淺議初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有效銜接的路徑

姚中華　林鑫　齊貴美

摘? 要：對(duì)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)建立有效的路徑銜接，是保障學(xué)生能夠盡快適應(yīng)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效手段。通過對(duì)數(shù)學(xué)思想的分析，文章從數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、特殊與一般的思想、極限的思想五個(gè)路徑，給出初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的有效銜接的具體措施，旨在幫助實(shí)現(xiàn)學(xué)生由初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的無縫銜接。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想? 高等數(shù)學(xué)? 初等數(shù)學(xué)? 有效銜接? 路徑

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-1578（2020）02-0014-02

1? ?引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工類、經(jīng)管類專業(yè)重要的基礎(chǔ)課，是一門抽象性高、邏輯性強(qiáng)、應(yīng)用性廣的學(xué)科。由于其主要研究對(duì)象是無窮和非勻變量，而學(xué)生往往以做題為學(xué)習(xí)的中心環(huán)節(jié)，忽略了對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的分析總結(jié)，從而難以適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。本文從數(shù)學(xué)思想的角度出發(fā)，分析初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，從而給出從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的有效銜接路徑。

2? ?數(shù)形結(jié)合的思想

學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，能夠熟練地利用圖形推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式、借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行集合的運(yùn)算、結(jié)合函數(shù)圖像探究函數(shù)的性質(zhì)、通過圖解法求解簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題等等;而在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往容易忽略從幾何的角度理解概念和定理。從數(shù)形結(jié)合的角度看，高等數(shù)學(xué)中幾乎每一個(gè)概念和定理都有對(duì)應(yīng)的幾何解釋，這些幾何解釋可以幫助學(xué)生理解抽象的知識(shí)點(diǎn)。例如，學(xué)習(xí)一元函數(shù)在某點(diǎn)處極限存在的充要條件時(shí)，如果結(jié)合一正一反兩個(gè)圖形案例來理解這個(gè)定理，就會(huì)起到事半功倍的效果;類似地，對(duì)于函數(shù)間斷點(diǎn)的學(xué)習(xí)，可以結(jié)合函數(shù)的圖象，從幾何的角度去理解不同類型的間斷點(diǎn)，從而正確掌握相應(yīng)的概念。

3? ?化歸與轉(zhuǎn)化的思想

化歸與轉(zhuǎn)化就是將復(fù)雜的、待解決或未解決的、不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、已解決或容易解決的、熟悉的問題。在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)熟練地掌握了將分式方程、二次方程和多元方程轉(zhuǎn)化為整式方程、一次方程和一元方程這些化歸與轉(zhuǎn)化的技巧。

在高等數(shù)學(xué)洛必達(dá)法則的學(xué)習(xí)中，對(duì)于兩種基本類型的不定式極限，可利用洛必達(dá)法則求解;對(duì)于其他類型的不定式極限，如冪指函數(shù)的極限，則需通過適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化才能求解。此外，對(duì)于冪指函數(shù)的求導(dǎo)，既可以用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，也可以設(shè)出合適的中間變量轉(zhuǎn)化為多元復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)問題。

4? ?分類討論的思想

分類討論不僅是一種數(shù)學(xué)思想，更是一種邏輯方法。在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生最樂于使用分類討論的方法解決數(shù)學(xué)問題，分類討論思想在各省的高考試題中也往往占據(jù)重要地位。

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，分類討論也是無處不在。例如，不同于數(shù)列的極限，函數(shù)的極限可以根據(jù)自變量是趨于定點(diǎn)還是趨于無窮大而分為兩大類，在此基礎(chǔ)上，再通過定義單側(cè)極限的概念，進(jìn)一步將其分為六種形式。對(duì)于有理分式函數(shù)極限的求解，如果能正確理解函數(shù)極限的兩大分類，就能快速掌握因式分解消除零因子和同除最高次冪這兩種方法的應(yīng)用范圍，進(jìn)一步，對(duì)于自變量趨于無窮時(shí)有理分式函數(shù)的極限，對(duì)分子和分母最高次冪的大小進(jìn)行分類討論，可以得到更一般的結(jié)論。再如，對(duì)于一元函數(shù)的間斷點(diǎn)，利用左右極限的存在性可將其分為兩類，對(duì)于第一類間斷點(diǎn)，再根據(jù)左右極限是否相等又可進(jìn)一步分類，通過對(duì)間斷點(diǎn)的分類，可以更好地掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，理解函數(shù)連續(xù)與間斷的本質(zhì)。

