幾何概型教學中的數學核心素養問題

白帆

[摘要]新的一輪教學改革拉開了帷幕，高中階段的培養目標是進一步提升學生綜合素質，著力發展核心素養，使學生具有理想信念和社會責任感，具有科學文化素養和終身學習能力，具有自主發展能力與溝通合作能力。將這一目標落在實處，需要從每一節課入手，從每一個知識點入手。文章分析了幾何概型一節中所蘊含的數學核心素養，采用問卷調查的方法對高三學生學習幾何概型的情況進行分析，并以此節內容分析學生數學核心素養發展情況。

[關鍵詞]幾何概型;數學核心素養;問題

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）12-0042-02

幾何概型的教學重點為：“體會隨機模擬中的統計思想，用樣本估計總體”，因此在教學中設計隨機模擬試驗，對其進行統計分析必然會涉及數據處理能力的培養。教學難點為：把求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題。

一、幾何概型教學過程中包含的核心素養

1.使用隨機模擬試驗用頻率估計概率，過程中需要計算機輔助產生隨機數，對大量數據的處理需要使用公式進行分析。比如在3米的繩子上取點的問題，得到隨機數后計算該點到繩子左右端點的距離，在計算機上如何操作？得到兩段繩子的長度后，如何使用計算機統計兩段繩子長度都大于1的情況？這都是培養學生數據分析能力的好機會。

2.將在繩子上取點的問題從具體的實例中抽象出來，變成了在數軸取點的問題，將數軸上的每一個點與隨機模擬試驗可能出現的每一個結果一一對應起來，形成試驗所有可能結果構成的幾何圖形，理解幾何概型的公式需要完成為什么可以使用幾何度量的比值去表示概率值這一問題。學生在這個過程中直觀想象能力得到了培養，數學抽象能力得到了提高。

3.幾何概型公式中涉及長度、面積、體積的問題，實際問題中還有角度等其他情況，選擇哪種幾何圖形的度量需要邏輯推理能力，比如在直角三角形內做射線和斜邊交于一點，與在直角三角形斜邊上取一點，兩個問題為什么會得到不一樣的答案，一方面源于隨機試驗的過程在進行什么操作，另一方面源于對等可能性的理解——做射線與斜邊的交點在中間部分比較密集。

4.使用幾何概型公式判斷試驗發生的結果所對應的區域困難時需要引入線性規劃來解決，其中涉及數學建模能力，同一問題，設計不同的隨機試驗，只要都是滿足等可能性且無限這兩個要求，就可以通過不同的途徑得到相同的答案。在數學試驗課中，無論是解決估算圓周率還是估算大夫山的面積，都是學生嘗試完整解決實際問題的機會，也是培養數學建模素養的機會。

5.數學運算過程由于其特點分布在解決問題的很多環節，在幾何概型中，使用公式計算面積、體積等都涉及一些比較巧妙的做法，如通過相似求面積，通過積分求面積等。

6.概率幾何概型知識本身概率思想蘊含的科學價值、應用價值和人文價值，都對學生的人生觀、價值觀等有重要的影響作用，如小概率事件是否發生，概率為零的事件是否發生，頻率是否可以當作概率等問題，對其深入討論可以幫助學生形成正確的概率觀念和培養堅持不懈的精神。

二、用習題問卷調查（見文后附錄）對幾何概型問題中反映的學生核心素養問題進行分析

（一）知識理解上仍然存在錯誤

與古典概型混淆、測度選擇錯誤的問題仍然存在，第5題中有15名學生使用古典概型來解答，但是當和他們談論為什么選擇古典概型時，大部分學生的回答是沒看清題目要求x∈R。就幾何概型知識點來說，與古典概型的區別和測度的選擇的確重要，但是僅僅強調這兩方面有區別，從概念上區分或者通過例題演示，效果并不是很理想，學生仍然容易出錯。

（二）直觀想象能力有待提升

（五）數學運算能力急需加強

以第7題為例，這是一個很實際的問題，計算安全距離。需要根據題中“到各邊距離不低于1個單位”這句話建立出兩個相似三角形的模型，此題有26名學生正確畫出了圖形，但僅有7人計算正確，其他學生已經正確畫出了圖形，也標明了事件發生所占的區域，但是卻沒有找到求解相似三角形面積的方法。教師通過這次調查發現，每一個題目都有學生因為計算出錯，數學運算能力的培養貫穿著整個數學教學與學習過程，教師在本次調查中發現粗心大意是學生在學習中的壞朋友。如有的學生將第5題集合的范圍從符號語言[1，10]轉化到圖形語言時在數軸上標注成[0，10]，這反映的不僅僅是學生運算能力不足的問題，更是數學核心素養不高的綜合表現。

數學核心素養分成六個要素，但是這六個要素并不是孤立的，某一節課也不能僅僅以培養某一方面的素養為目的。從幾何概型的內容可以看出，這個知識點反映學生各個方面素養存在的問題，因此教師在備課和上課過程中都必須有意識地去思考這樣可以對學生的核心素養有什么作用，不能僅僅學習知識和學會解題方法。

7.在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小螞蟻從AABC的內切圓的圓心處開始隨機爬行，當螞蟻（在三角形內部）與△ABC各邊距離不低于1個單位時其行動是安全的，則這只小螞蟻在△ABC內任意行動時安全的概率是__。

8.關于圓周率π，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計π的值：先請200名同學，每人隨機寫下一個都小于1的正實數對（x，y），再統計兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對（x，y）的個數;最后再根據統計數m來估計π的值，假如統計結果是m=56，那么可以估計π的值為__。（用分數表示）