基于“七步法”的幾何定理教學方法的實踐與反思

張煒

摘 要：通過“七步法”落實定理教學的“過程”性，提升“學為中心”理念中學生的主體參與和教師的引導作用，將幾何定理的產生、分析、理解、應用的“過程性”作為學生學習理解與運用定理的“切入點”，從而促進課堂教學中教與學的和諧發展，真正實現定理教學的課堂高效.

關鍵詞：七步實施;幾何定理;過程教學;高效課堂

1 背景介紹

浙江省特級教師鄔云德在“學為中心”的教師培訓中指出，定理教學要經歷“提出問題→操作觀察→歸納猜想→分析證明→多樣表達→解決問題→反思內化”（以下簡稱七步）的規范過程.這就是說，幾何定理具有高度抽象性和科學性，只有學生在經歷“七步”的過程中才能化抽象為直觀，才能將數學的科學性變的通俗易懂，學生才能真正領悟定理教學中的內涵.才能積極參與數學活動，將數學“冰冷的美麗”化成“火熱的思考”.但在以浙教版數學八年級上冊第二章第7節“探索勾股定理”為載體的“多人同課異構”式的研修活動中發現，幾何定理的課堂教學中普遍存在沒有遵循七步原則，造成教學“過程”短暫，甚至缺失的現象.鑒于此，我們在重復式觀摩和反復研討反思的基礎上，對于該課的教學過程進行了重建，改建后的教學實施與效果得到了研修聽課同仁的認可.現將其整理出來，以期與讀者共饗，共同進步.

2 教學實錄

環節1 類比思考并經歷提出問題的過程——確定研究問題

師：我們在研究等腰三角形時，用畫圖與實驗來證實（或用推理驗證）的方法，獲得等腰三角形從邊的相等到角的相等以及角的平分、邊的平分（三線合一）等一系列的相等現象的性質.本節課我們用類比探索的方式研究直角三角形中關于邊存在的運算等式（揭示課題）.

環節2 探索直角三角形三邊等式的特征——操作觀察思考

生14：根據正方形面積的兩種算法，結合完全平方公式.

師：是的，從數與形結合兩個層面尋找證明思路的“切入點”也是數形推理上的重要思維.概括地說，形的方面是由邊長c的平方想到正方形的面積，再由直角三角形的面積與正方形的面積之間的聯系尋找正方形的分割線，產生四個直角三角形與一個小正方形.數的方面是由ab與a2，b2之間的聯系產生（b-a）2，將ab轉化成a2+b2.

師：你們還有其他的證法嗎？學生沉默.

其實，你們所提供的證明過程就已經很了不起.不過，在古代我們中國數學家就對這個直角三角形的三邊關系進行了探索，下面請大家打開書翻到第76頁進行閱讀（課外活動材料）.

環節5 經歷經典定理的數學史——閱讀欣賞創新

閱讀 師：同學們，祝賀大家，你們發現的證明思路也是我們中國人在關于直角三角形三邊關系最早的證明，它的設計思路可追溯到3世紀中國數學家趙爽所使用的弦圖（如圖10）（詳見課本76頁探究活動）.

欣賞 數學簡史：在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又稱之為商高定理;《蔣銘祖算經》上說：“故禹之所以治天下者，此數之所由生也;”“此數”指的是“勾三股四弦五”.這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的.在國外，相傳畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形.又因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹（如圖11）.直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方.兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積.法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”.他們發現勾股定理的時間都比中國晚，中國是最早發現這一幾何寶藏的國家.

應用價值 （1）著名數學家華羅庚曾提出把“數形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言（如圖10）.

（2）在北京召開的第24屆國際數學大會（ICM—2002）上確定它為大會的會標（如圖12）.

創新 勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力.請同學們課下制作勾股定理手抄報紙質稿（或電子小報），可以2-3人一組，一個星期的時間以小組為單位在下星期五前上交，屆時邀請美術、信息老師評選優秀作品，并頒發獎狀及獎品.

環節7 參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

師：本節課研究了哪些內容？

生15：勾股定理及其應用.

師：好的，我們是怎樣研究的？

生16：通過類比等腰三角形，先探索勾股定理，再用勾股定理解決實際問題.

師：不錯，發現判定定理的策略與方法分別是什么？

生17：策略是類比.方法是畫圖、推理.

師：好的，這是發現數學結論常用的經驗.

師：大家在學習過程中還有哪些收獲和體會？

生18：計算線段長度構造直角三角形.

師：不錯，關于線段長度關系的發現，目前運用勾股定理是一個重要的思維特征.從數據的平方特征采用正方形面積相等的兩種表達方式是證明圖形等式的重要基本策略.

生19：勾股定理的使用是數形結合的數學思想.

師：好！這些收獲與體會非常有價值，對于后續學習有指導意義.

3 教學反思

3.1 “七步法”強調定理教學是“過程”教學

遵循“七步法”原則是定理教學的外在形式，旨在強調定理教學是過程教學.首先，勾股定理作為幾何定理中的經典，其重點和難點是定理的發現和證明過程.在此過程中蘊含著豐富的數學思想，譬如：歸納思想、化歸思想、演繹思想等是學生學習平面幾何的核心思想;其次，在定理的應用過程中蘊含著重要的數學推理思想，如：數形結合思想、方程思想等及用數據描述圖形的性質實現定性到定量的精準性刻畫，這些對于發展學生的智力、能力和個性品質具有積極地影響;最后，定理應用的反思及定理證明后的反思也是過程教學中的關鍵部分，在此過程中實現數學思想方法的總結，數學經驗的積累，思考問題能力上的“導富濟貧”.但是目前在該課的教學中，多數教師沒有對探索勾股定理中的邊長等量關系運算的策略進行反思;有些教師在獲得勾股定理和解決實際問題之后缺乏對問題解決策略的反思;多數教師缺乏對教學活動失敗與成功活動經驗上的反思.

