巧用數學史提升數學課堂效率

朱佳怡

摘 要：數學是人類文化的重要組成部分。數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，體現數學的思想體系和美學價值，以及數學家的創新精神。通過數學史的引入，學生不僅可以學到具體的現成的科學知識，而且可以學到“科學的方法”，以開闊學生的視野，培養學生的洞察力。

關鍵詞：數學史，小學數學，課堂教學

中圖分類號：G623.5 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1992-7711（2020）03-077-2

數學史融入課堂教學可以活躍學習氛圍，激發學生學習興趣，使學生在了解數學價值的同時縮短心理上接受某一觀念的時間。通過數學史例的介紹，學生不僅能養成注意數學發展的習慣，還能形成不甘落后、勇于進取、敢于創新的心理品格。

一、數學史是橋梁，連接新舊知識

眾所周知，要客觀描畫現實世界，方程是有效的數學模型。那么在悠久的歷史長河中能占有一席之地的方程為什么無法被學生接受呢？原因有很多：可能是沒有理解字母代表的意義、可能無法將字母融入數字計算中……

一次介紹方程數學史的經歷讓我找到了更好突破難點的鑰匙：歷史記載遠古時期中西方文化里都出現了有關含有未知數的等式。在《九章算術》中記載我國利用算籌排列方陣來表示未知數前的系數和常數項，公元前一世紀左右中國人已經借用幾何圖形來驗證一元二次方程了。“那我們學的方程能不能像古人那樣學習，讓幾何圖形來幫忙？”數學課代表問道。這里利用幾何圖形可不像一元二次方程中那么復雜，我鼓勵學生將算式里的未知數用圖形表示。很多學生都發現：這些原本“高大上”的式子馬上“跌下神壇”，成為類似一年級學計算時常常做的“△+5=8，○-2-4=6”這樣熟悉的題目了。學生們產生的親切感讓他們更容易理解：其實字母和圖形的作用一樣，都表示著未知數。在解方程的過程中他們也更方便地想到借用部分低年級的解題經驗來幫助自己解答。

二、數學史是捷徑，避免多走彎路

教師在介紹“數學王子”高斯時，總要提及他小學時的“壯舉”：他能快速將老師給出1+2+3+……+100的難題的答案。他發現將加數倒序排列再與原式中的加數依次相加，就能得到100個固定的和：101，即兩式相加的和可以用乘法馬上計算出來，為10100。只需除以2，就可以得到其中一個式子的結果5050了。當然，現在高年級的學生解決這道題肯定不會從左往右依次相加計算的，他們能會利用湊整的方法把1和99，2和98……加在一起進行簡便計算，能運用轉化的策略將數學計算轉化為一層一層堆粉筆便于自己理解，甚至會使用等差數列的求和公式：（首項+末項）×項數÷2，代入得：（1+100）×100÷2=5050，從而直接求出答案。這些孩子能夠使用前人的研究結論幫助自己解決問題，已經學會“站在巨人肩膀上”看世界了。

同時，我在教學“圓”的內容時，對于數學史的影響感觸也頗深。現在教學畫圓時總離不開圓規——這個畫圓的專業工具。那么千百年來畫圓又是如何演變的呢？新石器時代我國就以規作為畫圓工具，即用繩子將筆和釘子連起來畫圓，帶釘子的一端固定，拉直繩子用帶筆的一端旋轉成圓。到了戰國時期《墨經》又記載“圓，一中同長也。”人們在實踐中發現在操作過程中要保持半徑處處相等才能畫出圓，有彈性的繩子……這些前人的經驗也提醒著現代的學生們，在使用圓規畫圓的過程中，同樣要固定圓心、要保持半徑不變。在操作過程中我也真切地發現學生們畫圓時更為小心，畫圓的成功率也提高了不少。“前人栽樹后人乘涼”，數學史中保留下來的知識和經驗都是我們后人更好學習數學的寶貴財產。

