新課標視域下高中數學教學的再審視

【摘要】新課標提出的“核心素養”和“四基”這兩個課程目標有不同的特點：“四基”具有外顯性、即時性和基礎性，目標達成相對容易；“核心素養”具有內蘊性、長期性和綜合性，目標達成相對困難。基于新課標的課堂教學改革應重視培養學生提出問題的能力，讓學生真正理解數學，實現新課程的育人價值。

【關鍵詞】課程改革；評價改革；四基；四能；核心素養；教學建議

【中圖分類號】G633.6【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）35-0024-06

【作者簡介】劉明，南京師范大學附屬中學（南京，210003）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2018年度普教立項課題“促進成員專業發展的名師工作室建設策略研究”（D/2018/02/91）的研究成果。

2019年高考數學全國Ⅰ卷有一道“維納斯女神像”考題（見例1），在考后迅速成為“網紅”，引起了廣泛關注。

例1（2019年高考全國Ⅰ卷文、理科第4題）

那么，這道題為何能引起廣泛關注呢？2019年高考試題帶給我們怎樣的啟示呢？在新課程方案實施了一年半以后的今天，有必要結合高考評價的變化，再審視我們該如何落實課標、推進教學改革。

一、試題的啟示

2019年6月，筆者參加了由人民教育出版社主辦的“中學數學課程與教材國際論壇”，高中數學課程標準修訂組負責人史寧中教授在論壇上做報告，他對2019年高考數學全國卷的試題表示滿意，同時認為以下幾類問題能夠引發學生更好的思考：一是結論不明；二是條件不全；三是由特殊到一般。這道“網紅”題就屬于“條件不全”———題中所給的條件并非兩個黃金分割比所對應的長度。我們不妨先解剖一下這只“麻雀”———

思路1運用生物學知識，由已有的數據估算身高。

（1）利用腿長進行估算。利用腿長進行估算，首先要知道腿長的概念。腿長是指髂骨（位于腰部下方、腹部兩側的骨）到踝骨最下端的距離。因此，可以用自己身體的相關數據去估算：肚臍到髂骨的距離、踝骨最下端到足底的距離分別約為1cm和3cm，則肚臍到足底的長度大約為109cm，由此估算出身高約為109×（1+0.618）≈176.3cm，得到正確答案B。

這就需要我們數學地思考：是什么原因導致兩種估算的結果出現較大的差異呢？一方面，從生物學的角度看，每一個人喉結至脖子下端的長度存在差異，另外把“頭頂到咽喉的距離”看作“頭頂到喉結的距離”是否準確？另一方面，從數學的角度看，由腿長估算出肚臍至足底的長度（記為a），得到身高約為1.618a；但是，若由頭頂至脖子下端的長度估算出頭頂至咽喉的長度（記為b），得到身高約為2.6182b≈6.854b。可見，前、后兩種估算分別把誤差放大了約1.6倍和6.8倍，故前者精度較高。

思路2利用不等式模型，求實際身高的取值范圍。

設實際身高為x cm。因為頭頂至咽喉的長度小于頭頂至脖子下端的長度，所以若把頭頂至脖子下端的長度當作頭頂至咽喉的長度來計算，得到的值大于x，即x<6.854×26≈178.2；又因為肚臍至足底的長度大于腿長，故x>1.618×105≈169.9。所以x∈（169.9，178.3），故該題應選B。

從上述分析可以看出，該題由于“條件不全”，給考生帶來了解題障礙：有相當一部分學生不知道腿長的概念，無法由腿長去估算，于是用頭頂至脖子下端的長度進行估算，由于未認識到誤差被放大而出現錯誤。

事實上，命題者故意給出與兩個黃金分割比不相吻合的條件，甚至“題意模糊”（難以確定頭頂到咽喉的長度），其目的就是為了引導考生：在由“等量關系”估算身高未果時，聯想到“不等關系”，最終運用“不等式”這一數學模型來解決問題。筆者認為，本題很好地體現了新課標理念：重視學科綜合（涉及了生物學知識），考察學科核心素養（數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等）。

此外，與往年相比，2019年試題應用題數量明顯增多，筆者以為，這是為了落實《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》中提出的“優化考試內容，突出立德樹人導向，重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力。創新試題形式，加強情境設計，注重聯系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題”的育人要求。因此，2019年高考帶給我們的啟示是：研究新課標，改革課堂教學。

二、對2017年版課程標準的再認識

1.課標的權威性增強，內容愈加全面。

為了落實立德樹人的根本任務，2017版課程標準在原來的基礎上做了較大幅度的修訂：在課程目標上，新增了學科核心素養（六大核心素養）的課程目標，認為“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現”；在課程內容上，增設了“數學的建模活動與數學探究活動”作為單獨的教學內容，與“函數”“幾何與代數”和“統計與概率”并列，形成4個教學主題———函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動；在教學建議中，提出了“突出學科核心素養、整體把握教學內容”等要求；在學業評價部分，提出了“注重對學生數學學科核心素養的考查，處理好數學學科核心素養與知識技能的關系”等命題原則。

