讓小學數學課堂綻放理性光芒

【摘要】本文以《分數除以分數》為例，呈現了小學數學理性課堂追求的課例實踐研究，以深入分析學情為實踐研究的起點，通過積淀和碰撞堅定實踐研究的方向，在研究的過程中充分考慮小學生數學理性思維的現狀，通過先后經歷合情推理和演繹推理以實現理性數學課堂的追求，從而培養學生的數學方法和數學思想。

【關鍵詞】小學數學 合情推理 演繹推理 理性課堂

《分數除以分數》是蘇教版數學教材六年級上冊“分數除法”單元的教學內容。分數除法的計算法則是教學的難點，這不是因為學生不會按照法則進行計算，而是因為學生不易得出并理解法則。使法則的形成過程符合小學生的認知特點，是蘇教版數學教材編排的一個亮點。然而，怎樣借助這一編排亮點使小學數學課堂真正綻放出理性的光芒？我課題組以課例《分數除以分數》為抓手，深入研究，實踐思考。

一、分析學情，找準思想的起點

在學習“分數除法”單元前，學生已經學會分數加法、減法和乘法的計算，而學習分數除法后，學生掌握了分數的四則運算。

分別對比人教版教材以及原蘇教版教材內容的結構安排，可以發現，現行蘇教版教材對于分數除法計算的教學安排得非常細致，從分數除以整數，至整數除以分數，最后是分數除以分數，在邏輯上逐步形成包攝性很強的法則。學生通過對例1、例2、例3的學習，已經明確了分數除以整數、整數除以分數均可以轉換成相應的分數乘法進行計算。

例4和“練一練”安排研究分數除以分數。分析、解讀教材，在分數除以整數的研究中，教材利用平均分的意義實現了思維遷移;在學習整數除以分數時，教材利用包含除的概念實現了算法推理;在分數除以分數的研究中，教材意圖利用數形結合的方法并借助包含除的意義完成合情推理及直觀驗證，從而讓學生逐步理解轉化是必然的，并將積累的知識經驗進一步歸納、推廣，意圖實現數學思維“理性”的飛躍。

二、積淀碰撞，堅定思想的方向

教材的編排重視推理在分數除法算法研究中的運用，然而，我們認為，只經歷了例4這種相除的特例探究就匆忙進行算法的歸納，明顯是有邏輯漏洞的，部分學生提出了質疑，而這些質疑我們不能視而不見。我們不得不考慮，如何讓學生經歷完整、嚴密的推理探究之旅，從而讓學生對算法確認無疑，呈現數學理性思維的嚴謹。

基于以上對教材的解讀，我們調查了學生的思維水平現狀，并充分考慮銜接第三學段數學學習的需求，重新審視了本課例。雖然本課例從課型上可類歸為計算課，但是小學階段學習數的運算，不僅是正確計算的需要和解決實際問題的需要，也是學生進一步學習和發展的需要。由于六年級學生已經具備了一定的思維和探究能力，為了讓計算法則的教學不是被動接受，而是主動建構的過程，課堂教學中不僅要重視合情推理在研究算法中的作用，更要借助演繹推理實現學生嚴謹思維的生成，從而讓數學理性的思維火花真正迸發。

在人們認識世界的過程中，合情推理和演繹推理分別扮演著重要角色，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程，而數學研究思路的發現主要靠合情推理。

三、經歷“合情推理”，體悟合理

合情推理是指“合乎情理”的推理，歸納和類比是常用的合情推理，它們都是根據已有的事實，經過觀察、猜想、比較、聯想，再進行歸納、類比，從而提出猜想。在數學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能為我們提供思路和方向，合情推理顯然貼近小學生的思維現狀，利于為思維的深入搭建溝通的橋梁。

探究活動一：同分母分數相除

1.教學例題

（1）出示例題。

（2）提出猜想。

談話組織探究活動。

（3）自主驗證。

（4）展示交流。

組織交流，預設：

A.數形結合。（板貼色塊展示）

B.轉化成以毫升為單位計算。

C.轉化成小數計算。

D.利用商不變的規律轉化成整數計算。

E.假設驗證。

談話小結。（相機板書）

探究[910]÷[310]的算法，理解其算理是本環節教學的核心，教材編排從提出合理猜想起步。因為合情推理是“發現真理”的思維，它是形象思維最直接的層面，只要建立在合理的問題情境之上，猜想并不用“教”，它是順其自然而生的思維，學生根據先前的學習經驗，水到渠成地提出了對算法的合理猜想。本課例的教學實踐中，預設了數形結合、轉化思想和假設驗證三個層次的驗證方法，結合學生的學情相機出示。其中，數形結合的驗證方法清晰呈現了算理;轉化的驗證方法實現了數學思想方法的滲透;假設驗證法是教師在學生“驗算”經驗的層面上適當提升所得，這一假設推理整理、疏導已有的相關經驗和思路，這一理性的“感悟”為后續探究奠定了理性思維的基石。

