基于自主學習要求的高等數學課堂構建實例

黃小杰 劉芝秀 呂鳳姣

【摘 要】為適應科學技術的飛速發展，培養學生自主學習的能力和習慣已成為教學改革的主要目標之一，且自主學習亦是學習強國戰略思想的具體表現形式之一。雖然數學是基礎性的學科，但其知識和方法卻不易掌握。因此數學教師在教學中應特別注意培養學生的自主學習能力，以使學生持續學習。本文以激發學生數學學習興趣為出發點，基于自主學習要求構建了有關高等數學課堂教學的實例，以供自主學習教育教學理論研究。

【關鍵詞】自主學習;高等數學;學習興趣

自主學習是一種現代化的學習方式，與傳統的定時、定點、定量的被動接受學習不同，自主學習強調以學生為學習主體，學習方式和過程由學生自己做主。事實證明，它更容易使學生得到知識與技能、方法與過程、情感與價值觀等方面的綜合改善和升華。自主學習是構建學生終身學習觀的必然途徑[1，2]，也是學習強國戰略和思想的具體表現形式之一[3]。

當然，課堂教學是自主學習不可替代的。課堂教學在學生自主學習能力形成中能起到引領和關鍵性的作用，能為學生形成自主學習的能力和習慣打下堅實的基礎。必須指出的是，在科學技術飛速發展的新形勢下，職業轉換和知識更新速度進一步加快，教師應更加努力地引導學生自主學習，只有具備自主學習能力和習慣的學生才能更好地適應時代的發展。在自主學習能力培養和形成過程中，有許多值得注意的地方，如學習興趣、和諧融洽的師生關系、合理規劃學習時間和任務等。其中，學習興趣至關重要。正所謂興趣是最好的老師，學生對學習內容感興趣就會愿意學習，有利于形成融洽的師生關系，亦有利于自主學習時間和任務的安排。所以，筆者贊成在教學中，以興趣培養為突破點，培養學生的自主學習能力。數學作為一門研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的抽象嚴謹的基礎科學[4，5]，表述內容時常晦澀難懂，所以對于它的學習尤其要以興趣為前提。

高等數學是高校眾多的公共基礎課程之一，但不少學生覺得高等數學課程枯燥乏味。這就無法保證教學質量，更談不上培養學生的自主學習能力。為提高高等數學教學質量并達成教學目標，筆者已運用并積累了諸如圖示教學、直觀教學、類比教學、故事教學、懸念教學和試驗教學等多種教學方法和技巧[6]，它們的要點均在于激發學生的數學興趣，畢竟點燃興趣可以提升數學課堂的教學質量和學生的自主學習能力已是一個不爭的事實。

本文從實證角度，基于自主學習的要求，以激發學生學習興趣為切入點，構建了一個高等數學課堂教學實例，對高等數學課堂教學中學生自主學習能力的培養進行了實踐探究，以期為相關教育教學理論工作的研究提供素材。

1? ?高等數學教學實例

“數一數、加一加、畫一畫”是常見的幼兒教育內容，貼近生活，形象直觀。而高等數學教學也可以此入手，通過以下方式讓學生驚訝—好奇—求知—自學，并完成教師指定的自主學習任務和目標[7]。

1.1? 數一數

提問1：自然數集是有理數（或分數）集的真子集。記自然數集為…，記有理數集，那么。讓學生先觀察這兩個集合，從可以明顯看出集合的元素個數大于其子集的元素個數。由此可引導學生思考：是不是有理數集的元素個數比自然數集的元素個數多呢？既然自然數集是有理數集的真子集，那么整體是不是一定比部分大？

講解1：上述問題的答案是否定的，二者的元素個數是相等的。強調新思想方法，用一一對應判斷兩個集合的元素個數是否相等。事實上，如果兩個集合的元素之間能夠建立某種一一對應關系，那么這兩個集合的元素個數就是相同的。

不直接證明自然數集和有理數集的元素個數是相同的。僅以正偶數集的元素個數和自然數集的元素個數是相同的為例，指出某些情況下整體可以和部分相同。

正偶數集為…，它是自然數集…的真子集，但是自然數集的元素個數并不比正偶數集的多，因為它們的元素之間有如下一一對應關系：……。所以，雖然正偶數集是自然數集的真子集，但是正偶數集和自然數集的元素個數是相同的。

