小學數學六種推理基本模型的應用

吳永華

【摘? 要】? 新課程改革進入了一個深水區，三維目標的設置，核心學科素養的認知都從顯性的知識技能轉向隱性的思維發展研究。數學如何落實加強數學思想和方法的滲透始終是一線教師繞不過的主題。推理是基礎數學核心十大概念之一，如何培養學生的推理能力是大家關注的問題。

推理是一個極其復雜的心智操作過程，把這個隱性過程用典型的表征方式表達出來，使隱性過程顯性化，就產生了模型。推理的表征形式有三大類，具體模型在小學數學涉及到六種，這里的種屬分類不是單純的隸屬分類，而是交織的交集分類，構成一個立體網絡。六種模型的具體應用是教師對數學教學文化實踐的深度提煉。

像數學家一樣認知世界，像物理學家一樣思考問題，把數學思想和方法移至小學數學教學的中央，這是數學教師專業發展的夢想。

【關鍵詞】? 小學數學;推理;模型;應用

數學是工具性、人文性、社會文化性的綜合。學習數學是學生借助數學語言，吸納人類智慧進行文化實踐的過程。這個過程有態度和感受，獲取知識和煉制知識，有意義地應用知識以及養成良好思維習慣等多個維度。推理是獲取知識和煉制知識維度中最重要的部分，也是學習者一個復雜的心智過程。

基于模型的推理能力培養是當前數學教學改革的熱門話題。模型是表征系統的典型表達形式;模式是心智操作的程序性表達形式。推理模型存在著復雜的連續體，有機動性和不變性，縮放性和再生性相統一的特征。應用好推理模型原理的數學教學課堂實踐探索，是深化數學課程改革的有效路徑。小學數學推理模型有三大類六種基本模型：三大類指物理縮圖類、表征系統類和句法模型類;六種基本模型是比較、分類、抽象、建模、歸納和演繹。推理能力的培養致力于學習個體的經驗煉制和已有知識的拓展，在態度和感受因素的參與下，創造新的知識結構，形成良好的思維習慣和思維品質。

一、比較和分類——從直觀到煉制

比較指個體能確定并說明各種事物的相似點和不同點。分類指個體能根據屬性把事物分組成為可定義的種類。一般不同的屬性標準就有不同的分類模型，多數用于陳述性知識的意義建構過程。分類和比較有時是相互交集，同時發生的推理過程，用于知識網絡結構的組建。

小學生的分類和比較是從直觀開始的，先從生活場景中實物開始介入。例如衣服、工具、垃圾分類等等。講清分類的意義，感受分類的類別可定義性，再進入圖形和符號的分類。例如幾何圖形的分類，數學符號工具的分類等等。但是圖形和符號的分類，往往會缺乏可定義的煉制，使比較和分類不能進入到概念分類的思維高級推理階段。例如“字母表示數”，傳統的教學只從為教方程作鋪墊，并不關注分類，所以會出現學生“一鍋熟”的現象，缺乏對字母表示數的深度意義理解。字母的數學應用是有分類的：一是表示任意數，并給字母有定義域;二是表示函數間的關系;三是表示特殊意義的特殊性;四是敘述中用縮寫表示特殊意義。數學是一種文化語言，數學符號是這種語言的特殊意義記錄，符號感的形成除了意義建構，還要加強分類和比較的推理能力培育，從直觀到煉制，養成說明事物相似點和不同點的習慣，學會自覺分類的可定義性本領。

分類和比較的交集會產生類比和遷移的功能，形成知識結構。目前小學的解決問題教學是分散的，傳統算術思維是分類的，從“九章算術”開始，中國古代的算術是以個案范式來傳統地解答知識的。現代數學思維解決問題并不分類，其實工程問題和行程問題的基本模型是相似的，如果工程總量、效率、時間跟距離、速度、時間對應起來比較，就發現兩種模型都屬于一次函數的類別。從直觀到煉制，既是一種認知結構拓展，也是一種認識事物的精煉。我們在數學比較和分類教學中，不能只關注直觀性的學習結果，要特別重視比較和分類的知識煉制過程，把直覺感知變成探索未知的推理過程，提高小學生思考問題的層級性。