三、數學史是沃土，汲取創新養料

數學史是讓我們了解誰發明創造數學知識、數學理論的歷史，更是明確知識產生、發展、形成、完善的過程。因此在課堂教學中數學史在學生獲取更多數學知識以外，還在了解和掌握更多解決問題的思路與方法方面有著不可缺少的作用。

一次上課的經歷讓我感受到了數學史的力量：我在課堂上向學生們介紹了“哥尼斯堡七橋問題”，它是世界著名數學疑難問題之一：“哥尼斯堡的普萊格爾河上有7座橋，將小島和岸邊相連，而每座橋只允許通過一次，如果最后還要回到起始點，問這樣的走法存在嗎？”學生們看到這道題目不是端坐在座位上等答案，就是拿出手指一遍一遍的嘗試著不同的“走法”……表面上看這問題好像不復雜，當時的人們也像學生們一樣，反復嘗試不同的走法即可。然而方法要么重復經過、要么遺漏，繁多的走法讓當時的百姓們始終不能找出答案來。后來大家找來了數學家歐拉求助，沒想到他很快就解決了這個問題，他巧妙地把復雜的條件用數學的點、線表達出來，問題也轉變成了“該圖形是否能一筆畫成？”通過之后的操作發現它無法一筆畫成，所以相應的走法也是不存在的。幾位學生在座位上不禁發出輕聲的驚呼：“還能用圖形來表示！”，我知道班級里的學生們都從中有了不少收獲。在之后的學習過程中也確實印證了我的想法。在平時遇到解決實際問題時，學生們會比較容易想到將復雜的條件用圖的方式簡化，從而幫助自己解決問題。在四年級學習“畫圖解決問題的策略”時，學生們更是表達出比他人多的學習熱情，知識掌握程度也比較好。歐拉的創新開啟了圖論研究領域，學生的創新是學會了用新的數學策略來看世界。

在圖形與幾何方面，“三角形內角和”的課堂探究過程中也能讓學生感受到數學史的魅力。在蘇教版數學教材中已經體現了部分數學史的元素。除了剪拼三角形三個角的方法來證明以外，還有把三角形三個角通過折疊的方式集中起來量角度證明方法。而后者也是法國數學家帕斯卡少年時代使用的辦法。但是從歷史上看，這兩種方式不是探究的“唯二”方法，我在課堂上又向們介紹了一種：公元前6世紀，古希臘思想家泰勒斯在買地磚時，就創造性的發現通過三角形拼圖發現了三角形內角和的關系。他拿六個相同的三角形不同的角置于同一點，剛好能圍滿點周圍的所有區域，并且每個角都出現了兩次。因為一周是360°，所以三角形三個角的和就是360°÷2=180°。這種方法現在看起來普通極了、發現者更不是數學專家，可是著名數學家歐幾里得、克萊羅都因此受到了啟發，從而成功的證明了此定理。學生們在了解之后能夠發現除了對三角形本身進行折疊、剪切以外，保留圖形本身的“拼”也是一種有效的方法。在教學梯形的面積計算公式時，就有較多學生能夠想到“拼”的方法，將兩個相同的梯形拼成一個平行四邊形，利用平行四邊形面積除以2就能求出梯形面積。這種方法相較于把梯形分割更能簡單的得到梯形面積計算公式。每個時代的“創新”都不同，現在平凡至極的知識、理論可能是歷史中重大的“創新”，同時每一個人都可以是“創新”的一員。學生在學習數學史的過程中可以看到前人寶貴的創新精神。

丹麥數學家H.G.Zeuthen說過：“通過數學史的學習，學生不僅獲得了一種歷史感，而且通過從新角度看數學學科，他們將對數學產生更敏銳的理解力和鑒賞力。”結合數學史，教師應在課堂中抓住機會，在教學數學知識時不忘促進學生數學思維的形成，在教學數學理論時不忘數學方法、創新能力的培養。課堂中數學史的滲透，更多的像給予學生的一對翅膀，不再受困于狹隘的教室，而是有了去領略蘊含著無窮樂趣數學世界的機會。

（作者單位：蘇州市吳江區綢都小學，江蘇 蘇州215000）