二次函數實際應用題說題設計

張祖蘭

【摘要】《義務教育數學課程標準》中指出，二次函數是描述現實世界中變化規律的數學模型.學生從實際問題出發，抽象出二次函數的數學知識，建立數學模型，可以加強學生的建模素養，深刻體會到數學與實際生活密不可分.因此，二次函數的實際問題也是數學中考考查的重點，但是不少的學生因為審題不當，理解錯題意而失分.為了突破此重難點，教師應當更加深入地鉆研此類題型的思知識水平要求與思想方法的運用，而說題正能體現教師的這一本領.筆者有幸參加了南寧市東盟開發區初中數學的說題解題比賽，并獲得一等獎.

【關鍵詞】數學建模，二次函數，實際應用，中考

一、原題呈現

要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1 m處達到最高，高度為3 m，水柱落地處離池中心3 m，水管應多長？

本道題出自人民教育出版社出版的數學九年級上冊第二十二章“二次函數”第36頁例4，取材于較為常見的生活情境——噴泉問題，而且是教材中二次函數實際應用的第一道例題.

【題目立意】

本道題中所蘊含的知識點有：

1.根據題目的情境，建立直角坐標系，表示點的坐標，

2.運用待定系數法求解拋物線解析，

3.求解給定條件下自變量或者函數的值.

本道題考查數學建模這一數學方法，在解決問題的過程中需要學生觀察分析圖形，數形結合，并且運用轉化的思想將實際問題轉化為數學問題，并建立模型，運用方程的思想，最終解決問題.

二次函數是描述現實世界中變化規律的重要數學模型.學生從實際問題出發，抽象出數學模型和相關知識，可以讓學生體會數學的價值和建模的意義.課程標準對二次函數這一章節的要求如下：

希望通過對本道題的教學，使學生體會到二次函數的意義，在這個過程中恰當運用二次函數的表達式，解決簡單的實際問題.

二、教法指導

（一）學情分析

本節課的授課對象是九年級的學生.在此之前學生已經學習過二次函數的定義，并且學習了二次函數的圖像和一般性質，掌握了二次函數的頂點式y=a（x-h）2+k（a≠0），具備一定的運算能力，會用待定系數法求解二次函數解析式，并且學習了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函數的應用，具備將實際問題轉化為數學問題的知識經驗，但是同時學生還不太懂得分析數學問題構建數學模型，以及選取什么數學模型適合解決問題也是學生的薄弱點.

（二）重點與難點

基于上述對教材知識與學情的雙向分析，筆者確定本節課的重點有兩個：

1.通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義，

2.構建二次函數模型，解決實際問題.

在解決問題的過程中，預設學生會碰見兩個難點：

1.將實際問題轉化為二次函數問題，

2.選擇恰當的建系方法，構建二次函數模型.

為了有效地突出重點、突破難點，筆者在說題過程中綜合運用自主學習、合作探究、講練結合等教學方法.

（三）分析題意、抽象模型

請學生閱讀教材第36頁例4，分析題意，此時引導學生將文字條件轉化為圖形模型：水管是一段線段，拋物線形水柱是拋物線.

【設計意圖】此時，將立體的實際問題轉化為平面的二次函數拋物線問題.

將拋物線抽象出來后，詢問學生本道題中已知條件是什么？未知結論是什么呢？請將題目的已知條件與要求的未知結論在圖上標出，并引入適當的記號.

題目的未知結論是線段BD的長度，聯系我們已有的知識，線段問題可以轉化成什么？（點的坐標問題）

并且進一步地詢問學生在學習用坐標表示點的位置時，我們借助了什么工具呢？（平面直角坐標系）那現在沒有平面直角坐標系，我們應該怎么做呢？（學生自然想到要建立一個平面直角坐標系）此時提醒學生建立了直角坐標系后就能得到所有點的坐標嗎？（不一定，如點D的坐標還不清楚），我們來看D點在哪兒？（拋物線上）因此，我們需要先求這個拋物線的解析式，再求D點的坐標.

【設計意圖】此時，就把題目中的文字條件、數據條件等顯性條件轉化為在平面直角坐標系中研究拋物線上點的坐標等隱性條件.因此，現在解決問題的關鍵就是一一建立平面直角坐標系.

（四）建系討論、解釋模型

如何建立直角坐標系才能求解出拋物線的解析式呢？請學生在備用圖上獨立嘗試，并思考以下幾個問題：

1.怎樣在原圖中建立平面直角坐標系？

2.建系后能找到哪些點的坐標？請標在圖中.

3.現在可以求出拋物線的解析式嗎？

再四人一小組合作探究，交流以下內容：

1.小組同學共有幾種建系方法？

2.所有思路都可以求出拋物線的解析式嗎？都是如何求解的？

并且選擇小組上臺展示建立直角坐標系的方法以及求解析式的思路，底下同學負責傾聽、點評.學生講解過程中，教師注意追問以下幾個問題：

1.以哪個點為原點建系？

2.建系后能找到哪些點的坐標？怎么得到的？

3.如何求拋物線解析式？設成什么表達式？

同時，筆者會提醒學生注意答題格式的規范.

【設計意圖】鼓勵學生獨立思考，選擇不同的建立直角坐標系的方法并結合題意建立拋物線的解析式的模型，互相合作，交流學習，可以讓學生體會到不同解法的優劣性，取長補短.

三、解法探究

（一）解法呈現

在這里分享四種較為自然和常見的建系方式：

解法一 如圖所示，以水管與地面的交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.

【設計意圖】鼓勵學生自我探究，結合題目條件選擇不同建立直角坐標系的方法，可以體會到不同解法之間的聯系——二次函數的圖像平移規律，并且在解決問題的過程中計算量等的不同，學生體會不同解法的優劣性，從而自我生成建立直角坐標系的方法.

（二）歸納總結、學有所獲

當所有的解法展示完畢之后，筆者會提問：你認為這幾種方法中哪一種更簡單？

從而歸納出在建立直角坐標系時，需要遵循讓點的坐標簡單或者解析式簡單的原則，通常來講：

1.盡可能多地使圖形上的點（或已知點），落在坐標軸上，

2.充分利用圖形本身的對稱性

3.有利于求出題目的結果.

至此，學生已經經歷了一個運用二次函數知識解決實際問題的過程，此時師生共同小結歸納解決實際問題的一般步驟：

1.要審題，審出已知、未知，2.建系、建模，3.再把已知線段長轉化成點的坐標，這時要注意坐標的正負數，求出解析式，4.從而求得點的坐標，5.解決實際問題.

【設計意圖】為了檢驗本節課的學習效果，筆者將鏈接中考，變式探究，加深學生運用二次函數解決實際問題的意識，同時進一步強化學生解決二次函數實際應用題的策略意識.

五、反思不足

在本次準備說題的過程中，有三點體會特別深刻：

1.平時教學應當注意結合實際生活，使學生感受到數學無處不在的，數學是源于生活的，又服務于生活的，堅定加強學生的建模意識，

2.在解決實際問題時，學生常常需要閱讀大量的文字，不少學生因為審題不當、理解錯題意而失分，因此，在平常教學中應該注意加強學生的審題訓練，

3.最后，在課堂中如何高效地開展小組合作，這也是筆者一直疑惑的地方.

【參考文獻】

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