知其然知其所以然知其所以必然

朱錦云

工作將近二十年，一直是大循環教學，總覺得自己對于小學數學知識已然了熟于胸。可讀完郜舒竹先生的《小學數學這樣教》之后，我開始陷入沉思。知其然，更應知其所以然，知其所以必然。這本書講述了許許多多被我們所忽略的“所以然”。正如郜先生所說，“所以然”的知識往往具有歷史性、貫通性、綜合性和人文性，是前人大師長期以來的結晶，是學生難以利用生活經驗通過自主或合作的方式探究出來的，是需要教師通過努力學習和研究并潛移默化地傳輸給學生的。因此，數學教學研究僅限于“如何教”和“如何學”這樣的問題是不夠的，還應重視“教什么”和“學什么”的研究，特別是對“所以然”知識的研究。

一、“所以然”之一：追根溯源，關注本質

知識感悟：追根溯源是一種刨根究底的學習方法，是探索知識的精神。追根溯源應從小學數學起始型概念知識入手，這是小學數學基礎知識的重要組成部分，也是發展學生思維、培養技能的基礎，在小學階段占據重要的地位。作為教師，我們應該弄清楚每一個概念的內涵和外延，以及概念之間的關系，不同的知識采取不一樣的方式，讓學生“知其所以然”。規律性知識，可以讓孩學生經歷自主創造的過程，從而感悟到“知識是因需要而產生的”;規定性知識，則通過接收性方式，讓學生明白這些規定的歷史隨機性和規定的合理性，要領會數學課程中“人為規定”的思想性。

比如加法的結果為什么叫做“和”，為什么不是“合”？乘法中的“乘”究竟是什么意思？除法的結果叫做“商”，為什么？“二分之一”究竟是什么意思？為什么叫做“小數”，小數是很小的數嗎？“正比例”和“反比例”中的正和反是什么意思？“0”為什么不能做除數？為什么“1”既不是質數也是合數？余數為什么要比除數小？郜教授每一個問題的闡述，每一個思想的提出，都是他對于問題本源的追問。

案例解析：曾經聽過本校老師的一節《加法交換律》的課，課堂開始，教師播放動畫，動畫講述了“朝三暮四”這個成語故事。孩子們哄堂大笑，幾乎秒懂，其實桃子的總個數一樣。于是，老師板書“3+4=4+3”，并告知“這就是加法的交換律！”細想一下，這樣的結果還是計算出來的。因為3+4=7，4+3=7，所以，3+4=4+3。即只能說明交換兩個數的次序后，都等于7。

基于《小學數學這樣教》給我的啟示，嘗試將該環節這樣修改：關注“本源”---數數 ，“數，起源于數”。 我們不妨回憶一下，幼兒園時爸爸媽媽是如何教孩子數物體的個數的，就拿 “掰手指”為例，1、2、3、4、5，當5個手指頭數結束時，另一只手從第6個數繼續開始，6、7、8、9、10，這樣就得出有10個手指頭的結論。再后來我們學習加法算式時，求一共有多少個？是不是也是引導孩子先將兩堆物品合并起來，接著數？想想我們何不在“朝三暮四”這個情景后再加上數數的方法來理解呢？先在3個后面接著數4個，就是7個桃;在4個后面接著數3個，也是7個桃。雖然這個過程看似簡單，恰恰從數學的本質上解釋了加法交換率。計算得出3+4=7，4+3=7，數數也同樣可以，這樣添加還可以調動孩子多種感官參與。

當然，后面要學習的《乘法結合律》也可以追溯其本質，用數與算、數與形相結合的方法讓孩子體驗算理的推導過程，合理的“數學”經歷，不僅知道，更知道為什么。數學課程中看似“人為規定”的內容，蘊含著豐富的思想。挖掘這樣的規定性內容， 并融入學生數學學習活動中，能讓學生感受到數學規定的深刻、豐富、博大與深邃……

二、“所以然”之二：深入分析，提高認識

讀書感悟：也許就在某個瞬間，你會推翻自己多年來引以為傲的想法;也許就在某個不經意間，你的思想已經在悄然地生長。在這漫長的“寒假”里，和《小學數學這樣教》為伴的日子里，感覺時時刻刻都在不斷更新、提高自己的認識。

“用運動的眼光看世界”讓我有更多、更深的感觸。在此之前，我知道把線看作“點”運動的軌跡，同樣運動“線”留下的痕跡成為“面”，立體圖形則表現為運動的“面”所留下的痕跡。但從未去深入分析，他們之間還有哪些共性、線段長度、面積大小以及所占空間大小之間的聯系。

看完第七章后，我知道了：半徑為r的圓，圓內部畫出許多同心圓。最外圍的大圓周長是2πr。想象將圓面從某處剪開，然后逐步展開并拉直，當所有同心圓的圓周都拉直后，就會形成一個三角形。

