初中物理中“蜻蜓點水”問題分析

王邦成

摘 要：“蜻蜓點水”是常見的自然現象，蜻蜓點水后在平靜的水面上會出現波紋。在初中物理中經常會結合運動學和聲學相關知識進行出題，結合運動學的時候往往要根據蜻蜓點水產生的水波判斷蜻蜓的運動方向以及蜻蜓運動的速度大小與水波擴散的速度大小的關系。這類題目既考察了物理知識又結合了日常生活現象，充分體現了物理來源于生活的特點，但是許多學生看到此類題目都無從下手，不知道如何分析。本文通過幾個例題簡單介紹一下初中物理中“蜻蜓點水”的幾種情況。

關鍵詞：初中物理;蜻蜓點水;速度與物體運動

一、“蜻蜓點水”水波俯視圖匯總

“蜻蜓點水”產生的水波的俯視圖片一般會出現的幾種情況如圖1所示，下面我們來一一進行分析。

二、蜻蜓飛行方向的判斷

根據點水的位置判斷蜻蜓飛行的方向，俯視圖中圓越大說明蜻蜓越先在該圓圓心處點水，圓越小說明蜻蜓越后在該圓圓心處點水（即：蜻蜓剛點水激起的波紋圓周半徑小），所以只要找出俯視圖中各個圓的圓心，蜻蜓的運動方向就是從大圓圓心指向小圓圓心。

三、 蜻蜓飛行速度與水波擴散速度之比

流體的流動速度（v）和聲音在該流體內傳播的速度（c）之比，稱為馬赫數（M），。M數是衡量空氣壓縮性的最重要的參數。定義為物體速度與音速的比值，即音速的倍數。其中又有細分多種馬赫數，如飛行器在空中飛行使用的飛行馬赫數、氣流速度的氣流馬赫數、復雜流場中某點流速的局部馬赫數等等。可以簡單理解為：馬赫數指的是飛機的飛行速度與當地大氣（一定的高度、溫度和大氣密度）中的音速之比，我們可以廣義地認為是物體在介質中運動的速度與該介質中的波速之比。

圖2中展示的是對應馬赫數（M）小于1、等于1以及大于1的情況。馬赫數大于1時會形成馬赫錐，馬赫錐是同一時刻波前的包絡，三維情形為一圓錐，二維情形即為圖（c）所示。

此外在數學中圓與圓之間有相離（外離、內含）、相切（外切、內切）、相交這幾種位置關系。根據這個數學知識結合圖2可以得出俯視圖中圓的位置關系為內含時M<1;俯視圖中圓的位置關系為內切時M=1;俯視圖中圓的位置關系為外離、外切、相交時M>1。

又根據有：M<1時v1時v>c（即：蜻蜓飛行的速度大于水波擴散的速度）。由此根據俯視圖中圓的位置關系就可以判斷蜻蜓飛行的速度與水波擴散的速度的大小關系。

比如圖1（a）中同心圓，圓的位置關系為內含，所以蜻蜓飛行的速度小于水波擴散的速度;圖1（b）中幾個圓的位置關系為內切，所以蜻蜓飛行的速度等于水波擴散的速度;圖1（c）（d）（e）中幾個圓的位置關系分別為外切相交，所以蜻蜓飛行的速度大于水波擴散的速度。

四、“蜻蜓點水”問題典例分析

典例1（2010年第二十四屆上海市初中物理初賽試卷第25題）：“蜻蜓點水”是常見的自然現象，蜻蜓點水后在平靜的水面上會出現波紋。某同學在研究蜻蜓運動的過程中獲得了一張蜻蜓點水的俯視照片，照片反映了蜻蜓連續三次點水后某瞬間的水面波紋。如果蜻蜒飛行的速度恰好與水波的傳播速度相等，不考慮蜻蜓每次點水所用的時間，在圖3中的四幅圖中，與照片相吻合的是（）

解析：首先根據數學知識有A中幾個圓的位置關系為內切，B中幾個圓的位置關系為相交，C中幾個圓的位置關系為內含，D中幾個圓的位置關系為外切。所以它們對應的馬赫數（M）分別為等于1、大于1、小于1、大于1。關于蜻蜓點水考察的是波源移動時波的傳播行為，拓展到水波范疇。我們看題中說“如果蜻蜒飛行的速度恰好與水波的傳播速度相等，不考慮蜻蜓每次點水所用的時間”所以對應的馬赫數M=1，即選項A即屬此類。

