發展初中生直觀想象的教學實踐與思考

李衛華

【摘要】直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化.在初中數學教學中，具備直觀想象素養的學生，能夠將復雜的言語信息圖像化，也能夠從幾何圖形中找到不變量及變量，數學學習成績突出.因此，發展初中生直觀想象能力的教學實踐研究很有必要.筆者選取現行人教版八年級下冊教材與直觀想象能力直接相關的“菱形的判定”這一節內容，就初中數學教學對學生直觀想象能力的培養提出自己的思考和教學建議.

【關鍵詞】直觀想象;初中數學;教學實踐

一、問題的提出

直觀想象內涵的解讀，可以將其分為幾何直觀與空間想象兩部分.幾何直觀對初中生來說，主要是指“數形結合”.空間想象包含圖形變換、圖形識別、圖形折疊、圖形展開、圖形推理、圖形與計算.從最近幾年各地區學業評價試題可以發現，考查直觀想象的題目占比越來越大，而學生的作答情況并不樂觀.筆者以“菱形的判定”這一節課為例，就初中數學教學對學生直觀想象能力的培養提出自己的思考和教學建議.

人教版數學八年級下冊第十八章第二節“菱形的判定”這節課的內容，在編寫時，采用探索與證明相結合的方式展開相關內容，引導學生類比矩形的判定，探索菱形的常用判定方法，并對探索得到的結論進行證明和應用，讓學生經歷“類比—發現—猜想—證明—應用”的過程.如果長期這樣，勢必造成初中生幾何直觀意識的缺乏：對于所給圖形，缺乏將其與一定數量關系或情境相聯系的意識;對于所給問題情境，缺乏借助圖形進行表征的意識.筆者嘗試在教學中讓學生經歷“具體—抽象—具體”的思維轉化過程，從而提升其直觀想象素養.筆者以“菱形的判定”為例，在問題情境、數學問題、數學結論、結論運用等環節中設計了通過直觀想象感知、直觀想象分析、直觀想象構建，發展學生的直觀想象素養.

二、 對“菱形的判定”新授課的創新設計

在設計理念上，秉持“數學教育要以理性思維育人”的教育思想，崇尚“數學教學要為思維而教”的教學觀，情境和經驗是實現直觀想象的兩大條件.將教學過程分為四個步驟：

環節一 問題引入

活動1（復習）：菱形的定義與性質.（設置動態圖形）

設計意圖：通過圖形運動直觀感知圖形變化，在幾何變換中感受概念的關鍵條件.通過圖形的變化，進行圖形識別的訓練，從圖形變換中理解概念的內涵，發展直觀想象能力.

問題1：你能指出其中菱形特有的性質嗎？

設計意圖：對圖形的性質的復習，特別指出：此處一定要結合圖形.通過圖形與數學語言的轉換，加深學生對圖形的認識，提升學生對圖形的直觀感知.

活動2（操作）：折紙游戲：將一張矩形紙片如圖1這樣對折后，沿圖1中的虛線AB剪下，將△ABO完全展開得到圖2.

問題2：猜想圖2中四邊形ABCD是什么特殊的四邊形，你能說明自己猜想的正確性嗎？

設計意圖：通過學生動手實踐，思考圖形變換中的不變量，提出問題，引出課題.通過創設學生直觀想象核心素養發展的教學情境，使抽象問題變得直觀化，便于學生理解.

環節二 定理探索

活動3：回憶矩形有哪些判定方法？

問題3：矩形的判定與性質之間有什么關系？

問題4： 矩形的判定除了用矩形的定義之外，另兩個判定的條件就是矩形的特有性質，那么菱形的判定情況又是怎樣的呢？

活動4（探索）： 菱形有哪些判定方法呢？

活動5（操作探究）：

（1）學生用尺規作圖作出菱形，師生交流總結畫法.

（2）通過畫圖和說圖的過程，學生交流討論：為什么剛才畫的四邊形就是菱形呢？并寫出你自己的猜想.

（3）你能證明你的猜想嗎？請根據猜想，嘗試寫出證明的全過程.

學生在學習矩形的判定時，積累了通過矩形的性質去探索矩形的判定，此時很容易根據菱形性質去猜想 “對角線互相垂直的四邊形為菱形”.以畫圖實驗，否定了對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形的直觀判斷過程，發展了學生的直觀想象能力，也滲透了運用直觀的價值.

設計意圖：此時教學過程中建構直觀圖，通過圖形來直觀解決問題.學生通過畫圖，將抽象的數學問題可視化，將探索菱形的判定方法直觀化，使得圖形語言與文字語言較好地互換.學生從性質出發，以直觀感覺入手，探索菱形的判定定理，發展了學生的直觀想象能力.

活動6：教師用幾何畫板演示活動5作圖.

設計意圖：本環節設計流程為“操作—觀察—猜想—驗證”.運用幾何畫板將問題轉化為可視化圖形，直觀呈現圖形的動態過程，無論是教師黑板粉筆作圖，還是學生紙筆作圖，都很難得出動點的位置變化情況.讓學生用眼睛觀察、用頭腦去想象，挖掘問題里的源泉，親歷點的變化過程，對提升學生直觀想象能力有不可忽視的作用.

