淺談小學奧數中的數學思想方法

楊玉旋

【摘要】本文旨在從對典型數學思想方法的敘述入手，分析小學奧林匹克數學競賽經典例題中所蘊含的數學思想方法。進一步揭示小學奧數背后真正的教育及教學意義，明白奧數真正的存在目的——培養學生學習數學的興趣，提高數學思維，體會數學的思想方法，培養其進行數學研究的能力以及利用數學思想及其方法解決生活實際。進一步正確地開展奧數培訓及競賽，而不是為了分數而“奧數”，也不要為了“反對”而“禁奧”。

【關鍵詞】小學奧數;數學思想方法;小學數學教育

一、緒論

奧林匹克數學競賽，簡稱奧數。1934年和1935年，蘇聯起頭在列寧格勒和莫斯科舉辦中學數學競賽，并冠以數學奧林匹克的名稱，1959年在布加勒斯特舉辦第一屆國際數學奧林匹克。而我國的數學競賽起步也不算晚，解放后，在華羅庚教授等老一輩數學家的提倡下，從1956年起，開始舉辦中學數學競賽，而全國小學數學競賽則是在1991年開始的。

奧數的本質是為了發現和鼓勵世界上具有數學天份的青少年，并讓接觸奧數的孩子，有一個鍛煉思維和邏輯的機會。然而，近十幾年來，奧數受到瘋狂的追捧，奧數更是變成了升學的踏腳石，變成了家長強加在孩子身上的一座大山，變成了老師眼中的優等生標志。為了遏制這樣的情況繼續發生，國家和一些地方不斷出臺“禁奧令”叫停奧數競賽、嚴禁奧數成績與招生掛鉤……

面對“奧數熱”的追捧以及“禁奧令”的執行，奧數是否應該繼續，社會上有著不同的聲音。其實，凡事總有兩面性，過度地追捧奧數，會讓奧數遺失其本身真正的教育價值，而一味地反對奧數，也不免有些因噎廢食之嫌。本文從以下三部分進行探討：第一部分介紹數學思想方法的內涵及特征。第二部分介紹小學奧數中常用的數學思想方法，包括化歸思想、數形結合思想、分類思想，假設思想等，并通過具體的例子予以說明。最后是對小學奧數中數學思想方法的教學的初探。作為一名教師，我們不單單要明白小學奧數中蘊含著的數學思想方法，還要懂得如何在教學過程中滲透這種思想方法，從而達到教育的目的。

二、數學思想方法的介紹

數學是客觀世界中研究數量關系和空間形式的科學，數學本身包括數學知識和數學思想兩個層次，數學知識是客觀世界的產物，在學習數學的過程中，我們看到的，最后掌握并且可見的就是數學知識，但這僅僅是數學表面的東西。數學思想是對數學本質的認識，是數學家們從數學知識和方法中抽取出來的體現數學的內涵的東西，是數學的精髓和靈魂。數學方法是解決數學問題的一般程序，是數學思想的外在體現，故合稱為數學思想方法。掌握數學思想方法對于解決數學問題，解決實際生活中的問題有著重要的意義。

數學知識固然很重要，但是對學生滲透數學思想方法更加重要，小學奧數中的數學知識對于學生來說，僅僅只是為了一次兩次的競賽需要。但其中的數學思想方法才是使學生畢生受益的關鍵。新世紀對于人才的要求是會“解決問題”，俗話說：“授人以魚不如授人以漁?！弊寣W生體會到奧數中的數學思想方法能夠讓學生在遇到問題時，學會利用數學的思想方法，獨立解決問題，這才是奧數真正的目的，才是21世紀人才培養的目的。

三、小學奧數中具體的思想方法

在數學思想方法中，作為義務教育階段的教學任務，一般采用基本的數學思想方法，這些基本的思想方法具有奠基性的作用，能夠幫助學生在之后學習數學的過程中打下基礎，并衍生出更高層次的思想方法。而小學奧數中也蘊含著許多的數學思想方法，這里重點選取幾種較為基礎，較為常見的進行介紹。

1.轉化和化歸思想

人們在面臨無法解決的問題時，總是會想辦法希望能夠通過轉化將問題變得簡單，然后通過解決簡單的問題來解決當前的難題。轉化和化歸思想就符合人們的思維特點，將有待解決的問題X，轉化為與之相關的問題Y，且Y是已經解決的或者比較簡單的問題，透過解決問題Y，從而解決問題X。主要形式有：化難為易，化繁為簡，化曲為直，化生為熟。

