用好模擬題，快速提升復習效率

王丹

摘要：又是一屆高三復習，在一輪快要結束，模擬考試接踵而至的時候，怎樣用好模擬試題，有針對性的調整復習策略，快速提升復習效率是之后的復習要想的、要做的。

關鍵詞：反思復習策略函數的性質學生主體性參與

中圖分類號：G632.479文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）04-073-2

7月8號、9號我校高三第一次模擬考試數學文科卷中有這樣一道試題：

問題：對于函數f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的“不動點”，若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩定點”。函數f（x）的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B，即A={x︱f（x）=x}，B={x︱f[f（x）]=x}

（1）設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=Φ，求證：B=Φ;

（2）設函數f（x）=3x+4，求集合A和B ，并分析能否根據中的結論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉一反例。

一、考后試卷講評

教師：這次考試的第20題得分率“超低”，其它的試題帶有一定的方向性和模式化。打個比方，我們做過的復習如同為你準備了一個工具箱：榔頭，鉗子、螺絲刀、扳手、電筆等等。但是這道題，有同學翻遍了自己的工具箱，找不到合適的工具去解決。現在老師將為數不多的同學的考試時的解答過程以及試卷提供的答案都寫在黑板上，請同學們再次反觀此題，“難”在何處？

部分學生的解答：

學生1：令f（x）=x，即就是ax2+bx+c=x，A=Φ即就是△=（b-1）2-4ac<0。

再令f[f（x）]=x，即就是a（ax2+bx+c）+b（ax2+bx+c）=x，（應該證明此方程無解，可是化簡太繁瑣，不知道下面應該怎么做。）

學生2：同上面，令f（x）=x，即就是ax2+bx+c=x，A=Φ，即就是△=（b-1）2-4ac<0。

令t=ax2+bx+c，于是方程a（ax2+bx+c）+b（ax2+bx+c）+c=x變為at+bt+c=0計算其△=（b-1）2-4ac<0。

學生3：假設B≠Φ，則存在x使得方程f[f（x）]=x有解，則與題設A=Φ矛盾，所以假設不成立，原命題成立，∴B=Φ

學生4：f[f（x）]=a[f（x）]2+bf（x）+c=x

即a[f（x）]2+bf（x）+c-x=0又∴x=f（x）

∴a[f（x）]2+（b-1）f（x）+c=0其△=（b-1）2-4ac<0

故B=Φ

學生5：（1）空

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}，根據（1）和（2）的結論知A=B成立。因為若f（x）=x則x=f（x）有代入f[f（x）]=x中，又得f（x）=x，故A=B成立。

學生6：（1）同上

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能斷定A=B成立，取函數y=1x，知集合A={x︱f（x）=x}={-1，1}。集合B={x︱f[f（x）]=x}={x︱x=x}={x︱x≠0，x∈R}，故A≠B。

