多題一解，培養(yǎng)核心素養(yǎng)
———品高考真題，悟點(diǎn)差法之道

浙江省麗水中學(xué) (323000) 周杰華

坐標(biāo)法是求解解析幾何的基本方法，設(shè)而不求是解析幾何的基本思想.而在求解過(guò)程中設(shè)點(diǎn)容易消點(diǎn)難，而運(yùn)用“點(diǎn)差法”求解能優(yōu)化解題步驟，簡(jiǎn)化運(yùn)算，從而省時(shí)省力.本文以近幾年浙江的高考題解析幾何為例，探究“點(diǎn)差法”思想的運(yùn)用.

一、點(diǎn)差法基本模型

式(3)即建立了二次曲線(xiàn)弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系，可以大大減少運(yùn)算量.我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.

圖1

二、高考真題賞析

1.中點(diǎn)弦問(wèn)題

圖2

例1 (2018年浙江21)如圖2，已知點(diǎn)是P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線(xiàn)C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿(mǎn)足PA,PB的中點(diǎn)均在C上．

(Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明PM垂直于y軸；

2.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

(2)略

(2)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需滿(mǎn)足點(diǎn)M在橢圓內(nèi).

3.巧妙構(gòu)造弦中點(diǎn)問(wèn)題

(Ⅰ)求直線(xiàn)y=kx+1被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)(用a、k表示)；

(Ⅱ)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

性質(zhì)1 若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A,B,與其漸近線(xiàn)交于C,D,那么M必是線(xiàn)段AB和線(xiàn)段CD的共同中點(diǎn),從而可得|AC|=|BD|.

性質(zhì)2 若直線(xiàn)l與共漸近線(xiàn)的兩個(gè)雙曲線(xiàn)順次交于A,B,C,D,那么M必是線(xiàn)段AD和線(xiàn)段BC的共同中點(diǎn),且|AB|=|CD|.

4.退化的弦中點(diǎn)問(wèn)題

三、反思

圓錐曲線(xiàn)中點(diǎn)弦問(wèn)題在浙江高考中頻繁出現(xiàn)，應(yīng)用點(diǎn)差法與上述結(jié)論，在解題時(shí)避免了復(fù)雜的計(jì)算，學(xué)生容易掌握達(dá)到事半功倍的效果.教師這樣，從“點(diǎn)差法”的角度對(duì)歷年高考真題“二次創(chuàng)業(yè)”，把問(wèn)題串起來(lái)，學(xué)生不但有新鮮感，而且還培養(yǎng)了學(xué)生多角度考查組織問(wèn)題，分析問(wèn)題的技能，在無(wú)形中提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).