圓錐曲線一個定值問題的深度探究

安徽省合肥市第一中學 (230601) 孔祥士

1.試題呈現

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)若CD與x軸垂直，A,B是橢圓Γ上位于直線CD兩側的動點，且滿足∠ACD=∠BCD,試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.

本題是以橢圓為背景命制的定值問題．本題綜合了直線、橢圓、面積、韋達定理等知識，綜合考查了轉化與劃歸思想，函數方程思想，運算能力及邏輯推理能力．

2.解法探究

分析:(1)略；

思路二：直接設出直線AB的方程y=kx+m，與橢圓方程聯立方程組可得關于點A(x1,y1)，B(x2,y2)橫坐標或縱坐標的一元二次方程，又由kAC=-kBC，借助韋達定理可得k,m的方程，進而求出k為定值．

3.拓展引申

思考2 若點C為拋物線通經的一個端點，直線AB的斜率是否也始終為拋物線的離心率呢？

定理2 若CD為拋物線y2=2px(p>0)的通經，A,B為拋物線上位于直線CD左右兩側的動點，且∠ACD=∠BCD，則|kAB|=e.

思考3 若點C為雙曲線通徑的一個端點，直線AB的斜率是否也始終為雙曲線的離心率呢？

證明過程同上，此處不再累述．

至此可以得到圓錐曲線的一個統一性質.

定理4 若CD為焦點在x軸上的圓錐曲線的通徑，A,B為圓錐曲線上位于直線CD兩側的動點，且∠ACD=∠BCD，則|kAB|=e.

思考4 對于焦點在y軸上的原圓錐曲線，上述結論還成立嗎？

通過推理，可得如下結論.

思考5 若CD不是橢圓的通經，而是橢圓的一條垂直于對稱軸的弦，那么直線AB的斜率還是橢圓的離心率嗎？如果不是，那么它還是定值嗎？

思考6 若CD是橢圓的一條垂直于對稱軸的弦，那么直線AB的斜率依然是定值,那么圓，拋物線，雙曲線是否也有類似的結論呢？

由于圓可看做橢圓的退化情形，所以在定理4中，令a=b=r>0，結論仍然成立.

證明過程同上，此處不再累述．

對于圓，橢圓，雙曲線有心圓錐曲線，我們得到一個統一結論.

注：若曲線為圓時，對稱軸只取坐標軸，即CD是圓的一條垂直于坐標軸的弦.

4.教研感悟

通過對一個橢圓定值問題的深度探究，從特殊到一般，首先對定值做了一般化探索，由橢圓聯想探究出拋物線，雙曲線也有相同的定值結論.再由焦點在x軸上拓展到焦點在y上的圓錐曲線也有類似的定值結論.然后由通徑端點，進一步一般化探索對于一般的垂直于對稱軸的弦的端點，結果仍然為定值,最終得出有關圓錐曲線定值的一個統一性質.

由問題的表象到問題的本質，通過對問題一般化的深度探究，使我們看到問題的本源，在教師命制圓錐曲線定值問題時，可以再將問題做特殊化出來，由問題的本源命制試題，從而提升命制試題的效率和原創性.