2.數形結合思想

數形結合思想是在數和形優勢互補的基礎上，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形的思想方法。具體而言就是，在解決問題時，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀。數學家華羅庚曾說過：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊分，數缺形時少直覺，形少數時難入微”。

將問題中抽象的數量關系與直觀的圖形幾何結合起來，充分利用這種結合，將問題化難為易，使問題得到解決。

3.分類思想

當一個問題不能用一個標準統一解決時，常常就需要先分成幾種不同的情況或種類，再制定不同情況或種類的處理規則或方法，接著再分別加以解決，這就是分類討論思想。

4.假設思想

假設思想是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，接著根據已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，找出矛盾出現的原因，最后得到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

四、數學思想方法在小學奧數中的體現

1.轉化和化歸思想

（1）“雞兔同籠”問題（化繁為簡）

例1：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

分析·解：

（1）讓籠子中的雞和兔都縮起兩只腳

（2）剩余腳數：94-35×2=24只因為雞縮起兩只腳后，就只剩下兔子有兩只腳站立著了。故兔子的數量為24÷2=12只;雞的數量是35-12=13只。

這道典型的雞兔同籠的問題，歷史上有多種不同的解法，而每一種解法背后就代表了一種數學思想。這里利用化歸思想，化難為易，利用轉化將雞的腳數從總數中減去，使問題變得更加簡單明了。

（2）“牛吃草”問題（化未知為已知）

例2：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘內來的旅客人數一樣多，從開始檢票到等候檢票的隊伍消失（還有人在接受檢票），若同時開5個檢票口則需30分鐘，若同時開6個檢票口則需20分鐘。如果要使等候檢票的隊伍在10分鐘內消失，需同時開多少個檢票口。

分析·解：該題目咋看之下，會覺得文字很多，很復雜。但其實仔細精選數字，可以發現能夠利用化歸思想，將旅客人數看做一片草場，將一個檢票口看做一頭牛，便可將該題轉化為“牛吃草”問題。

轉化為：有一片草場，草每天生長的速度相同，若5頭牛30天可將草吃完，6頭牛20天可將草吃完，若要在10天內將草吃完需要多少頭牛？

接著，利用“牛吃草”問題的公式，就可將題目化解。

解：將1分鐘內1個檢票口檢票的人數當做1份，則每分鐘來的旅客是

（5×30-6×20）÷（30-20）=3（份）

開始檢票前有旅客

（5-3）×30=60（份）

所以，需同時打開是檢票口數是

60÷10+3=9（個）

化歸思想是數學中一種重要的思想和方法，在小學奧數中更是處處可見化歸思想的存在，化歸其實就是“轉化”和“歸結”的綜合。體會化歸思想，將復雜的問題簡單化，將未知的問題轉化為已知的知識，有助于學生創新精神和發散思維的發展，學生掌握了化歸的思想去解決問題，可以達到舉重若輕的效果。

2.數形結合思想

在小學奧數中，解決行程問題時常常借助線段圖的幫助來分析數量關系;在解決一些圖形的面積計算時，也常常用到畫圖的方法來幫助學生將數與形結合起來;甚至在簡單的推理問題中也可以通過圖形幫助更快捷，更簡便地解決問題。

（1）行程問題

例3：上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后爸爸騎摩托車追他，在離家4 千米的地方追上小明。然后爸爸立刻家，回家后又立刻回頭去追小明，再追上時，離家正好是8千米。假設自行車，摩托車均為勻速行駛，問第二次追上時是幾時幾分。

分析·解：這是一道追及的行程問題，數量關系比較復雜，小明和爸爸沒有同時出發，卻兩次追及，使得這道題的分析思路變得復雜。如果采用數形結合思想，利用畫線段圖來幫助理解，將復雜的問題轉化為幾個簡單的問題，然后逐個解決。該題中因為小明父子倆所花的時間是相同的，抓住此不變量，故可將其二人各自所行的路程表達于下列圖中。

解：第一次追及后，爸爸行的路程是4+8=12（千米）

小明行的路程是8-4=4（千米）

12：4=3：1，可見相同時間內，小明和爸爸所行路程比為3：1?？蓪⒓业降谝淮巫芳暗攸c的總距離分成3份，當爸爸出發時，小明應距第一次追及地點還有1份路程。已知小明比爸爸早出發8分鐘，故小明行2份路程所用時間是8分鐘。