標準答案為：

（1）由A=Φ得方程ax2+bx+c=x無實數解，則△=（b-1）2-4ac<0。

①當a>0時，二次函數y=f（x）-x，即函數y=ax2+（b-1）x+c的圖像恒在x軸的上方。

所以對于任意的x∈R，f（x）-x>0恒成立，

即對任意的x∈R，f（x）>x恒成立，

對于實數f（x），則有f[f（x）]>f（x）成立，

所以對于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ。

②當a<0時，同理易得B=Φ。

綜上對于函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），當A=Φ時B=Φ。

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能判斷集合A=B成立，舉例：函數如表中所給

則集合A≠B

學生參與講評：

將所有本由教師看到的信息暴露到學生眼前，很快，得分率非常低，考試后抱怨此題“太難”的孩子發現了諸多問題：

學生1：標準答案的證明中方程ax2+bx+c=x無實數解，則△=（b-1）2-4ac<0好像對于后面證明當A=Φ時B=Φ就沒有多大關系？

學生2：如果想找到一定的聯系，應該是將函數看作是二次函數，以利于討論開口方向。

教師：很好，那如果刪去△=（b-1）2-4ac<0的判定，刪去a>0和a<0的分類呢？

學生3：

∵A=Φ，所以對于任意的x∈R，f（x）≠x恒成立，

∴對于任意實數x∈R，f（x）-x>0或f（x）-x<0成立，

若f（x）-x>0成立即對于任意x∈R，f（x）>x成立

則對于實數f（x），則有f[f（x）]>f（x）成立，

所以對于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ

若f（x）-x<0時，同理易得B=Φ。

綜上對于函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），當A=Φ時B=Φ。

教師：這位同學說的非常好，再反思題本身，在上面的證明中，去掉函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對于任意函數f（x），都有若當A=Φ時B=Φ。揣測這道題編者的意圖，是“多此一舉”有意讓大家誤入對二次函數的“歧途”？還是為了降低抽象度，用具體的事例詮釋函數抽象的性質？如果我們必須被引領至對二次方程“根”的判定上，此題又能怎樣解答呢？

很長時間，學生陷入沉思。

教師：按照得6分的學生思路，由A=Φ得方程ax2+bx+c=x無實數解，則△=（b-1）2-4ac<0。

那么方程f[f（x）]=x即a[f（x）]2+bf（x）+c=x，此方程如果考慮到上面ax2+bx+c=x無解，即就是f（x）-x=0無解，能否從中獲取對方程a[f（x）]2+bf（x）+c=x的化簡思路呢？

學生4：老師，是不是方程中再出現一個f（x）-x的因式？

教師：很好，既然想到了，就試一試。

學生4：方程a[f（x）]2+bf（x）+c=x

即[f（x）-x][a2x2+a（b+1）x+ac+b+1]=0

方程a2x2+a（b+1）x+ac+b+1=0的△1=a2[（b-1）2-4ac-4]

所以[f（x）-x][a2x2+a（b+1）x+ac+b+1]=0無解，即B=Φ

教師：完美！再看第二問，對于多數同學來講，由一次函數f（x）=3x+4，不難求出其集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。但是全年級能夠大膽猜測集合A與B的關系的同學并沒有幾個，現在已經不是考試氛圍了，大家能不能大膽猜想一下集合A與B的關系？

學生5：從答案中舉例的函數可以看出A={1}，B={1，2，3}，應該AB。

教師：這位同學歸納的好，還有沒有其他同學想舉一些其他的例子？

學生6：我看到老師展示的同學考卷上所舉的例子：y=1x。我想函數y=-x是不是也能說明問題？函數y=-x+1也可以吧？

教師：不愧為文科學生，有超強的聯想能力。那能不能說說這一類函數的特點？

學生6：都關于直線y=x對稱。

教師：集合A為函數f（x）與直線y=x的交點的集合，集合B是函數f（x）定義域內關于直線y=x對稱的點的集合。被稱之為不動點和穩定點。我們在復習研究函數的性質時，并未研究過函數的這類性質，使得大家感到無從下手。那函數的簡單基本性質都有哪些？

學生齊：定義域、值域、奇偶性、單調性、對稱性、周期性。

教師：還有嗎？

個別學生：凹凸性！

教師：很好，具有穩定點的函數圖像關于直線y=x對稱，其實也是一種圖像對稱的性質。它的反函數是其本身，其中不動點集合A與穩定點B之間的關系是AB，我的問題又來了，你能夠證明AB嗎？另外，函數的這些性質用文字語言怎么表征？用符號語言怎么表征？用圖形語言怎么表征？都留作課后作業自己論述完成。

針對此次模擬考試，“反思”不光是針對課堂教學，高三的整個復習其實也就是一個不斷反思的過程，特別是對于一次次鄰近的模擬試題，反思復習過程中的漏洞，從而經歷知識的有效地重組與整合，加大學生自我復習的完善，使高三復習能夠從知識的全面回顧到加深對知識的理解記憶，最后再到解題的高屋建瓴。反思，既能幫助教師更好的提高復習效率，也能幫助學生實實在在提高分數。

[參考文獻]

[1]張大均.教育心理學[M].人民教育出版社，2004，4.

[2]張奠宙.一份“函數單元”的文化清單[J].中學數學教學參考，2007，1.

（作者單位：陜西省西安市第八十九中學，陜西 西安 710000）