關(guān)于一道浙江高考題的解題策略

浙江省玉環(huán)中學(xué) (317600) 李林靜

“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿和記憶”，這是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出的一點(diǎn)，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流則是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生積極參與到探索性和創(chuàng)造性學(xué)習(xí)中去，也是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求.以“問題、探究、交流、反思、提升”為主線的“自主合作探究”的課堂教學(xué)，充分體現(xiàn)了“在實(shí)踐中探索，在探索中反思，在反思中提升”的教學(xué)理念.利用問題串引導(dǎo)學(xué)生自主參與探究，激發(fā)學(xué)生的好奇心，在探究過程中注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)和能力的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極將知識融為自己的知識體系.尤其在新高考改革中，“把課堂還給學(xué)生”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)顯得尤為重要.下面以2016年浙江理科高考題為例，針對直線與圓錐曲線位置關(guān)系的一類問題進(jìn)行分析、探索、類比，引導(dǎo)學(xué)生更為準(zhǔn)確地理解題目本質(zhì)，把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，對知識進(jìn)行整合，有利于建構(gòu)成一體化的知識體系，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖1

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示)；

(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

針對第(2)問，提出問題2:剛才是針對直線與曲線位置關(guān)系，可以通過代數(shù)法來求解；那么曲線與曲線位置關(guān)系又該如何判斷呢？

學(xué)生：類比直線與曲線位置關(guān)系，可知利用代數(shù)法判斷判別式Δ與0的關(guān)系.

評注:當(dāng)聯(lián)立得到關(guān)于y的一元二次方程，即根的分布問題時，在限定范圍內(nèi)求解的個數(shù)問題是重點(diǎn)、也是難點(diǎn)，要給學(xué)生一定的思考時間，讓其進(jìn)行探索、交流，讓學(xué)生充分明白原因所在，此時數(shù)形結(jié)合思想(二次函數(shù)圖像及橢圓圖像)尤為重要；其次，有學(xué)生對方程中參數(shù)r產(chǎn)生疑問.這里是個難點(diǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生對r2在f(y)中的作用進(jìn)行分析，不妨對r進(jìn)行舉例分析，如：r=1,r=2,r=3...此時f(y)會產(chǎn)生何變化？問題迎刃而解.

方法一是借助問題串的方式，引導(dǎo)學(xué)生由第(1)問的直線與曲線關(guān)系，類比得出曲線與曲線位置關(guān)系的處理方法.這里聯(lián)立及分析解的個數(shù)學(xué)生容易想到，但對于借助r作用分析卻難想到. 為此提示學(xué)生正面入手比較困難時要正難則反，為此得出以下方法二.

教師:由方法一知f(y)=0在(-1,1)上至多有1個根，反面是什么？

評注：此方法在法一的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，正難則反.上述兩種方法均是從數(shù)的角度出發(fā)思考問題，那么如果從形的角度出發(fā)，是否可以處理呢？

借助幾何畫板，給同學(xué)們更加形象的觀察以下問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲.

教師:利用“動態(tài)圓”分析交點(diǎn)情況，從形的角度可以得出結(jié)論：在圓半徑變化過程中圓與橢圓會有兩個交點(diǎn)，當(dāng)半徑繼續(xù)變大，那么橢圓會最先“碰到”橢圓上哪個點(diǎn)？

師生交流:若先碰到下頂點(diǎn)A1，則橢圓與圓會有三個交點(diǎn)，取r比|AA1|=2稍微大一點(diǎn)點(diǎn)(設(shè)A1為下頂點(diǎn))，則會出現(xiàn)四個交點(diǎn)，為此發(fā)現(xiàn)不能先碰到下頂點(diǎn)A1，而要最后碰到.即對橢圓上任意一點(diǎn)P均有|AP|≤|AA1|=2，即|AP|max=2，轉(zhuǎn)化為弦長的最值問題.

圖2

評注：二次函數(shù)圖像在y由1→-1的變化過程中，|AP|2單調(diào)，此時橢圓與圓的相交弦中不會出現(xiàn)弦長相等的地方(即右圖2|AP|=|AQ|情況)，由對稱性不會出現(xiàn)4個交點(diǎn)；否則，|AP|max>2，最值不在y=-1處取到，而在(-1,1)內(nèi)取到，則在y由1→-1的變化過程中，弦長|AP|先變大后變小，在此過程中會出現(xiàn)兩條弦長相等的地方，由對稱性會出現(xiàn)4個交點(diǎn).