從家到第二次追及地點的路程應為6份，得小明所需時間為：

8÷2×6=24（分鐘）

8時8分+24分鐘=8時32分

就是爸爸第二次追上小明的時間。

（2）推理問題

例4：甲、乙、丙、丁與小明五位學生一同進行象棋比賽，每兩人都要比賽一盤，比賽中途的統計顯示，甲已經塞了4盤，乙塞了3盤，丙塞了2盤，丁塞了1盤。問：小明已經塞了幾盤？分別與誰賽過？

分析·解：若選擇用代數方法解決此題，那么我們必須要找出其中清晰的數量關系，但是從題目中我們可以看到，唯有的幾個數字之間，似乎沒有什么關系，也無法列出形象的數學式子。這時我們就要考慮用幾何的方法來解決啦。將五位學生設為平面上的五個點，兩人之間若比賽過，則用線段將兩點連接。

解：因為甲已經賽過4盤，因此甲與乙、丙、丁、小明都有線段相連（如圖）;

因為丁只賽了1盤，而由圖可知，丁已與甲相連，所以丁與甲賽了一盤;

因為乙賽了3盤，因此乙與甲、丙、小明等三個點都有線段相連（如圖）;

因為丙賽了2盤，而由圖可知，丙已有兩條線段相連，所以丙與甲、乙各賽過一盤。

最后，由下圖可看出，小明與甲、乙間有連線，因此小明與甲、乙各進行了一場比賽。

（3）邏輯問題

例5：有甲、乙、丙、丁四個數，甲數比乙數大7，甲數比丙數，乙數比丁數都大5， 且甲、乙兩數的積比丙、丁兩數的積大140，求甲、乙兩數的積。

分析·解：利用數形結合思想，將題目中的數量關系轉化為平面圖形來研究，可以輕松將問題解決。

畫一個長方形，長為甲，寬為乙，則長方形的面積為甲、乙兩數的積，陰影部分為丙、丁兩數的積，空白部分為甲、乙兩數之積與丙、丁兩數之積的差140。

解：由圖所知，

140-5×5=115

115=5×23=5×（丙+?。?/p>

丙+丁=23

∵甲-丙=5，乙-丁=5，且甲-乙=7

∴丙-丁=7

丙=（23+7）÷2=15

丁=15-7=8

∴甲×乙=（15+5）×（8+5）=

20×13=260

由以上例子可以看出，數形結合思想在解決實際問題中的重要性，當面對題目中的數量關系比較復雜，且利用代數方法無法求出時，可以考慮轉化為幾何圖形;或者將幾何圖形抽象出代數式子來解答。數形結合思想對于學生的發散思維能力，智力等都有極大的促進作用，運用得當時，甚至會給人一種“柳暗花明又一村”的效果。

3.分類思想

（1）“排列組合”問題

例6：用五張數字卡片：0，②，④，⑥，⑧，能組成多少個不同的三位數。

分析·解：運用分類思想，因為最高位數不為0，故可以按0所在位置分為三類：

第一類：十位數字是0，則有4×3=

12（個）

第二類：個位數字是0，則有4×3=

12（個）

第三類：個，十，百位上都不為0，則有4×3×2=24（個）

一共有12+12+24=48（個）

（2）抽屜原理

例7：任意給出5個兩兩不相同的整數，請說明其中必有兩個的差是4的倍數。

分析·解：因為任意一個整數除以4，余數有4種可能：0，1，2，3。因此可以運用分類思想，將5個整數，分成4種類型，也就是構造4個抽屜：除以4的余數分別是0，1，2，3。根據抽屜原理，其中必有一個抽屜中有兩個數，且這兩個數除以4的余數相同?？稍O這兩個數為4m+1和4n+1（m，n都是整數）。它們的差為4（m-n），必為4的倍數。

（3）平面幾何問題

例8 下圖中共有多少個長方形

分析·解：在面對該題時，許多學生一開始都會一個一個地數，但這樣就很容易會遺漏或者重復。而為了能夠做到不重不漏，最好的便是采用分類思想，將長方形分成幾種類型，之后分別進行計算。

解：單一的長方形：3×3=9;

由兩個單一長方形組成的長方形：橫數2×3=6，豎數2×3=6，6+6=12;

由三個單一長方形組成的長方形：橫數1×3=3，豎數1×3=3，3+3=6;

由四個單一長方形組成的長方形：4;

由六個單一長方形組成的長方形：4;