2.舉例驗證

（1）談話組織研究。

明確：大量舉例。

組織探究。

（2）學生自主驗證，教師巡視。

（3）展示交流，分層出示。

預設：

A.一般情況：[45]÷[25]=? 。

B.特殊情況，如：[67]÷[57]=? 。追問：為什么不轉化成小數來驗證？

C.特殊情況，如[49]÷[89]=? 。

（4）小組交流，追問：你們舉的例子中有反例嗎？

3.歸納結論

談話回顧。（相機板貼：猜想，驗證，歸納）

本環節的探究主要組織學生經歷合情推理中的不完全歸納。由于學生已經有一定的探究經驗，所以會想到用舉例驗證的方法進行研究，但學生容易先入為主，所舉的例子太過單一，使得探究的有效性大大降低，故通過提問設疑來組織教學探究活動，讓學生充分暴露認知的局限性，在交流中形成有效舉例探究的共識，同時通過“反例意識”來組織學生完結這一階段的不完全歸納的探究之旅。學生在所經歷的“非形式”思維過程中，反思與質疑、思維與表達等能力均得到了提升，從而為逐步抽象形成理性思維架起了溝通的橋梁。

四、經歷“演繹推理”，呈現嚴謹

演繹推理也稱為邏輯推理，是從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。第三學段的數學學習中，“演繹推理”是用于數學證明和研究的主要手段，但是小學生的抽象能力尚有限，過于理性的學術抽象顯然會讓學生在斷層的思維中迷失方向，如何能真正“演繹”出數學理性的嚴謹呢？

探究活動二：異分母分數相除（練一練）

1.談話設疑

預設：

A.舉例驗證。

B.轉化成同分母。

出示“練一練”，談話組織研究。

2.展示交流

（1）轉化成同分母計算;數形結合明確算理。（相機板貼）

（2）直接乘倒數計算。

3.觀察比較，溝通聯系

追問：用第二種方法只驗證了這一個例子，還需要更多的例子進行驗證嗎？

小結。（相機板書）

本環節的教學主要組織學生經歷演繹推理的探究學習過程。由于學生的思維層次不同，再加上先前同分母分數相除的研究，針對“異分母分數相除”的研究，學生水到渠成地形成了兩種探究的思路，這完全是學生思維能力原生態的呈現，理性的思維花火在以上兩個層次的交流和推進中得以進一步迸發。然而，在這里確定思路并非難處，教學中促進理性思維提升的關鍵點在巧妙的追問：“利用這種方法進行研究的學生，是不是遇到異分母分數相除都要化成同分母分數相除來計算呢？”教師設疑引導學生主動觀察，讓學生在觀察中實現自我認知的突破。通過本環節的探究學習，學生的思想從合情推理的“合理”體驗逐漸上升為領略演繹推理的“嚴謹”魅力，那一層層推波助瀾式的表達交流讓數學理性抽象的線索逐漸清晰。教學中摒棄了字母抽象的形式，而是圍繞[35]÷[310]這一特例展開探究，但這絕不是摒棄簡潔、概括、輻射面廣的優點。太過抽象的純教條化學術抽象完全脫離了小學生需求的“理性”，這種為了理性而理性的做法并非小學數學課堂中理性教學的追求初衷。

小學階段的技能教學既要教“術”，也要教“理”，同時更要突出對基本數學思想的感悟和數學方法的積累。研究課例《分數除以分數》，不僅幫助學生完整地統攝了分數除法計算乃至除法計算的算法，同時促使教師進一步思考和實踐計算教學的力量。教師應意識到培養學生的數學方法和數學思想之于數學教學的意義，而這樣的數學課堂才是真正“理性”的課堂，長此以往方能真正促進學生數學學科核心素養的發展，讓小學數學課堂綻放理性思維的魅力火花。

作者簡介：姚翕蔚（1985— ），女，江蘇無錫人，大學本科學歷，一級教師，研究方向：小學數學教學。

（責編 雷 靖）