二次函數復習教學三重境之探

馬萍萍

[摘 ?要] 在中學數學的復習備考教學中需要兼顧知識強化與思想提升，引導學生從知識聯系點出發來構建知識體系，同時掌握解題的思想方法，文章以二次函數內容復習為例，探索復習教學的三重境.

[關鍵詞] 二次函數;復習;教學;基礎;綜合;思想

問題分析

二次函數一直都是初中數學教學的重難點，從中考試題來看，二次函數占有較大的分值，相比其他章節，問題分析和過程計算難度都更高，學生得分率較低;而從教學內容來看，二次函數的性質和圖像考查較為集中，題型變化多樣，學生在分析時很容易陷入誤區. 因此在實際教學中需要教師結合二次函數的核心內容來逐步引導，筆者認為促進學生知識與能力的雙重提升應是二次函數復習教學的核心目標，需要從三個層面來進行復習指導，下面通過現實案例對其逐個探析.

境界之思

二次函數復習教學的核心目標應是課堂教學設計的落腳點，在復習中需要分三個階段來進行教學指導. 首先要引導學生掌握二次函數的基礎知識，掌握求解問題的基本方法;其次開展知識融合，構建完整的知識體系，掌握綜合題的突破思路;最后上升到思想層面，深刻理解思想方法在解題突破中的重要意義. 上述就是二次函數復習教學的三重境：基礎入手，知識整合，思想滲透. 采用引導遞進的教學方式，引領學生從“基礎鞏固”過渡到“靈活變通”，最后上升到“思想提升”.

境界第一層：基礎入手，掌握定義性質

二次函數復習教學中依然需要從基本的概念定義、定理性質入手來開展，鞏固學生的基礎知識，包括二次函數的概念、結構特征，方程的求法、特征方程與函數圖像之間的對照關系、圖像平移與方程變化等.

例1 ?（2019年湖南益陽市中考卷）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，下列結論：①ac<0，②b-2a<0，③b2-4ac<0，④a-b+c<0，其中正確的是（ ? ? ?）

A. ①② ? ? ? ? ?B. ①④

C. ②③ ? ? ? ? ?D. ②④

解析 ?教材中對于二次函數的解析式與圖像進行了深入講解，因此使學生充分掌握兩者的對照關系是復習教學的重點. 結合圖像分析解析式參數的關系一般需要從三點入手：一是關注圖像的開口方向;二是判斷二次函數所對應方程的判別式的符號;三是根據圖像的交點、對稱軸提煉關系.

本題目中圖像的開口向下，顯然a<0. 與x軸有兩個不同的交點，Δ=b2-4ac<0. 圖像與y軸的交點在x軸的上方，顯然c>0，對稱軸- <-1，且當x=-1時y>0，則a-b+c>0.

綜上，a<0，c>0，則ac<0，①正確;由對稱軸關系可得b-2a<0，則b-2a<0，②正確;根據判別式符號可直接確定③錯誤;根據頂點坐標可知a-b+c>0，故④錯誤. 所以選A.

說明：從問題分析過程來看，教學中需要提升學生提取圖像信息的能力以及二次函數解析式的解讀能力，這是在基礎鞏固階段最為重要的內容. 考慮到解析式與圖像的對應內容較為豐富，在教學中可以采用草圖繪制的方式，即給出某一二次函數的解析式，讓學生在直角坐標系中繪制圖像的大致形狀和大概位置，從而增強學生的識圖、解式能力.

例2 ?（2019年浙江溫州市中考卷）已知二次函數y=x2-4x+2，關于該函數在-1≤x≤3的取值范圍，下列說法正確的是（ ? ? ?）

A. 有最大值-1，有最小值-2

B. 有最大值0，有最小值-1

C. 有最大值7，有最小值-1

D. 有最大值7，有最小值-2

解析 ?教材在講解二次函數圖像時對其單調性時進行了深入的論述，并從取值范圍角度進行了探索. 在復習該內容時需要引導學生多角度加以分析，例如不等式、最值等. 本題分析在特定區間上的取值情形，需要分兩步進行：第一步明確二次函數的單調性，第二步代入區間，結合圖像頂點加以判斷.

對二次函數進行變形，可得y=（x-2）2-2，則其單調性為：當x≤2時，y隨x單調遞減，當x≥2時，y隨x單調遞增;故當x=2時，y取得最小值-2. 所以在-1≤x≤3內，函數值y有最小值-2，當x=-1時，有最大值7，選項D正確.

說明：本題目是對二次函數單調性的應用，學習難點是無法將單調性與最值聯系在一起，這并不是學生的基礎知識不夠扎實，而是沒有培養學生從多角度來看待該知識點. 教學中不僅應結合函數的圖像來回顧二次函數的單調性，還應從取值角度來對其加以解讀.