由九個單一長方形組成的長方形：1。

共計 9+12+6+4+4+1=36（個）

分類思想是小學數學中較為重要的思想之一，應用也很廣泛。分類思想有利于學生養成有條理地思考，培養全面思考和良好的數學思維品質。采用分類方法，可以讓學生從宏觀到微觀地進行分類學習，做到不重不漏，既能把握全局，又能抓住細節，有助于形成系統的數學知識結構。

4.假設思想

小學奧數中，體現假設思想的內容比比皆是，例如在邏輯問題中可以通過假設，讓問題變成更加明朗，便于入手;而在經典的雞兔同籠問題中，較為經常的也是運用假設的方法予以解決。

（1）“邏輯問題”中的假設思想

例8：“希望杯”考試結束后，小軍和小楠對班上5名同學的名次進行了猜測。小軍的猜測：小軍第一名，小明第二名，小華第三名，小光第四名，小楠第五名;小楠的猜測：小華第一名，小光第二名，小明第三名，小楠第四名，小軍第五名?？荚嚦煽兂鰜砗?，實際上，小軍的猜測都不對，不但一個名次沒對上，而且相差一個名次的都沒有，小楠猜對了一個人的名次，那么五個人的實際名次是怎樣的？

分析·解：依題意，可知，小軍只可能是第三、四、五名;小明只能是第四、五名;小華只能是第一、五名;小光只可能是第一、二名;小楠只能是第一、二三名。因為小楠猜對了一個名次，所以，小明第三名，小楠第四名是錯誤的。但還是無法知道小楠的猜測中“小華是第一名、小光第二名、軍第五名”中哪個猜測是對的。因此，這時就可以利用假設思想來解答。

①假設“小軍第五名”是正確的，則“小華第一名”是錯誤的，故小華只能是第五名，但與“小軍第五名”矛盾，故假設不成立;

②假設“小華第一名”是正確的，則“小光第二名”是錯誤的，故小光只能是第一名，但與“小華第一名”矛盾，故假設不成立;

③假設“小光第二名”是正確的，則“小華第一名”是錯誤的，“小華是第五名”，可推得“小明第四名、小軍第三名、小楠是第一名”。

綜上所述，可得五個人的名次如下：小楠第一名、小光第二名、小軍第三名、小明第四名、小華第五名。

（2）“雞兔同籠”問題中的假設思想

例9：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

解：假設雞有35只，則總腳數為

35×2=70（只）

但實際上總腳數為94，比實際少了

94-70=24（只）

因為把兔子算成了雞，把一只兔子算成一只雞，少算了2只腳，一共少算了24只腳，就少算了24÷2=12（只）兔子，故兔子的數量為12只。

35-12=23（只）

所以雞的數量為23只。

五、小學奧數中數學思想方法的教學初探

小學奧數是為了給學生滲透數學的思想方法，而基本途徑就是教學。教師要在教學的過程中學會如何在教授基礎知識，講解解題過程中教給學生數學的精髓，讓學生體會到數學的思想方法，從而達到應用。

1.充分挖掘小學奧數中的數學思想方法

數學知識是客觀地，顯性地體現在書本上的，但數學思想是隱形的，是學生無法簡單地察覺到的。因此，在教學中，我們要善于挖掘小學奧數教材中所含的數學思想方法?；[為顯，結合基本的數學知識，讓學生在潛移默化中體會數學思想，學會掌握數學方法，養成數學能力，從而達到培養學生數學素養的目的。例如，在例題1中，要能夠明白采用“金雞獨立”的方法，目的是為了讓學生體會化歸思想，那么在教學該例題時，就應該引導學生學會轉化，學會尋找化難為易的橋梁。假如授課教師無法意識到這點，僅僅只是將該方法教給學生，那么這道題就失去了其價值。

2.在思維活動中，揭示數學思想

在小學奧數的教學過程中，要讓數學思想暴露出來。讓學生清楚知道現在在學習的是什么樣的數學思想，有什么內涵，有怎樣的特征，能夠幫助解決怎樣的問題。新課改要求，在教學過程中要體現學生主體性，假如學生連自己學習的是什么都不知道，那么談何掌握，只有讓學生知道現在自己是利用什么思想方法在解決問題，那么才能夠真正體會到該思想方法并予以應用，才有助于學生形成數學素養。例如，在教學例題4時，應該讓學生明白運用了數形結合的思想方法，為什么要采用這樣的方法，而同樣一道題，例題1采用化歸思想，例題4采用數形結合思想，它們各自的優點是什么，在什么情況下可以采用數形結合思想，又如何運用。

3.在探索過程中激活數學思想