點差法解圓錐曲線中點弦問題新發現

廣東省中山市第一中學 (528403) 李 虎

一、問題提出

此題的結論是沒有.常用的做法有兩種，一種是聯立方程利用韋達定理及中點坐標公式結合判別式得出結論；另一種是利用點差法.點差法計算量小，但是面臨驗證是否有交點的問題，在練習題評講過程中學生也提出為什么要驗證？求出的直線又是什么呢？在課堂上，筆者從邏輯推理的角度給學生作了錯誤原因的分析.課后筆者也查找了文獻，文[1][2]中把這種問題的原因歸結于其共軛雙曲線，筆者認為原因不在于此，并找出了此直線的真實含義.文[1][3][4][5]對點滿足什么樣的條件，這樣的直線存在做了研究，為快速判斷這樣的直線是否存在奠定了基礎.

二、邏輯推理過程中找原因

注1：這樣就解釋了為什么任給一個不在漸近線上的點都可以用點差法求出一條直線，這條直線是相對于“與已知雙曲線共漸近線的雙曲線系”來說的，所以要判斷所求直線是否與已知的雙曲線是否相交.

注2：文獻[3]中已經證明當點p位于漸近線與雙曲線所圍成的區域內時(包含漸近線和曲線本身)，不存在以p為中點的弦，其余區域存在以p為中點的弦.

三、知識遷移

證明方法與雙曲線類似，這里不再贅述.

任給平面一點，針對橢圓也可以用點差法求出一條直線，這條直線是相對于“共離心率的橢圓系”方程來說的.對給定的橢圓，容易知道，若所給的點在已知橢圓上或橢圓外，那么不會存在以這個點為中點的弦，若所給的點在橢圓的內部，則存在以p點為中點的弦.考題所給的點都在橢圓內，所以給大家一種橢圓方程用點差法解決中點弦問題不用驗證判別式的錯覺.

結論3 已知拋物線y2=2px(p>0)，對平面內任意一點P(x0,y0)，則存在實數λ使得P(x0,y0)是拋物線y2=2px+λ中某一條弦AB的中點.

任給平面內一點，針對拋物線也可以用點差法求出一條直線，這條直線是相對于“共對稱軸的拋物線系”來說的.容易知道，若這個點在拋物線所圍起焦點所在的一側，以p點為中點的弦存在，反之，在拋物線上，或者在拋物線的另一側，那么這種弦不存在.

四、結束語

點差法處理中點弦問題有很多優點，體現了數學的簡潔美，同時也體現了事物的廣泛聯系性，中點的坐標就這樣和斜率產生了關系.通過本題的探究有助于學生推理嚴密性的培養，同時也可以培養學生從多個角度看問題，思考問題，解決問題，拓展思維的寬度和深度.