3.2 “七步法”強調定理教學的自然生成教學

本課例在“精致化”分析的基礎上，改變很多教師直接給出勾股定理的弦圖，緊接著思考證明勾股定理的產生過程的做法，將其教學立意為弦圖的形成與勾股定理等式運算的形成探索過程的“過程”教育.并從學生已有的知識和經驗出發，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經歷完整的認知過程.在“回顧并提出問題”的教學中，既有回顧探索勾股定理證明思路形成的思想方法，以激活研究探索勾股定理的數學活動經驗，又有提出問題的過程，以建立新舊知識之間的內在聯系和激活學生學習的興趣.在“探索并證明勾股定理”的教學中，既有借助已有經驗進行“分類探索→畫圖猜想→分析證明→多樣表達”的過程，以獲得勾股定理及發展探索與證明的能力，又有獲得勾股定理之后的反思，以內化用構造正方形來實現化歸的思想方法.積累用邊長的平方構造圖形以及用面積證明勾股定理等式結構的新經驗.在“定理應用”的教學中，既有引導學生解決給定問題的過程，以鞏固所學的知識和發展智慧技能，又有解決問題之后的反思，以認識用勾股定理解決實際問題的思想方法，還有開放式的問題解決我國的問題，以發展學生的發散思維能力和想象能力，積累測量等方案的數學活動經驗.在“回顧與思考”的教學中，既有回顧研究內容，又有回顧研究方法，還有學生談學習后的收獲與感受.

3.3 “七步法”強調“學為中心”的教學理念

新課程理論指出，學生的學習過程不僅要知其然，還要知其所以然，更要知何以知其所以然.勾股定理的教學關鍵點是使學生獲得探索直角三角形三邊等式關系的過程.這個探索的過程也是本節課的“亮點”，是需要學生在“做中學”中去體會，在不斷地嘗試和探索中，從偶然發現到必然認識的“尋寶過程”.因此，本節課的教學重心應放在學生如何發現三邊的等式是平方關系？為什么不考慮四則運算？為什么上升到平方形式？為什么等式的證明是采用畫出正方形？為什么要分割成四個直角三角形和一個小正方形？直角三角形的面積是ab2，正方形的面積是c2，通過正方形的等面積形式去得到a2+b2=c2，為什么想到分割正方形？這些都是學生的疑點和惑點.參與研修的教師普遍認為，本課例落實了定理教學的基本規范，遵循了“學為中心”的教育理念. “學為中心”的教學理念強調定理教學要開發學生的主動性，教師的引導性.本課例對于勾股定理的導入采用從特殊到一般的圖形與數據相結合的兩個視角的開發過程.從圖形的視角，以復習等腰三角形的邊的等式為出發點，類比直角三角形的邊的相等關系式，排除了特殊的一次方的等式結構.再從等腰直角三角形三邊特殊的等式到借助網格落實直角三角形在網格上精準性的邊上數據的獲得.通過先測量、實驗、發現等一系列數學真實體驗，獲得直角三角形三邊關系等式的猜想;再根據從特殊背景（網格）到一般性背景（非網格）的直角三角形三邊長度等式在圖形上的猜想、實驗、推理、證明的思維認識發展過程.從數據的視角，遵循數學是定性刻畫到定量刻畫的本質認識過程.尊重學生從數據的運算規律的觀察、歸納、發現、驗證的一般認識規律，從運算的偶然性、特殊性再到運算的一般性和普遍性的認識發展規律.從運算的結構上看，學生是要經歷一級運算（加法與減法運算）到二級運算（乘法與除法運算）再到三級運算（乘方與開方運算）認識規律.摒棄了直接采用華羅庚的預言或數學大會的會徽的欣賞，將勾股定理的認識過程衍變成培養學生發現等式運算結構的探索過程.把本節課的難點定位在何以產生平方的等式，何以出現正方形的圖形上.學生對于勾股定理的產生“豁然開朗”，自然對于定理的運用便會“欣然接受”，從而營造教與學的和諧氛圍就不在話下了.

教學實踐表明，在定理教學中，要落實新課標中要求的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（以下簡稱四基）的高效落實，需要教師為學生提供充分認識和理解定理的思維活動的時間和空間，為學生營造充分獨立思考合作學習的過程.“七步法”實施的本質是強調定理教學應該遵循定理產生、認識、理解、運用的科學規律，需要教師貫徹啟發式教學思想.以符合“最近發展區”理論的題材為載體，在貫徹“學為中心”的教學理念中實實在在，腳踏實地從學生已有的知識和經驗出發，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，學生四基的能力才會得到發展，高效課堂才不會成為一句空話.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]范良火.義務教育教科書數學（八年級上冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2014.

[3]鄔云德.數學定理教學方法——以“相似三角形判定定理1”為例[J].中學數學，2017（02）：12-14.

（收稿日期：2019-04-02）