境界第二層：知識整合，理解知識聯系

二次函數復習教學的第二層是對知識的整合，這里指的是引導學生從全局把控教材內容，將二次函數與教材的核心知識進行整合，包括其他函數曲線，同時涉及不等式、方程、幾何圖形等知識內容. 學生對知識聯系點一般把握不到位，此時就需要教師采用章節規劃、專題講解、框圖繪制、典例講評的方式幫助學生融合.

例3 ?如圖2所示，拋物線的解析式為y=ax2+bx，其經過點B（1，-3），對稱軸為x=2，且拋物線與x軸的正半軸相交于點A，試回答下列問題.

（1）求拋物線的解析式;

（2）根據圖像直接寫出不等式ax2+bx≤0的解;

（3）若在平面坐標系的第二象限內的拋物線上恰好有一點P，使得PA⊥AB，試求△PAB的面積.

解析 ?平面幾何、不等式、二次函數均是初中數學的重點內容，在復習教學中需要對其進行知識整合，依托圖像串聯解析式與不等式、幾何圖形與二次函數知識，引導學生結合圖像來轉化問題，利用函數性質、不等式性質和幾何性質來加以突破.

本題目給出了拋物線的圖像，結合點B坐標和對稱軸很容易就可以確定拋物線的解析式：y=x2-4x. 則不等式就為x2-4x≤0，解該不等式可以直接利用不等式的運算法則，但根據圖像也可以直接寫出解，實際上就是指拋物線位于直線y=0上及其下方的x的取值范圍，顯然就是0≤x≤4這一段，因此不等式ax2+bx≤0的解就為0≤x≤4.

對于第（3）問則是三角形與拋物線的綜合，根據拋物線的解析式可求得點A（4，0），已知點B（1，-3），則AB=3 . 分別過點B和點P作x軸的垂線，垂足分別為點E，F，如圖3. 由于BE=AE=3，則∠EAB=∠EBA=45°，結合PA⊥AB可得PF=AF. 設P（x，x2-4x），則PF=x2-4x，AF=4-x，由此解得x=-1或x=4（舍去），所以點P的坐標為（-1，5）. 根據點P和點A的坐標可求得AP=5 ，所以△PAB的面積為S= AB·AP=15.

說明：本題目是一道以拋物線為背景的綜合題，主要考查二次函數、不等式、平面幾何等知識的綜合. 第一個知識點是利用二次函數的圖像來求解不等式，第二個知識點是結合拋物線與三角形的位置關系及函數解析式來求解三角形的面積. 兩大知識聯系點是復習階段需要學生重點關注的，教學中需要教師結合圖像來直觀呈現解題思路，利用相應的模型來轉化求解.

境界第三層：思想滲透，重視數形結合思想

二次函數問題中常涉及代數運算與圖像分析，實際上是數形結合思想在解析中的應用體現. 學生在解綜合題時很容易失去解題方向，而結合圖像分析則可以挖掘問題中的隱含信息，采用合理的方法技巧來簡化運算過程，優化解題. 這是因為數形結合法既具有量化分析的優點，又具有直觀呈現問題的優勢，因此在教學中需要合理滲透數形結合思想，培養學生的解題思維.

例4 ?已知拋物線y=x2-2x-3與x軸相交于點A和B，與y軸相交于點C，點D是拋物線的頂點，連接BC，點P是直線BC上的一個動點，分析是否存在使△PAD為等腰三角形的情形，若存在請求點P的坐標.

解析 ?本題目是關于二次函數的動點問題，使用數形結合策略 “化動為靜”最為簡便. 使用“兩圓一線”的方法來大致確定點P的位置及個數，直線BC與兩圓有五個交點，則應有五個解. 下面采用數形結合確定坐標.

根據題干信息可得點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），則直線BC：y=x-3. 設點P（x，x-3），可得AD2=20，分以下三種情形加以討論.

①PA=AD，則（x+1）2+（x-3）2=20，求解可確定點P的坐標為（1+ ， -2），（1- ，-2- ）;

②PD=AD，同理可推得點P坐標（3，0），（-3，-6）;

③PA=PD，可推得點P坐標（2，-1）.

綜上滿足條件的點P有五個，坐標為（1+ ， -2），（1- ，-2- ），（3，0），（-3，-6），（2，-1）.

說明：本題中采用“兩圓一線”的方法確立點P的位置及個數，具體求解時聯系點坐標來表示線段長，根據不同的情況進行分類討論，建立相應的方程，這個過程是典型的數形結合過程. 數形轉化的過程中實現了問題的簡化，確保了答案的準確.

寫在最后

復習備考階段需強化學生對二次函數的理解，提升解決綜合問題的能力，上述三重境是從核心知識強化、數學素養培養層面提煉的，有助于學生融合章節知識，提升解題思維. 當然在教學中需要根據學情來靈活施教，循序漸進逐步引導. 考慮到教學效果還與學生的理解能力有關，在教學中可根據學生的吸收情況針對性地設計環節，使學生經歷知識探究的過程.