典例2（2012全國初中物理競賽預賽）：“蜻蜓點水”是常見的自然現象，某同學在研究蜻蜓運動的過程中，獲得一張圖4所示的蜻蜓點水的俯視圖片。該圖片記錄了在相等時間內蜻蜓連續三次點水過程中激起的波紋，已知水的傳播和蜻蜓的飛行都是勻速運動。根據圖中弦的形狀和分布可知蜻蜓當時是向___________（填“左”或“右”）飛行的，且飛行速度比水波傳播的速度__________（填“快”或“慢”）。

解析：首先找出幾個圓的圓心，由蜻蜓剛點水激起的波紋圓周半徑小，所以蜻蜓飛行的方向是由大圓圓心指向小圓圓心（如圖5所示），即當時蜻蜓是向左飛行。有根據水波俯視圖的圓位置關系為外切，所以M >1，即：蜻蜓飛行速度比水波傳播的速度快。

典例3：“蜻蜓點水”是常見的自然現象，蜻蜓點水后在水面上會激起波紋。某同學在研究蜻蜓運動的過程中獲得一張蜻蜓點水的俯視照片，該照片記錄了蜻蜓連續三次點水過程中激起的波紋，其形狀如圖6所示.由圖可分析出蜻蜓當時是向______（填“右”或“左”）飛行的，且飛行速度比水波傳播的速度______（填“快”或“慢”）。由于圓形波形圖的圓心就是蜻蜓擊水的位置，因此可在圖中測出蜻蜓當時的飛行速度與波速的比值約為______。

解析：根據如圖所示，蜻蜓連續三次點水過程中激起的波紋，則圓圈越小，則時間越短，所以飛行方向則為從大圓到小圓;若蜻蜓飛行的速度和水波的速度相同，那么蜻蜓的每一次點水的時候都會是在上一個水波的邊線上，而第二個水波和第一個水波都在以相同的速度運動，所以每個圓都應該是內切的.然而圖中則說明蜻蜓飛行的速度比水波的速度大，水波傳遞的速度相同，由圖里第一三個圓外切可以知道第三個圓擴散了1的距離之后和第一個圓相切，此時第一和圓已經擴散了4的距離，也就是說第三個圓再最初始的時候第一個圓應該是在3的位置，由因為蜻蜓飛行的時間與水波擴散的時間相等，所以即可得出蜻蜓的飛行速度與水波的速度比為。所以本題答案為：右、快、1.67。

典例4：某同學觀察蜻蜓在貼近平靜的水面直線飛行時，獲得了一張蜻蜓點水的俯視圖片如圖所示，圖片反映了蜻蜓連續三次點水后某瞬間水面波紋的分布情況（每次點水只形成一個波紋），三個波紋剛好在O點內切，蜻蜓每次點水所用的時間忽略不計，分析圖片下列說法中正確的是（）

A.蜻蜓的運動方向是沿x軸向右

B.蜻蜓的運動方向是沿x軸向左

C.蜻蜓飛行的速度大于水波的傳播速度

D.蜻蜓飛行的速度小于水波的傳播速度

解析：根據圓的大小可判斷出蜻蜓飛行方向為從大圓到小圓（即：蜻蜓沿x軸向左飛行）;再根據數學知識可知圖中幾個圓的位置關系為內切，所以它對應的馬赫數（M）等于1，所以蜻蜓飛行的速度等于水波的傳播速度;所以本題應該選B答案。

五、總結

“蜻蜓點水”問題的分析思路：

（1）找所給俯視圖中各個圓的圓心;（2）根據圓的大小判斷蜻蜓飛行的方向;（3）判斷圓心間距離和圓的半徑之和的關系（即圓的位置關系）;（4）根據圓的位置關系判斷出馬赫數（M）是大于、小于還是等于1;（5）根據馬赫數（M）判斷出蜻蜓飛行速度與水波擴散速度的大小。

參考文獻

[1]林群.義務教育教科書數學九年級上冊，人民教育出版社，2014.6

[2]義務教育物理課程標準實驗教科書編寫組編著，義務教育教科書物理八年級全一冊.上海科學技術出版社.2017.7