過去，我們在課程與教學上有“課程標準”，在高考評價上有“高考考試大綱”，盡管課程標準提出了很多新理念，但高考并未作出與之相應的改革，存在題型固化，甚至試卷某一位置考什么內容的試題每年都相對固定的狀況。于是“高考怎么考，老師就怎么教”，導致課程改革的理念只停留在口號上，并未得到真正地落實。這一輪課改吸取了以往的教訓，課程改革與高考改革配套推進。

2.如何真正而又全面地落實課程標準。

2017年版課標提出了“四基”“四能”“六大核心素養”和“三會”等課程目標，厘清它們之間的關系是正確理解、全面落實課標的前提。通過學習課標并結合自己的教學實踐，筆者認為，它們之間存在著如圖1所示的邏輯關系。

第一，“三會”（會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界）從其本質上來看，分別對應著數學抽象、邏輯推理和數學建模這三大核心素養，所以，它是數學教育的終極性目標。

第二，“四基”“四能”和“核心素養”的形成過程是相互依存、彼此促進的，所以，筆者把它們放在以“三會”為圓心的一個圓周上。那么這對我們的教學有什么要求呢？

（1）關注“四能”。“四能”（從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力）需要在數學學習活動中逐步培養，良好的“四能”可以促進“四基”和“核心素養”的形成，故把它放在圓周的最底部。

具體而言，以“四能”為抓手，讓學生開展積極有效的數學活動，并在數學活動中，進一步理解數學的概念、掌握數學技能、形成數學思想方法、積累數學活動經驗，獲得“四基”；發現和提出問題，需要經歷數學抽象的過程；而分析和解決問題，又需要邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等核心素養的參與。因此，以“四能”為抓手，能促進“四基”和“核心素養”的形成。

反過來，良好的“四基”與“核心素養”又能促進學生發展“四能”。學生一旦具備了良好的“四基”，尤其是具備了一定的數學活動經驗，就能將已有的活動經驗，類比、遷移到新的數學學習活動中去，發現并提出有意義的數學問題、分析并解決問題；同樣的，學生具備了良好的“核心素養”，就能夠從社會生活或具體的數學問題中，經歷數學抽象、邏輯推理和數學建模等思維過程，發現并提出數學問題、分析并解決問題，發展“四能”。

因此，在教學中，應積極創設有意義的問題情景（包括讓學生自主地發現并提出問題），以發展學生“四能”為抓手，促進“四基”和“核心素養”的形成。

（2）統籌兼顧，讓“四基”和“核心素養”協調發展。2017年版課標指出：“‘四基是培養學生數學學科核心素養的沃土，是發展學生數學學科核心素養的有效載體，教學中要引導學生理解基礎知識，掌握基本技能，感悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗，促進學生數學學科核心素養的不斷提升。”筆者認為，“四基”與“核心素養”的特點如表1所示：

可見，“四基”具有外顯性的特點，因為對每一節課，我們都會圍繞基礎知識、基本技能、數學思想方法和數學活動經驗開展教學，因而也有即時性的特點；同時它又是發展核心素養的有效載體，所以它是教學的基礎目標———每一節課都要落實相應的“四基”目標，相對易于操作。

“核心素養”具有內蘊性的特點，教學時，在考慮“四基”目標的基礎上，還要結合教學內容，挖掘、確立與教學內容或學習過程相關聯的學科核心素養目標并加以落實，所以“核心素養”的培養是一個長期持續的過程；對于每一節課，比較容易根據教學內容確定“四基”目標，但并不一定能夠同時培養六大核心素養，可能只能培養其中的某一個或某幾個，且同一個核心素養可以依托不同的知識載體呈現，因而它具有綜合性的特點，在教學中較“四基”難操作。

盡管“四基”是培養核心素養的沃土和有效載體，但也應該看到：學生核心素養的提升又能使其更加容易地獲得“四基”。所以，“四基”和“核心素養”的提升是一個相互促進的過程，應當統籌兼顧、協調發展。

三、課堂教學改革之路

1.培養提出問題能力，以“四能”為抓手提升素養。

從目前的教學現狀來看，學生“分析和解決問題的能力”培養得到了重視：在課堂上，教師通常會提出問題，讓學生去分析和解決問題。但是對“發現和提出問題的能力”培養，尚未得到足夠的重視。事實上，提出問題比解決問題更重要，因為提出新的問題，需要創造性和想象力，有利于創新意識的形成。所以，讓學生主動地發現并提出問題，是培養學生“四能”（而非“兩能”）的突破口與關鍵所在。因此，教師應當積極地創造條件，給學生發現問題、提出問題的機會，并在解決問題的過程中，發展“四能”，提升“四基”和核心素養。

