即，。故橢圓方程為，圓的方程為。

（2）如圖1所示，作交于H，連接OP，在中，利用勾股定理可求。由圖可得，當直線與x軸平行時，三角形面積最大。此時，圖中5個點的y值均為，將其帶入中可求M、N的橫坐標分別為，故。因此三角形最大面積為。

4? 分類與整合思想

當我們遇到問題沒辦法解決，這時便需要分類討論。這是一種策略和方法，為了化解和緩解矛盾，需要分成不同的類型探討;再把一個問題中各個解決的部分基本合并，提煉得出整體結論的思想方法[3]。分類與整合思想的主要問題是“分”，解題過程是“合—分—合”。

例 已知函數。

（1）求的單調區間。

（2）求在區間[0，1]上的最小值。

解：（1）因為，可得的遞減區間為;遞增區間為。

（2）①當k≤1時，函數在[0，1]上遞增，所以;

②當1

③當k≥2，函數在[0，1]上遞減，所以。

綜述，當k≤1時，;當1

5? 特殊與一般思想

矛盾的普遍性存在于特殊性之中，多數的數學問題都是對特殊情況的分析總結出一般的結論[4]。因為特殊問題簡單直觀，容易認識和把握，所以特殊與一般思想在數學中也是十分重要的方法，是學習和研究數學必須掌握的數學解題理論。

例：是否存在一個等差數列，使得對任何自然數n，等式都成立，并證明你的結論。

解：將n=1，2，3分別帶入等式可得：

解得，則d=3。

故存在一個等差數列，當n=1，2，3時，等式成立。

接下來，利用數學歸納法證明存在一個等差數列，對于大于3的自然數，等式都成立。

綜述，存在一個等差數列，使得對任何自然數n，等式都成立。

6? 正難則反思想

正難則反的思想方法是一種間接的解決數學問題的方法。在解決一個數學問題時，如果從正面入手比較困難或者過程繁雜時，可采用從反面考慮，通過轉變思維方向來解決問題。

例：已知集合，

。若，求實數m的取值范圍。

由知式（1）在區間[0，2]上至少有一個實數解。

設（1）式的兩個根為，由，得m≤-1或m≥3。

討論：當m≥3時，由知都是負數，不符合題意;當m≤-1時，由知互為倒數，故必有一個在區間[0，1]內，從而式（1）在區間[0，2]上至少有一個實數解。

綜述，方程組在[0，2]上無解時，實數m的取值范圍為。因此，該題所求實數m的取值范圍為。

7? 有限與無限的思想

有限與無限的思想揭示了變量與常量，有限與無限的對立統一的關系。隨著高中新課程改革的深入，有限與無限的思想在高中數學解題中的應用越來越被重視[5]。數學中的很多問題看似是有限問題，但在解決的過程中往往又需轉化為無限問題才能更好地解決，即通過對無限問題的探究來解決有限的問題。

例：利用定積分的定義求直線和曲線圍成的圖形的面積。

解：因為在[1，2]上連續，所以在[1，2]上可積，該題求直線和曲線圍成的圖形的面積，其數學本質就是求在[1，2]上的定積分，即求極限，不論在[1，2]區間如何分法，取何值，S都存在.為便于計算，將[1，2]區間n等分，分點，每個小區間長度，取每個小區間的右端點作為，即，于是有：

8? 或然與必然的思想

或然性是對不確定的隨機性結果的統計找出規律性，必然性是解決一類不確定問題的重要的思想方法[6]。概率知識在高考中倍受關注，它研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規律去解決“偶然”的問題。

例：一個盒子裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域為R的函數：

（1）現從盒子中任取2張卡片，將卡片上的函數相加得一個新函數，求所得函數是奇函數的概率。

（2）現從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數的分布列和數學期望。

解：（1）記事件A為“任取2張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數為奇函數”，由題可知。

（2）可取1，2，3。

故的分布列為：

因此，的數學期望為。

9? 結語

數學思想是從眾多的問題中所總結出來的概括性內容，是將抽象的數學知識轉變為具體性認識的重要方式。因此，作為教師來說，要在教學的過程中引導學生去了解和掌握數學思想，幫助學生去領悟數學思想方法，掌握解決數學問題的能力才是關鍵。作為學生來說，在高中階段也要按照類似的思路去學習數學，就能夠學得既輕松又愉快，達到事半功倍的效果。

參考文獻

[1] 朱磊磊.對高中數學函數與方程思想的實踐研究[J].數理化學習：高中版，2018（12）：16-18.

[2] 郝麗麗.高中生對數形結合思想理解及運用現狀的研究[D].華東師范大學，2019.

[3] 石成效.高中數學專題復習與研究中用分類討論的思想解題[J].語數外學習：高中版，2015（6）：44-46.

[4] 沈小亮.巧用“特殊與一般”提升思維能力[J].新課程（中），2019（6）：102-106.

[5] 劉芬，毛家達，任明耀.高中數學教學中注重滲透思想方法[J].文化創新比較研究，2018，2（29）：180-182.

[6] 董磊.“概率”概念教學中滲透或然與必然思想方法的案例分析[J].中學數學教學參考，2020（11）：62-65.