利用蝴蝶定理求一道高考題的最大值點*

安康學院數學與統計學院 (725000) 趙臨龍

命題[1](2009年全國高考卷(Ⅰ)理科21題) 如圖1,已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個點．

圖1

(1)求r的取值范圍；

(2)當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標．

解法：本題一般都是由拋物線E方程與圓M方程構造一元二次方程x2-7x+16-r2=0(1).

則拋物線E與圓M交于A、B、C、D四個點的充要條件是

在命題中，由于拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)都是關于x軸的對稱圖形，因此兩二次曲線形成的四邊形ABCD也為關于x軸對稱的等腰梯形．即可以利用等腰梯形的面積公式求，直接求四邊形ABCD的面積.

本解法利于平均不等式，直接給出解答，不同于評分標準利用導數給出解法.[1]

現在，求對角線AC、BD的交點P(x,0)的坐標，成為決定此問題的重點．對此問題作以討論.

由于此問題的“蝴蝶定理”的結果形式，我們完全可以用蝴蝶定理求交點P的坐標.

圖2

1.關于圓求最大值點坐標

如圖1，對于圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)，設圓M與x軸的交點坐標為E(4+r,0),F(4-r,0)，則由蝴蝶定理推廣形式(4)，得到點P(x,0)的關系：

2.關于拋物線求最大值點坐標

如圖1，對于拋物線E:y2=x，設拋物線E與x軸的交點坐標為E(∞,0),F(0,0)，則由蝴蝶定理推廣的推論1形式(5)，得到點P(x,0)的關系：

3.關于梯形求最大值點坐標

4.關于梯形再求最大值點坐標

于是，得到點P(x,0)的關系

對于梯形相關性質的其他解法，有興趣的讀者可以取探求.