事實上，有理數集和自然數集的元素個數也是相同的，即它們的元素之間存在某種一一對應關系：……。所以，“整體的個數比部分的個數多”，這一直觀的結論對于有窮集合是對的，但對于無窮集合不再正確。

自主學習要求1：讓學生自己構造自然數集和有理數集之間的一一對應，證明自然數集和有理數集的元素個數相等。

提問2：是否所有無窮集合的元素個數都相同？

講解2：指明無窮集合的元素個數并不是都相同的，實數集和自然數集的元素個數就不相同。

自主學習要求2：讓學生自己學習并證明自然數集和實數集之間無法建立一一對應關系，進而理解兩集合的“個數”不同。

為激發學生興趣，促進學生自主學習，教師可以繼續下面的“加一加”“畫一畫”的教學內容。

1.2? 加一加

提問3：無窮多個正數相加，越加越大，一直加下去，其和會不會比任意給定的數大？

講解3：不一定，存在無窮多個正數，其和不會比任意給定的數大。如…。這個無窮多個正數相加的和只等于1。直觀解釋：取一張紙的一半是;再取一半的一半是;依此類推，正好取完整張紙。

1.3? 畫一畫

提問4：有理數在實數軸上是稠密的，直觀看是密密麻麻地分布在整個實數軸上。以每個有理點為中心，畫一個括號，做個區間，如下圖。

引導學生思考：對每個有理點都做一個區間，所有這些區間并在一起是否會覆蓋整個實數軸？

講解4：直觀上看有理數稠密、密密麻麻地布滿整個實數軸，每個有理點有一個區間蓋住，這些區間合起來似乎也會把整個實數軸覆蓋住，但這是錯誤的。

用剛才講的“數一數”和“加一加”的內容證明這個直觀看法不對。即要證明存在一種區間的取法，使得所有“以有理點為中心的區間”并起來也不能夠蓋住整個實數軸。先把所有的有理點列出來，正如上文提到的，它們和自然數之間存在一一對應關系，所以可以像自然數一樣一一列出來…。再分別以每個有理點為中心做如下區間…，區間的長度分別為…，這些區間的長度加起來為…，而整個實數軸的長度卻無窮大。所以，雖然它們已經蓋住了所有的有理數點，但即使把所有這些區間并起來也不可能蓋住整個實數軸。

總之，以上教學內容對學生的固有思維造成了很大沖擊，引發了學生的學習興趣。在此課后的一周，幾乎所有學生都自發學習并明白了自然數集和有理數集是一一對應的關系，也明白了并不是所有無窮集都是一一對應的，還知道了稠密開子集的概念和基本性質。該課取得了較好的引導學生自主學習的效果。當然，以上教學實例難免有不妥之處，希望能拋磚引玉，為自主學習能力培養的教育教學理論研究提供素材。

【參考文獻】

[1]龐維國.論學生的自主學習[J].華東師范大學學報（教育科學版），2001（2）.

[2]龐維國.90年代以來國外自主學習研究的若干進展[J].心理學動態，2000（4）.

[3]陳思博.遼陽市自然資源局掀“學習強國”熱潮[J].國土資源，2019（3）.

[4]張順燕.數學的思想、方法和應用：文科類高等數學[M].北京：北京大學出版社，1997.

[5]葉其孝.把數學建模、數學實驗的思想和方法融人高等數學課的教學中去[J].工程數學學報，2003（8）.

[6]蕭樹鐵.高等數學改革研究報告[J].數學通報，2002（9）.

[7]李忠，周建瑩.高等數學[M].北京：北京大學出版社，2004.

【作者簡介】

黃小杰（1983～），男，漢，江西南昌人，講師，博士研究生。研究方向：數學及其教育。

劉芝秀（1982～），女，漢，四川榮縣人，講師，碩士研究生。研究方向：數學及其教育。

呂鳳姣（1983～），女，漢，河南商丘人，副教授，碩士研究生。研究方向：數學及其教育。