行最簡形矩陣的研討與啟發式教學淺析

吳艷 楊有龍

【摘要】對于給定的矩陣，經過一系列的初等行變換，可得到行最簡形矩陣，本文以此知識點為切入點，討論了行最簡形矩陣的嚴格數學定義，并是通過給定的具體矩陣，循序漸進探索了與行最簡形矩陣相關的結論。

【關鍵詞】教學方法;數學教育;高等教育;啟發式教學;研討式教學

【基金項目】2013年第三批國家級精品資源共享課立項資助（1040）;西安電子科技大學教學改革項目資助。

【中圖分類號】G642.3【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）07-0246-02

大學數學課程的教學目的之一是激發學生思考、開啟學生思維，如何在課堂教學中根據知識點循序漸進、逐步展開，既達到了傳授知識的目的，又達到了訓練學生思維的目的，這是對研討與啟發式教學的基本要求，也是教師教學能力提高的主要方向之一。本文以知識點“行最簡形矩陣”為切入點，淺析行最簡形矩陣的研討與啟發式教學，為大學數學課程的教學起到拋磚引玉的效果[1-5]。

同濟版線性代數[1]第三章“矩陣的初等變化與線性方程組”中對“矩陣的行最簡形矩陣”[3，4，6-9]的定義是矩陣經過一系列初等行變換后，得到的行階梯形矩陣滿足兩點“最簡”[1]：（1）每一行的第一個非零元素為1;（2）這個1所在列的其他元素均為0。對于任意的矩陣，它的行最簡形矩陣是否唯一存在？在教材中通過舉例，得到結論“由此可猜想到一個矩陣的行最簡形A矩陣是唯一存在的”。按照教材的內容實施教學，教師和學生均感覺“行最簡形矩陣”的概念是“只可意會不可言傳”，“行最簡形矩陣唯一存在性”好似空中樓閣，沒有理論支持。只有理解“行最簡形矩陣”的概念和相關結論理解“列最簡形矩陣”的概念和結論，從而使“矩陣的標準型”教學水到渠成。因此“行最簡形矩陣”教學重要性顯而易見[1，4，5，7]，事實上“行最簡形矩陣”的應用也非常重要[3，6，8，9]。本文將給出“行最簡形矩陣”的嚴格數學定義，并探討“行最簡形矩陣的唯一性”，為“行最簡形矩陣”的研討式教學提供思路。

1.數學語言給定義，力求嚴謹化，鍛煉問題的描述和表示能力

教材中稱如下的矩陣B1和B2為行階梯形矩陣，文字描述為“其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0;每個臺階只有一行，臺階數即使非零行的行數，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元。”

B=，B=;

B2=，B2=;

關于行最簡形矩陣的定義，教材中通過矩陣B2的舉例給出，稱行階梯形矩陣B2為行最簡形矩陣，“其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都為0。”要求學生根據這些文字描述和具體的特點刻畫，給出矩陣A的行最簡形矩陣r定義，這一要求將促使學生根據現象，使用數學語言，嚴謹表達數學定義。

定義1矩陣A的行最簡形矩陣r

設矩陣A=（aij）m×n經過一系列初等行變換后為矩陣r=（ij）m×n，當第i行元素不全為零時，記≠0（i≤ik≤n）且ij=0（1≤j≤ik），若r滿足：（1）1k<2k<…

上述定義的矩陣r的第1行至第d行不全為零，每一行從左至右第一個非零元素均為1，所在位置的字母表達分別為，，…，，…，，其中1k<2k<…

2.根據定義多實踐，力求發現問題，鍛煉提出問題的能力

設矩陣A=，讓學生求解矩陣A的行最簡形矩陣r。學生甲和學生乙求解過程如下：

學生甲：

（E，A）=r-r

→=（P，r）

學生乙：

（E，A）=r-r-r3

→=（Q，r）

所以對于P=，Q=，有PA=QA=，矩陣A的行最簡形矩陣為r=。兩位同學雖然采用了不同的初等行變換手段，但最后獲得相同的結果r，讓學生討論、提出問題，鍛煉大學生的理解力和發現問題的能力。最關心的問題：（1）矩陣P和Q可逆嗎？（2）矩陣P和Q有什么關系？（3）“矩陣A的行最簡形矩陣唯一存在”嗎？