教師:以上從“數(shù)”、“形”兩方面出發(fā)進(jìn)行了分析，接下來不妨換個角度思考在函數(shù)中關(guān)于“至多至少”問題會如何處理？從剛才幾何畫板的動態(tài)圖發(fā)現(xiàn)，會出現(xiàn)0、1、2、3、4個交點(diǎn)，即最多4個，所以我們不妨正難則反，反面入手.

方法四:假設(shè)此圓與橢圓至少有4個公共點(diǎn)，由對稱性在x軸左側(cè)必存在兩點(diǎn)P,Q，使得|AP|=|AQ|，且kAP=kAQ均存在，不妨設(shè)為k1,k2，且k1≠k2,k1>0,k2>0.

評注：此方法是該題的標(biāo)準(zhǔn)答案，借助第(1)問的弦長反面求解，但將帶來三個未知數(shù)，不能不說是一個運(yùn)算量的大挑戰(zhàn)，且在后面轉(zhuǎn)化為有解問題時，學(xué)生難以想到.

教師:由方法四分析知，我們再來看弦長|AP|,|AQ|的本質(zhì)是什么？

學(xué)生：兩點(diǎn)間距離公式.

思路一：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),y1≠y2.

∵|AP|2=|AQ|2.∴(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2-2)(形式類似點(diǎn)差法).

教師:思路一中我們用到了點(diǎn)差法，發(fā)現(xiàn)線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)是個定值，請問點(diǎn)差法一般用來解決什么類型的問題？

學(xué)生：中點(diǎn)弦問題.

評注：此方法轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦問題求解，體會設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，比較常規(guī)，學(xué)生易于理解.

教師:由點(diǎn)差法的相關(guān)結(jié)論，同學(xué)們又可得出下面思路.

評注：上述三種思路均涉及了解析幾何中的定值問題及中點(diǎn)弦問題，常伴有大量運(yùn)算，于是方法的選擇變得更加重要.如思路三中利用點(diǎn)差法得出的相關(guān)結(jié)論對方法選擇及簡化運(yùn)算起到了舉足輕重的作用.可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決圓錐曲線問題并不意味著計算量一定很大，方法并不唯一；另外對相關(guān)知識點(diǎn)也進(jìn)行了回顧，整合，更有利于學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)及綜合應(yīng)用.

教師:對于弦長相等問題，不妨再換位思考，我們知道圓的參數(shù)方程，由圓類比橢圓，可以得到橢圓的參數(shù)方程，為此得出以下方法.

評注：利用類比思想，得出橢圓參數(shù)方程，此法對學(xué)生水平要求較高.

提升:由以上思路一到三發(fā)現(xiàn)一個共性問題——定值問題，即相交弦PQ的中點(diǎn)在定直線上，為此引導(dǎo)學(xué)生得出一般性結(jié)論.

結(jié)論3 已知A(0,m)是x軸上一點(diǎn)，拋物線C:y2=2px(p>0)上若存在兩不同的點(diǎn)E,F(E,F不關(guān)于x軸對稱)，使得|AE|=|AF|，則線段EF中點(diǎn)M必在定直線x=m-p上.

結(jié)論3逆命題已知拋物線C:y2=2px(p>0)，若拋物線上存在兩不同的點(diǎn)E,F，使得線段EF中點(diǎn)在定直線x=m(m>0)上，則線段EF中垂線必過定點(diǎn)(p+m,0).

反思再提升:解決完該問題，再次引導(dǎo)學(xué)生對整道題目進(jìn)行審核，尋找兩問間的關(guān)系，產(chǎn)生新的對比，思考對于常規(guī)圓錐曲線兩問間的聯(lián)系，第(2)問一般可以接著第(1)問繼續(xù)求解.那么方法三，是否可以利用第(1)問的結(jié)論來求解呢？

練習(xí)鞏固提高

1.已知拋物線C:y2=2px上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且|MF|=3(其中F是拋物線的焦點(diǎn)).(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)A,B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(4,0)，求弦長|AB|的最大值.