思維可視化：讓數學學習深度發生

劉美娟

摘? 要：思維可視化，有助于學生對數學知識的理解、記憶、應用。畫圖是可視化的表征策略，“動手做”是可視化的具身策略，而“腳手架”則是可視化的內化策略。思維可視化，能提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養，進而讓學生數學學習深度發生。

關鍵詞：小學數學;思維可視化;可視化策略

數學是思維的體操，然而思維卻猶如一個“黑匣子”是不可視的。如何讓學生的數學思維可視化，進而能讓教師觸摸到學生思維的脈搏，應當是一個有意義、有價值的研究話題。“思維可視化”是指借助一系列圖示技術，讓學生的數學思維清晰地呈現出來，從而讓學生的數學思維有跡可循、有據可探。思維可視化，有助于對數學知識的理解、記憶、應用。思維可視化，能讓學生的數學學習深度發生。

■一、畫圖：可視化的表征策略

“圖形與符號”是思維可視化最為常用、最為簡潔、最行之有效的策略。在數學教學中，教師要根據學生的年齡和心理特征，根據學生的認知傾向、認知特質，結合具體的數學教學內容，用圖形和符號來助推學生的數學思考、探究。在小學數學教學中，“畫圖”曾經作為一種解決問題的策略來進行專題學習。但作為一種可視化的學習策略，應當從低年級就開始培養學生的畫圖方法、能力、策略等。

從畫圖的種類上看，圖形可以分為示意圖、概念圖、流程圖、思維導圖等。借助圖形，一方面可以讓問題的意識、內涵、意蘊等直觀表征出來，這是一個“從外到內”的轉化過程;另一方面可以讓學生的思維直觀、生動地表征出來，這是一個“從內到外”的外化過程。比如教學“間隔排列”（蘇教版三年級上冊），教師就必須引導學生畫圖，一方面將各種難以理解的內容可視化，比如傳統的“植樹問題”“公交車發車問題”“時鐘報時問題”“鋸木頭問題”等。當學生多次通過畫圖來表征題意之后，學生就能在心中建立一個“間隔排列”的模型，清晰地表達“中間物體”與“兩端物體”，并且感悟到“兩端物體比中間物體多一個，中間物體比兩端物體少一個”。通過畫圖，學生才能理解一些抽象的動作。如“時鐘報時問題”，鐘擺在報時之時，每個“聲響”之間總是會隔著一段時間，這個“間隔著的時間”就是學生數學理解的難點。再如，在“鋸木頭問題”中，“鋸木的次數”和“鋸木的段數”之間的關系也是學生數學理解的難點。借助畫圖這一可視化的策略，就能助推學生的數學理解。

圖形是一種最為基本的可視化的學習工具，能助推學生對抽象數學知識的直觀理解。同時，畫圖還能讓學生將內隱的數學思維過程外顯化，從而便于學生的數學對話、交流、展示。對于學生的畫圖，教師應當允許學生涂鴉，只要學生能將題意、將自己的思路表征、呈現出來即可，而不必過度苛求學生的畫圖美觀。當然，教師也不必放松要求，而應循序漸進，引導學生拾級而上，漸次掌握畫圖的技巧、規范要求等。

■二、動手做：可視化的具身策略

可視化的策略不僅僅包括畫圖，更包括“動手做”。所謂“動手做”，就是充分調動學生的多種感官，引導學生展開具身性的活動。學生的“動手做”活動，不僅指簡單的操作活動，而且更包括觀察、演示、實驗、實踐等?！皠邮肿觥钡倪^程，既是學生動腦的過程，又是學生動手的過程，是手腦協同認知。借助“動手做”，能將學生內隱的思維外化出來，同時將外在的問題融入其中，由此助推數學問題得以解決。

實施“動手做”的活動，要警惕將之異化為簡單的、機械的、盲目的“操作”，要警惕學生淪落為“操作工”，而應將學生的思維融入其中，讓“思維成為外化的活動”，讓“活動成為內隱的思維”。只有這樣，才能讓“動手做”活動成為一種可視化的思維活動。比如教學“長方形和正方形的周長”（蘇教版三年級上冊），有教師認為“周長”這一概念比較簡單，因而就蜻蜓點水地說明一下“周長就是一周的長度”，至多再讓學生跟著說明一下;或者讓學生簡單地看一些圖形的周長，然后就引導學生探究長方形、正方形的周長，其結果可想而知。站在學生立場上，“周長”不僅是一個“數學概念”，而且更是一個“數學表象”。學生需要的不僅是對長方形周長的靜態描述，更需要對長方形周長的動態建構。教學中，筆者首先讓學生沿著物體的邊沿比畫，然后讓學生沿著平面圖形的邊沿將平面圖形剪下來，接著再讓學生對平面圖形的周長描紅，等等。通過這樣的“一比”“一剪”“一描”等，深化學生對“邊線”的認知，對“周長”的理解。

“動手做”的活動能將抽象的、靜態的數學問題具體化、動態化，從而將無形的數學理解有形化。在這個過程中，學生內隱的數學思維獲得了外在“動手做”活動的有益支撐。通過“動手做”這一可視化活動，不僅能提升學生數學學習力，而且能積淀學生的數學基本活動經驗，發展學生數學核心素養。

■三、腳手架：可視化的內化策略

“腳手架”是學生更可視化學習的內化策略。在數學教學中，“腳手架”的類型很多，比如學生的“草稿紙”“活動記錄單”“口語表達”，等等。借助“腳手架”，學生能對數學問題進行表征并積極內化，從而將外在的數學問題轉化為學生內在的心理圖像。在教學中，當我們遇到了難點、疑點等內容時，當我們需要整理相關知識內容時，“腳手架”將發揮重要的作用。

在數學教學重難點分散處、在思維拓展處，如果沒有“腳手架”，學生的數學學習難免陷入被動化、機械化的學習“窠臼”。而有了“腳手架”（如表格、圖形、語言等載體），學生的數學學習就能從被動轉向主動、從機械轉向靈動。在數學教學中，“腳手架”既可以用來“先行組織”，又可以用來“反思整理”?！澳_手架”猶如一個“拐杖”，能助推、支撐學生的數學學習。比如復習“平面圖形的面積”（蘇教版六年級下冊）一課，為了助推學生厘清數學知識的來龍去脈，筆者運用“知識結構圖”引導學生復習，從而構建了一個強大的經驗交流場、思維碰撞場。學生頭腦中原本雜亂的、零散的數學知識獲得了集結、整合。學生不僅洞察了圖形面積的源流、來龍去脈，而且根據圖形的脈絡，積極主動地建構圖形面積的推導過程，從中深刻感受、體驗到圖形面積的轉化思想、方法。以長方形面積為基礎，學生漸次推導出平行四邊形、正方形、三角形、梯形、圓等的面積。結構圖，作為學生數學學習的“腳手架”，將數學知識清晰、穩固、深刻地植根于學生的心中，從而讓數學知識融會貫通。圍繞“結構圖”，學生不僅展開積極的思考、探究，而且展開積極的表達。多樣性的表達，促進了學生對數學知識的個體性內化。

在小學數學課堂教學中運用思維可視化策略，有助于提升學生的思維能力，提升數學課堂教學質量。可視化的工具，讓我們“看”到了學生的思維，觸摸到了學生的思維脈動。靈活應用思維可視化的技術、工具，不僅能引導學生主動建構知識，而且能積淀學生的數學活動經驗，提升學生的數學學習能力，發展學生的數學核心素養！