借“題”理法，研“題”悟教

楊春鳥

[摘 ?要] 題目是在職教師研究的課題之一，教師需要深入分析題目的價值與特點，結合題目的思維軌跡，引領學生感悟其中的方法與價值，從而將題目的價值與教學的策略巧妙地融合在一起，達成理法悟教的效果.

[關鍵詞] 解題;方法;初中數學

原題呈現

題目 如圖1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4. E，F分別在AD，BC上，點A與點C關于EF所在的直線對稱，P是邊DC上一動點.

（1）連接AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形;

（2）當△PEF的周長最小時，求的值;

（3）連接BP交EF于點M，當∠EMP=45°時，求CP的長.

解析 ?（1）如圖2，連接AC，交EF于點O. 由對稱可知OA=OC，AC⊥EF，所以AF=CF. 因為四邊形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，可得△OAE≌△OCF，所以AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，所以平行四邊形AFCE是菱形.

（2）如圖3，因為△PEF的周長=PE+PF+EF，又EF的長為定值，所以△PEF的周長最小時，即PE+PF最小. 作點E關于直線CD的對稱點E′，連接FE′交DC于點P′，則PE+PF=PE′+PF≥E′F，因此，當點P與點P′重合時，△PEF的周長最小.

因為AB=2，AD=4，所以AC=2，所以OC=. 由△COF∽△CBA，得=，所以CF=，所以DE=BF=4-=. 由畫圖可知DE′=DE=，由△DE′P∽△CFP，得==.

（3）如圖4，設BP交AC于點Q，作BN⊥AC于點N. 因為∠EMP=45°，所以OM=OQ，NQ=BN. 由AB·BC=AC·BN，得2×4=2BN，所以NQ=BN=. 在Rt△ABN中，AN==，所以AQ=AN+NQ=，CQ=AC-AQ=.由AB∥CP，得△ABQ∽△CPQ，得=，解得PC=.

評析 本題為純幾何壓軸題，題干簡潔，圖形簡明，分步設問，步步深入，梯度明顯，且解題思路自然，起點低，入口寬，既突出了一個“通”字——通性和通法，確保了大多數考生能得到理想的分數，又深化了一個“活”字——思維的靈活性與層次性，確保了較好的區分度.

解法歸納

本題第（3）問，解法靈活多樣，閱卷中發現了學生有近20種方法，現將三種典型的方法思路歸納如下，以供參考.

1. 思路1：構造等腰直角三角形

利用條件“∠EMP=45°”構造等腰直角三角形，除試題解析中的“作BN⊥AC于點N”外，還可以如圖5，“作EN⊥BP于點N”;如圖6，“作BN⊥EF于點N”;如圖7，“作PN⊥BP交直線EF于點N”等等，不再一一列舉.

2. 思路2：建立平面直角坐標系

利用條件“矩形”建立平面直角坐標系，如圖8. 設P（4，a）.由l：y=2x-3，l：y=x，l：y=-x+2可求得a=.

3. 思路3：形成“角含半角基本模型”

利用條件“90°與45°”形成“角含半角基本模型”. 如圖9，過點B作BN∥EF交AD于點N，就形成“角含半角”，為此又可形成一系列的方法，如“旋轉”，如圖10，將△PBC繞點B逆時針旋轉90°得到△P′BC′;構造“一線三等角”，如圖11;構造“相似”，如圖12，作AH=AN， CG=CP，等等.

教學啟示

1. 關注“思維拓展”，更要“基礎過關”

盡管本題是一道純幾何壓軸題，但從題目呈現的難度看，充分體現了“低起點，緩坡度，突出基礎”的特點. 第一問起點低，學生容易上手，先根據對稱的性質得到相關的數量關系和位置關系，再根據全等或者其他途徑得到菱形的判定條件. 第二問以第一問為基礎和梯子，且題源常規——八年級的課題學習“最短路徑問題”與八年級上習題13中的“將軍飲馬問題”合二為一，可謂源于教材. 因此在平時的教學中，我們首先要理解初中階段數學的核心基礎知識是形成數學能力的重要載體和抓手，基礎永遠是考查的主體，對學生數學學習的考核與評價首先體現在基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗四個方面. 其次要認識到“基礎過關”是“思維拓展”的前提，拒絕空中樓閣、過度拓展. 在教學和復習中優秀的做法應是立足基礎，挖掘教材中典型的例、習題，不斷讓學生從課本基礎知識開始問題的分析、解決與變式思考，這樣學生才能厚積薄發，其思維能力、理解能力、思辨能力以及運用數學知識解決問題能力的提升才會水到渠成.

2. 注重“以圖分析”，更要“分析畫圖”

從題目呈現的結構特點看，第（3）問與第（1）問是遞進關系，與第（2）問是并列關系. 第三問從學生最熟悉的45°出發，但需要學生“補圖”. 這樣可以“多考想，少考算”，體現“算”與“證”的本質，有助于從知識考查走向能力立意考查. 因此在平時的教學中，我們一方面要規避煩瑣的運算過程，“以圖分析”“以圖助數”，放大“圖”的地位與功能，持續引導學生把握幾何中的“算”不是死算，需要有“運”的過程、“計”的方法;幾何中的“證”是推理，是“尋道”，更是“發現”. 另一方面更要理解識圖、畫圖是幾何教學的關鍵，要堅持引導學生注重習題的“邏輯”“文圖”結構，通過“構圖補形”，化隱性為顯性、化抽象為直觀;要讓學生經歷畫圖分析“關聯的問題”“隱含的條件”的過程，深度體驗圖形的再生長、再發現、再創造的路徑與方法，不斷加強對學生的幾何直觀、邏輯推理及探究轉化能力的培養.

3. 注重“一題多解”，更要“多解歸一”

從題目呈現的思路特點看，解答的方法很多，學生答題時選擇的余地較大，但從“思路歸納”中可看到許多不同的方法的實質都是一樣的. 因此在平時的教學中，我們一方面要注重“一題多解”，引導學生展開多角度、多層面的探究，嘗試從不同角度尋求解題的路徑，打通知識間的聯系，遷移拓展思維空間，以彌補學生知識的空缺，不斷喚醒學生思維的創造，激發探究的興趣;另一方面更要注重“多解歸一”，引導學生進行題后回顧反思，思考不同中的相同，“以不變應萬變”提煉“分離的圖形”“同類的問題”“思路的關鍵”“方法的本質”，揭示問題的深層結構，促進學生積累基本圖形與基本思路，優化思維過程與方法.

解題是一種本領，悟題更是一種能力. 作為一線教師借“題”理法，更要研“題”悟教，不斷調整教學的目標與內容、優化教學的行為與方式，這樣才能加快推進初中數學教學“遵循課標，夯實基礎”“立足教材，擺脫題海”“學為中心，發展學力”等良好生態的形成.