芻議小學階段面積模型建立和長方形、正方形面積的計算

劉廣偉

【摘要】面積問題在小學階段是一個重點也是一個難點，本文針對小學階段學生第一次遇到面積問題時，如何對面積模型的建構進行闡述，同時借助建構的面積模型抽象出長方形和正方形的面積公式，對長方形和正方形的面積進行計算。

【關鍵詞】小學;面積;長方形;正方形;計算公式

一、面積模型的建立

《面積》的教學內容是在人教版小學數學三年級下冊第六單元，該單元的教學內容有：面積和面積單位、長方形、正方形面積的計算，面積單位間的進率。面積的概念是該單元的一個重要起始概念。對于面積的認識是一個漸進的過程，什么是面積，處于不同學習階段的學生有不同的回答。學生在日常生活中已經獲得了對面積概念的直覺經驗，在教學中要引導學生把這種感性的、模糊的認識“數學化”。另外，三年級的學生已經建立了長度及長度單位的概念，但是由“長度”概念到“面積”概念，由“長度單位”到“面積單位”知識跨度大，難度高，抽象性也比較強。在教學過程中，要建立正確的面積概念，就必須引導學生認識周長和面積的區別。

這節課的學習是學生第一次接觸“面積”這個概念。為了讓學生直觀認識面積的含義，教材安排了兩個活動：例1是結合具體實例，說說“黑板表明的大小就是黑板面的面積”等，初步感知面積的含義是“物體的表面或圍成的平面圖形的大小”。在此基礎上，學生尋找身邊的例子，積累了感性的認識。例2是借助圓形、三角形、正方形比較兩個圖形面積的大小，體驗比較面積大小策略的多樣性，并讓學生初步感知用正方形作為面積單位最為適合。為后面建立用1平方厘米的正方形作為一個單位，來測量面積的初步模型。（這里特別說明是測量較小的面積才用1平方厘米，面積大的也相對會有比較大的面積單位）

首先出示兩組線段圖比較長短，小結：比較長度長短可以用觀察法、重疊法、測量法。接著出示兩片形狀相同，大小不同的葉子，看看它們有什么區別？讓學生理解，長度是有長短之分的，葉子表面是有大小之分的。學生通過找一找、摸一摸身邊物體的表面感知表面的大小就是物體表面的面積。通過說一說，物體（課桌）表面的大小，就是物體（課桌）表面的面積，深化對面積的認識。之后通過下面兩個活動鞏固面積的概念。

1.將課本封面豎放、再傾斜著放，比較面積大小，懂得面積的大小是與位置沒有關系的。

2.比較課本封面與側面面積大小，誰的面積大，直觀體現表面大的物體，面積就大。

有了比較清晰的概念就要掌握比較面積的大小方法： 教師從一個長方體中抽出兩個面（如下圖）讓學生比較，哪一個面的面積大？你是怎么判斷的？可能學生會想到把兩個圖形重疊之后再比較，但是想完全使他們重疊，會破壞原來的圖形，如果不破壞的情況下可以怎么比較。（教師引導：尺子是用來量長度的，不能直接測量面積）

類比以前我們需要測量物體長度時，在沒有尺子的情況下，我們可以用“一扎”“一臂”“一步”等身體尺來做單位間接測量，那么我們測量面積，可以用什么呢？引導面積是指表面的大小，我們身上也有一些是有表面大小的，比如，一個指甲蓋的大小，一個手掌的大小等等，打開學生的思路，看看給出兩個圖形能否間接借助第三樣東西來比較大小呢？這個時候大部分學生都會利用身體上的東西或者是自己的身邊的一些東西，間接比較大小。

可是大部分學生找到的工具都是不規則圖形比較多，可以引導學生想要更好的測量出圖形的大小應該選擇更加方便規則的圖形來做為工具測量一下，這里有正方形、圓、三角形，三種測量工具，同桌合作選擇一種來測量這兩個圖形的大小，結果如下：

通過對比發現如果用的是（1）（2）的方法并不能很好的鋪滿兩個長方形，而（3）的方法恰好鋪滿，也就是說第一個長方形面積是10個小正方形的大小，第二個長方形面積是12個小正方形的大小，所以知道是第二個圖形面積比較大。所以利用小正方形來測量面積的大小是我們常用的方法。觀察下面的圖形比較面積大小。