這個三角形的底邊長度就是大圓周長2πr，高就是大圓底面上的半徑r，利用三角形面積公式：底×高÷2，得到面積2πr×r÷2=πr2，恰好與圓面積公式一致。

我還知道了：矩形和平行四邊形面積都可以看成，通過平移運動在某個方向離開軌跡的直線度留下的軌跡，其面積都是運動線段的長度與運動距離的乘積。

梯形和三角形可以看作長度均勻變化的線段沿著一個確定方向平移運動留下的軌跡，其面積等于運動線段起始位置的長度與終止位置的平均值與移動距離的乘積。

“線動成面”，其面積公式可以認為是“線的長度”與“運動距離”的乘積。那么，“面動成體”體積公式可以認為是“面的大小”與“運動距離”的乘積。很顯然，長方體、正方體、圓柱體的體積公式都可以解釋。可是，圓錐體積公式又為何是等底等高圓柱體積的三分之一？原來，有時候直觀與經驗是不可靠的。就如相對論，牛頓的經典物理學在速度不快的地方很適用，但當速度特別快的更廣大的宇宙空間，有的公式就不適用。經歷這些過程，可能就是課標所提出的讓孩子積累基本活動經驗，感悟基本數學思想的意思吧。總之，我不僅懂得了微積分的“積分種值定理”，還知道了“旋轉體的體積的大小由旋轉面的面積和旋轉面重心到旋轉軸的距離這兩個因素決定。”……

疫情結束之后，我們六年級的新課教學也已經結束。那么，復習期間我是不是就可以抓住最初的本源這根線頭，帶領孩子們一起去討論、探究知識之間的聯系和區別。也許我們所要做的不是去逐個擊破，而只要拎緊主線，把孩子放出去，自己找尋、補充知識結構。當他找不到方向的時候，回過頭來，發現老師一直在那個源頭處等他們，給他們適當的提醒和補充，重新出發，這也許是比較理想的境界。但是我覺得可以。在學習《圓的面積計算》時，我是不是可以將它與三角形的聯系圖出示，帶給他們與我一樣的思維和視覺沖擊？

不管怎樣，我開始反思自己的課堂，反思之前的經驗教學的可取與摒棄之處。于是，一種與時下相契合的理念——以學定教、因學施教、變教為學、順學而導的思想火花掠過我的心頭。我們需要轉變備課方式、研究方式、教學方式……

三、“所以然”之三：改變課堂，變教為學

讀書感悟：當下的課堂，教師追求現有知識的掌握，不大追求讓孩子經歷知識的發生、發展的過程。教學缺乏一定的“文化性”。只是讓孩子接受數學這份“冰冷的美麗”，喪失了知識產生時那“火熱的思考”階段。教學應該讓孩子重溫人類歷史發生發展的重要階段。因為，人類個體的成長其實在一定程度上反映與重復著人類種族的文明進化過程。

案例解析：六年級下冊《解決問題的策略》第二課中，用假設法解決“雞兔同籠”。疫情期間，線上教學進行了幾周，孩子們的學習勁頭開始懈怠。而這部分知識又是教學難點。于是，我們六年級組的老師就做了這樣的嘗試，把課堂還給學生，把思維和創造還給學生，采取先預習、探究的形式來學習。下面是孩子們自己研究的成果：

通過孩子們自學的成果，我們不難發現：不同層次的學生應該有不同的解決方法，假設法、砍足法、列舉法等。接下去，我們采取每個同學選擇一種解決方法，在微信群中講解。最后，再次去觀看視頻，豐富補充學生的認知。

改變課堂，變教為學。讓課堂的精彩真正屬于學生的精彩，課堂的收獲應該是學生有所收獲。作為教師，我們應該給孩子留有獨立思考的空間，讓他們在數學思考中體驗到學習數學的快樂，給予孩子充分交流的時間，讓他們在交流中變得思維靈活、有深度。

是的，小學數學應該這樣教。老師不僅“知其然”，還懂得無限廣闊的“所以然”;眼里不僅有知識，心里更應該裝著每一位學生走進課堂。課堂氛圍應該是自由、自然、自主的。在這里，我們應該和孩子一起去感受層層剝繭的新奇與新鮮，體會柳暗花明又一村的驚喜，更應該感知數學錯綜復雜的關系下又如此的“殊途同歸”……

如果說，上課是一次旅程，那么讓我們匆忙的腳步放慢一點，慢一點，讓每個邂逅都那么自然，那么徹底。美學家朱光潛先生說：“慢慢走，欣賞啊！”數學教學，就是要讓每個學生都知其然，更知其所以然，知其所以必然。在“知然”的過程中，觸摸數學學習最美麗的風景！