3.根據出現的具體問題，通過小組研討、理清思路，鍛煉學生解決問題的能力

由于矩陣P和Q是將單位矩陣分別經過一系列初等行變換而得到的，每一次的初等行變換都是可逆變換，所以矩陣P和Q一定可逆。讓同學們求出P-1和Q-1，并比較其異同。

觀察P-1=，Q-1=，顯然P-1和Q-1的第一、二列完全相同，這是巧合嗎？教師提出下面兩個具體的命題，讓同學們證明。這里注意教學要注重問題的分析和進一步的知識探討、研討式教學要注重問題的研究和證明，并給出明確的結論。

（1）若R是一個可逆矩陣，且R-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同，那么RA=r

證明令R-1=，|R-1|==a-b+c≠0，R-1的伴隨矩陣

（R-1）？鄢=，

于是

R=，

因此

RA===r

.

（2）若R是一個可逆矩陣，且RA=r，那么Q-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同。

證明設R-1=（rij），于是有

A==R-1r=·=，

通過對比可得

R-1=，

因此R-1的第一、二列和P-1、Q-1的第一、二列完全相同。

（3）矩陣Amn的行最簡形矩陣唯一存在。

文[3]指出這個結論的證明并不是很容易，文[6]給出了基于數學歸納法的證明，文[7]也給出了一種新的證法，無論哪一種證明，都需要補充其他知識才容易理解。有興趣的同學可自己閱讀，在教學中不應鼓勵所以學生掌握矩陣Amn的行最簡形矩陣r唯一存在的證明，但是可通過習題讓大家親身體會這一重要結論，或者告訴學生利用下一章的知識更容易獲得唯一性的證明。

4.結束語

隨著高等教育的深化改革，課堂教學更應重視啟發式和研討式教學，讓學生享受學習，學會學習。教育的目的是促進學生的發展，而能力發展是學生發展的主要標志與核心內容[11]。在數學學習中，學生獲得的就不僅是顯性的數學符號，而且也包括思想和方法[10]。本文以“行最簡形矩陣”的教學切入點，通過建立嚴密的數學定義，從具體的個例出發，循序漸進的知識展開，嚴格的推理、積極的求索真相，研究知識的來龍去脈，搞清知識的相互關系，達到訓練學生提出問題、理解問題、解決問題能力的目的。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系，工程數學線性代數[M]，第六版.高等教育出版社，2014.

[2]吳艷，楊有龍.淺談高校青年教師教學能力的培訓與提升[J].教學研究.2015（4）：19-21.

[3]曼瑜敏，楊忠鵬.矩陣行標準形與同解線性方程組[J].北華大學學報自然科學版，2006（1）：6-10.

[4]李娜，孫海燕.關于線性代數的幾個易錯點分析[J].數學學習與研究.2017（5）：3-4.

[5]楊有龍，吳艷.數學教學中的知識學習與能力培養[J].教學研究.2014（4）：62-65.

[6]華玉愛.向量組等價性判定定理[J].山東輕工業學院學報，1998（2）：80-82.

[7]王興泉.行最簡形矩陣的實質及其唯一性的新證明[J].河西學院學.2010（5）：31-34.

[8]王林，趙云河.行最簡形矩陣在線性代數中的運用[J].數學學習與研究.2013（5）：109-110.

[9]舒阿秀.行最簡形矩陣在線性代數中的重要作用[J].廊坊師范學院學報（自然科學版）.2014（5）：14-17.

[10]謝明初.數學教育的人文追求[J].數學教育學報，2015（1）：6-8.

[11]郭衎，曹鵬，楊凡，劉金花.數學教育的人文追求[J].數學教育學報，2015（2）：17-21.

作者簡介：

吳艷（1969-），女，重慶云陽人，副教授，主要研究方向為數學教學方法和創新思維研究。

楊有龍（1967-），男，陜西蒲城人，博士，現為西安電子科技大學數學與統計學院教授、博導，教學方面的主要研究方向為數學教育與教學管理。