活動7：學生完成文字概括，并依據條件畫出圖形進行幾何推理，然后用填空的形式完成數學語言的轉換.

設計意圖：學生畫圖，一個定理對應著相應圖形，一個圖形反映某個定理，讓條件和結論落實到圖形上，有助于幾何直觀能力的培養.

環節三 類比建構定理

活動8：建構菱形的判定定理.

問題5：你能類比矩形的性質與判定畫出菱形的性質與判定的思維導圖嗎？

設計意圖：使知識網絡直觀化.建構矩形與菱形的性質和判定的關系，對關系的建構過程也是發展直觀想象素養的過程.

環節四 例題教學

活動9（應用）

問題6：你能證明活動2的猜想了嗎？

設計意圖：對剛學的菱形判定方法及時鞏固，與前面的課題引入相呼應，讓學生知道學有所用.

問題7：在剛才的矩形紙片中，連接四條邊的中點得到的這個四邊形是菱形嗎？

例1： 如圖3，E，F，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點，請猜想四邊形EFGH是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

問題8：對矩形紙片ABCD，除了活動2那樣的操作，你還能用其他對折展開的方法得到菱形嗎？

例2：如圖4，把矩形ABCD紙片沿直線BD對折，使點C與點E重合，BE與AD交于點F，再將折疊的圖形展開，點F與BC邊上的點G重合，連接DG，求證：四邊形BGDF是菱形.

例3：如圖5，把矩形ABCD紙片沿直線EF對折，使點A 與點C重合， 直線EF與AD，BC分別交于點E，F，連接CE，AF，求證：四邊形AFCE是菱形.

問題9：若將例3中的矩形紙片換成平行四邊形紙片，還能有上述的結論嗎？

變式1：如圖6，將平行四邊形紙片ABCD進行對折，使A點與C點重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F，求證：四邊形AFCE是菱形.

問題10：將變式1中的平行四邊形紙片換成梯形紙片呢？

變式2：如圖7，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，將它進行對折，使A點與C點重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F，猜想：四邊形AFCE是什么特殊的四邊形？并證明你的猜想.

設計意圖：學生在活動中體會圖形變化，學會用直觀圖形解決幾何問題，在變式討論中，利用直觀想象解決問題，發展直觀想象素養能力.

環節五 拓展延伸

問題11：你還能用其他方法將一張矩形紙片進行折疊，得到一個菱形嗎？

問題12：將四邊形紙片ABCD如上面進行折疊或剪開，四邊形紙片ABCD滿足什么條件時還能是菱形？

設計意圖：本題是一道開放性問題.學生通過抓住圖形變換中不變量和對圖形折疊、展開等變換的綜合操作，發展學生的直觀想象能力.這種發展是幾何教學作用于發展關鍵期的結果.

三、“初探”的自我認識

1.重視活動經驗的積累，加強實踐操作

學生通過對圖形的變換或畫圖以及合作交流等活動，不僅為學習圖形的性質與判定奠定了基礎，也積累了數學活動的經驗，發展了直觀想象素養.如“菱形的判定”中，筆者沒有像其他老師一樣，證明猜想是否成立時把圖直接畫在黑板上，然后讓學生直接進行證明，而是將時間重點安排在畫圖探究環節，充分調動每一名學生參與畫圖.看似多余的環節，實則已經為學生建構了菱形的判定知識，學生通過經歷過程，累積學習經驗，完全符合直觀想象素養水平描述中提到的水平三的評價之一，即在交流中，能夠利用直觀想象探討問題的本質及其與數學的聯系.

2.運用幾何畫板，給學生提供“直觀想象”的機會

教師運用幾何畫板等現代信息手段，向學生展示數學圖形的運動變化，讓學生在變化過程中找到不變的量和變化的量，把握問題的本質，產生解決問題的思路.幾何畫板的動態演示，架設直觀與想象的橋梁， 不僅有圖形， 還讓這些圖形根據題中的條件動起來，將原本難以想象的畫面形象地擺在學生面前，為直觀與想象架設橋梁.

3.教學內容的拓展，引導學生掌握直觀想象的方法

在教學過程中，教師應該針對內容進行變式訓練或一題多解訓練，給學生一個思維的外延導向.學生通過觀察、類比、猜想、畫圖驗證等活動，構建出相應圖形的特征，鍛煉直觀想象能力.

4.文字圖像化， 為直觀想象提供載體

初中學生往往對含數學術語的文字和符號有畏懼心理，尤其是大段的，長篇幅的更是如此. 數學問題圖形化，為學生直觀想象提供可視材料，讓數學問題變得形象，有親和力，更加符合學生的認知心理特征.將數學問題用圖形語言表述，使得問題變得更加直觀，學生更容易理解，降低問題復雜性.因此，在開展數學教育工作過程中，教師應考慮文字圖像化， 為直觀想象提供載體，培養學生直觀想象能力.

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