當然，學生的“四能”（尤其是“發現和提出問題的能力”），不能任由學生“自然地”生長，還需要教師在平時的教學中，有意識地去鼓勵和培養：結合教學內容，創設恰當的問題情境，幫學生搭建施展“發現問題能力”的舞臺。

【案例1】“對數的概念”教學設計。[1]

某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過1年，該物質剩余的質量是原來的84%。（設該物質最初的質量為1）

問題1你能就此情境提出一個問題嗎？

2.基于經驗豐富經驗，讓學生真正理解數學。

新課標在原有的“三基”（基礎知識、基本技能和基本思想方法）的基礎上，增加了“基本活動經驗”，旨在“使學生參與到那些促進學習的事件和活動中去”[2]，并在數學學習活動的過程中，形成數學活動經驗，發展認知策略。如前所述，“四基”具有外顯性、即時性、基礎性和易操作性的特點，因此，每一節課都應努力讓學生獲得“四基”，為學生“核心素養”的提升奠定好基礎。

從目前的教學現狀來看，原有的“三基”已經得到廣大教師普遍和足夠的重視———在每一節課教學中，教師一般都會結合具體的內容，培養“三基”，但是幫助學生獲得“基本活動經驗”尚未引起足夠的重視。這就需要我們在今后的教學中，積極創設恰當的教學情景，讓學生基于原有的數學活動經驗，開展數學學習活動，并在學習活動的過程中，不斷積累和豐富數學活動經驗。

【案例2】“直線和平面垂直”的概念教學設計。[3]

問題1前面學習了“直線和平面平行”這一位置關系。你覺得，直線和平面除了存在“平行”這一關系外，還存在著其他的位置關系嗎？

問題2你能舉出生活中給我們以直線和平面垂直感覺的實例嗎？

問題3在數學上，僅僅有垂直的感覺是不夠的，我們還要做哪些事？

【設計意圖】從已有的“直線和平面平行”這一位置關系出發，提出“問題1”，讓學生借助已有的研究經驗，類比直線與直線之間的特殊位置關系———平行與垂直，提出直線與平面之間的另一種特殊位置關系的猜想———“直線與平面垂直”，并進一步積累數學活動經驗。

通過問題3促進學生數學活動經驗的形成。一方面，讓學生借助已有的研究經驗，提出研究空間基本元素位置關系的基本架構（定義→判定定理→性質定理）；另一方面，通過該位置關系的研究，在為后續學習“平面與平面平行”“平面與平面垂直”等內容積累數學活動經驗的同時，促使學生從整體上理解數學。

3.突出學科核心素養，實現新課程育人價值。

從目前的教學現狀來看，不少教師對“核心素養”的重視程度遠不及“四基”。應當注意到，在此輪課程改革中，學科核心素養處于最重要、最突出的地位。培育學科核心素養在具體實施上有一定的困難，這就需要我們結合特定教學任務，思考相應數學學科核心素養在教學中的孕育點、生長點，注意數學學科核心素養與具體教學內容的關聯，關注數學學科核心素養目標在教學中的可實現性，研究其融入教學內容和教學過程的具體方式及載體，在此基礎上確定教學目標。由此，我們可以得到在每一節課的教學中培養學生核心素養的操作路徑：

（1）尋找與本節課教學內容關聯的核心素養。包含兩個層面：一是與新的教學內容直接相關的核心素養；二是審視新知識的學習過程，尋找核心素養的孕育點和生長點。（2）確立本節課的核心素養目標。（3）通過恰當的方式（情境創設、問題解決等），實現本節課的核心素養培養目標。

需要說明的是：學科核心素養是在數學學習過程中逐步、緩慢地形成的，絕不會一蹴而就。如果我們在平時的課堂教學中，僅僅圍繞知識與技能來制訂教學目標、設計教學，不去深入細致地挖掘核心素養的培養目標，長此以往，核心素養的培養目標將得不到落實。例如在案例1中，如果我們直接給出對數的概念，再加上題型講解和反復訓練，那么對于這一節課而言，也就喪失了培養學生數學抽象、邏輯推理和數學建模等核心素養的機會。反之，如果我們每一節課都堅持培養學生的學科核心素養，那么學生的核心素養將會得到逐步的提升。

最后，希望廣大同行共同行動起來：在平常的教學中，把學科核心素養的培養當作一項長期目標來抓，堅持不懈、持之以恒地加以落實，全面實現新課程的育人價值。

【參考文獻】

[1]劉明.融入課堂的數學探究資源庫建設研究[J].教育研究與評論：中學教育教學，2017（10）：34-41.

[2]R.M.加涅.教學設計原理（第五版）[M].王小明，等，譯.上海：華東師范大學出版社，2007：48.

[3]李雙雙，劉明.基于核心素養培養的立體幾何教學———以《直線和平面垂直》為例[J].教育研究與評論：課堂觀察，2019（1）：82-87.