到這里學生建立了用小正方形來測量和比較面積的大小的數學模型，可能會產生兩個疑問：

疑問1：有些不規則的圖形比如樹葉（帶有曲線的圖形）這樣的，小正方形也不能鋪滿時應該怎么辦？這個疑問是比較深層次的思考，因為解決這樣的問題需要用到極限的思想，我們到了高中也只是學會求一些簡單的不規則圖形的面積（帶有曲線的圖形），通過求導后積分來算面積。到了微積分的極限思考我們才能明白其中的道理。這里對于三年級的學生來說沒有涉及到可留到六年級圓的面積那一章節來分析，或者是作為課后的實踐作業完成。

疑問2：課堂上我們的小正方形都是一樣大的嗎？如果不一樣大的怎么辦呢？

學生的這個疑問會在下一節課得到完美的解答，就是面積單位的問題，人們為了解決上面的問題統一了面積單位。把邊長是1厘米的正方形的面積稱為1平方厘米，所以以后我們就可以統一用邊長是1厘米的正方形來測量物體的面積。上面面積有10個小正方形的長方形的面積就是10平方厘米。通過畫一畫我們知道1平方分米的正方形就是100個1平方厘米的小正方形拼成的，可以看成是每排10個邊長是1厘米的正方形，10排這樣的小正方形，所以1平方分米的正方形就是邊長是10厘米也就是1分米的正方形，所以我們用來測量稍微大一點的面積時也可以用1平方分米做單位，比如書桌的表面，書本的表面等等。同理也有1平方米，1平方米=100平方分米=10000平方厘米，一般比較大的面積都會用到平方米做單位，比如黑板大小、教室面積、操場的占地面積等。

二、長方形、正方形的面積計算

建立了面積的模型，學生應很想知道生活中各種圖案的面積有多大。接下來研究兩個最基本的圖形長方形和正方形的面積大小。前面已經學過長方形有長和寬，并且長和寬是能通過尺子測量出來的。而我們對于面積的測量方法現在只有一個就是通過面積是1平方厘米的小正方形鋪滿來測量。在這里我們就先利用邊長是1厘米的正方形來鋪一鋪，看看長是3厘米，寬是5厘米的長方形面積有多大。

觀察上面長是5厘米寬是3厘米的長方形圖中，一共有15個1平方厘米的小正方形，也就是上面的長方形的面積是15平方厘米。學生會聯系到在方陣中每排5個正方形，3排的話就是一共15個正方形，列式就是5×3=15（個），看樣子只要知道每排有幾個小正方形，一共有多少排？我們就可以知道長方形里面到底有幾個邊長是1厘米的正方形，也就知道這個長方形的面積了。那么學生就要理解為什么上面的長方形中每排是5個，一共有3排？其實這個問題主要起到提醒的作用，提醒學生長方形的長是5厘米，5厘米里面有5個1厘米，所以長就可以放5個邊長是1厘米的正方形。長方形的寬是3厘米，3厘米里面有3個1厘米，所以豎著可以放下3排。對應的轉化公式如下：

通過轉化公式可以知道原來“長方形的面積=長×寬”。

再利用小正方形拼成長方形把長、寬和面積記錄在下面的表格里面，看看其他長方形是不是也有同樣的計算方法，總結出長方形的面積計算公式具有普遍性。（這里特別拼一個長和寬都是3的長方形）

當長和寬相等的時候長方形就變成了正方形，因為正方形的長和寬是一樣的，所以把正方形就不需要區分長和寬，我們把正方形的“長”和“寬”都稱為“邊長”。可以得到下面的關系

通過以上的關系我們知道：“求長方形和正方形的面積”轉化為“求一共有幾個小正方形”。在面積模型的建立過程中小正方形就是面積的一個度量單位，一個圖形有“幾個小正方形”就有“幾平方厘米、幾平方分米或者幾平方米”。從而我們也順其自然地得到了長方形和正方形的面積公式就是：長方形面積=長×寬;正方形面積=邊長×邊長。利用得到的面積公式我們再求解長方形和正方形面積的時候就可以轉變成我們生活中可以用尺子測量的量：“長”“寬”或者是“邊長”來計算面積，所以面積并不能直接測量出來，而是算出來的。

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