5? ?特殊與一般的思想

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，很多公式、定理的學(xué)習(xí)都是通過特殊開始的，從特殊到一般。在初等數(shù)學(xué)勾股定理的學(xué)習(xí)中，從畢達(dá)哥拉斯地板磚的引入，對(duì)等腰直角三角形這一特殊情形進(jìn)行探究，再引發(fā)對(duì)一般直角三角形的探討;在高等數(shù)學(xué)微分中值定理的學(xué)習(xí)中，首先引入羅爾定理，然后通過取消定理中兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值相等的特殊條件，就可以引入更一般的拉格朗日中值定理。

有時(shí)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也可以從一般情況入手，從一般到特殊，或者說逆向地從特殊到一般。在初等數(shù)學(xué)中，學(xué)生先是認(rèn)識(shí)了一般的四邊形，然后轉(zhuǎn)到特殊的四邊形——平行四邊形，對(duì)于平行四邊形再從特殊的角度入手，進(jìn)而認(rèn)識(shí)了矩形、菱形和正方形;在高等數(shù)學(xué)平面及其方程的學(xué)習(xí)中，可以在認(rèn)識(shí)平面方程的一般式之后，進(jìn)一步討論方程中系數(shù)出現(xiàn)零的特殊情況，從而學(xué)習(xí)了過原點(diǎn)的平面方程、平行于坐標(biāo)軸的平面方程和平行于坐標(biāo)面的平面方程。

此外，如果把數(shù)列看做特殊的函數(shù)，在極限章節(jié)的學(xué)習(xí)中，可先由特殊到一般，從數(shù)列極限的概念入手，再學(xué)習(xí)函數(shù)極限的概念，在系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)極限的計(jì)算方法之后，再由一般到特殊，回過頭來掌握數(shù)列極限的計(jì)算方法。

6? ?極限的思想

高等數(shù)學(xué)是一門以極限為基礎(chǔ)的學(xué)科，處處滲透著極限思想，作為極限存在準(zhǔn)則之一的夾逼準(zhǔn)則也是求極限的一個(gè)重要方法。盡管初等數(shù)學(xué)課程中并沒有直接講授極限的知識(shí)，但在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中卻有著這樣一道例題：圖1中每個(gè)小正方形的面積為1個(gè)面積單位，試估計(jì)曲線所圍圖形的面積[1]。

如果數(shù)出圖形內(nèi)包含的完整的小正方形的個(gè)數(shù)，就可以估計(jì)圖形的面積，且估算值比實(shí)際面積要小;在此基礎(chǔ)上，再加上圖形邊緣接觸到的小正方形的面積，也可以估計(jì)圖形的面積，且估算值比實(shí)際面積要大，實(shí)際面積在兩者之間。如果要得到更精確的面積值，則應(yīng)該將正方形網(wǎng)格加密，把所有小正方形分成更小的正方形，這里不僅體現(xiàn)著極限的思想和夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用，同時(shí)也蘊(yùn)含著有限差分算法中網(wǎng)格加密的策略。

7? ?結(jié)語

盡管高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)在內(nèi)容與深度這兩方面差異很大，但是兩者所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想?yún)s是一脈相承的。從數(shù)學(xué)思想的角度給出從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的有效銜接路徑，可以使學(xué)生進(jìn)一步深刻認(rèn)識(shí)到這些數(shù)學(xué)思想，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，提高學(xué)習(xí)興趣，順利地實(shí)現(xiàn)從中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的過渡。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社， 2011：91-92.

作者簡(jiǎn)介：姚中華（1993-），男，山東青島人，助教，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)。