二、抽象與建模——關于數學文化的浸潤

數學是一門抽象的科學，建模是數學的核心理念。抽象指確定信息的基本主題，舍去非本質的東西，建立一般范式的推理過程。例如人們在生活實踐中，積累起了人走路、馬車行、火車跑的信息，發覺人、馬、車都是事物非本質的東西，時間、速度、路程是最本質的特征，于是建立起“路程=速度×時間”的表征范式，并推廣到飛機、自行車、動物等所有物體的運動過程。人們對事物本質的煉制也是有一個深化過程的，速度就有方向性、加速和減速，時間是相對的，路程是位移，從體驗感知到抽象推理，形成數學文化的歷史性長河，集中體現了人類的偉大智慧。抽象和建模是兩種相關聯的推理過程，抽象致力于推理的過程，建模關注推理的結果，這種復雜推理是一般和特殊的心智操作的互動，也是圖像系統、符號表征系統和句法模型系統的可視化建構。

在教學實踐活動中，教師往往責怪學生思維死，不會“舉一反三”。事實上這不是學生的過錯，而是教師長期缺乏抽象與建模的數學文化浸潤所造成的后果。有一段時期小學數學課程改革有一種去模式化的時尚，似乎模式會束縛學生的思維創新，教師不支持和幫助學生去抽象和建模，這就是題海戰最可悲的地方。大運動量訓練一要注意不要過度訓練，超越學生的可接受極限;二要建立屬于學生自己的認知模型，通常說的“舉一反三”就是建模，“反三”就是模型的應用和實證，這個推理復雜過程有一個調節機制，就是學生的批判性思維能力，讓每個學生在數學的學習過程中建構屬于自己的心智操作范式。

小學數學是一個境脈剝離的學科，知識點是以明示結論性形態傳授給學生的，在解題訓練中形成技能。數學課堂改革的生活教學主要是溝通學校數學跟生活境脈的聯系，這是可取的嘗試。但是數學畢竟是一門抽象的科學，小學數學教學的去數學化是不可取的，培養學生抽象和建模能力，最好的路徑是數學文化的浸潤。所謂數學文化的浸潤就是注入一些數學發展史的故事和知識，讓學生從小能像數學家一樣認識世界，像物理學家一樣思考問題，樹立科學意識，抱著科學家的態度，探索未來世界。

自然數的計數法從幼兒園就開始，但是學生到小學高年級并不清楚知道計數法有許多種，不會比較阿拉伯計數法和中國計數法、羅馬計數法有什么區別。中國計數法來自于籌碼，沒有數位的位值概念，在實物標記層面操作。阿拉伯計數法有抽象的位值概念，所以成為全人類的計數法主流模型。阿拉伯計數法發源于印度，由阿拉伯商人傳到歐洲，以后根據位值概念便產生二進位、八進位等其他進位的方法。二進位制是現代計算機的基礎語言，在“字母表示數”的一章節，要浸潤數的文化，讓學生深度理解多位數展開式的意義：? ? ? ? ? ?=a×10m-1+b×10m-2+c×10m-3+……+k×100。

三、歸納與演繹——學一點邏輯學

歸納推理指從信息或觀察中推斷出未知的概念或原理。演繹推理指運用概念和原理推測具體信息或情境的結論。兩種推理過程是相向的，且都帶有猜想、論證、檢驗、調整的過程。歸納與演繹的推理過程是否正確指這個過程是否符合邏輯學的一般原理。小學數學雖然不出現邏輯的概念，但是要把數學思想方法適當地說出來，讓學生的思維軌跡在準確的邏輯起點上發展。例如在學習小數意義時，一般教師是用元、角、分直接指向方式來引入的，2.56元就是2元5角6分，1角是1/10元，故寫成0.5元，1分就是1/100元，故寫成0.06元，把2元5角6分以元作單位合起來就是2.56元。那么2.567千克是什么意思呢？2千克567克。這樣的認知就缺乏一種邏輯關系，學生只能死記硬背了。所以灌輸教學最大的弊病就是把思維的結果呈現給學生，缺乏一種歸納與演繹的思維推理過程，讓學生從“理解”異化成“機械性記憶”。小數意義的直接指向方式來源于數學的生活化和情境化，但教師教學的方式要注意數學內在的邏輯關聯。

學生在小學階段的歸納推理與演繹推理主要用句法模型呈現，也就是多解題的討論和證明題的說理。小學數學的課堂教學中動手做題目的訓練多，說明自己的思路和解題過程的少，到中學在幾何證明題教學，代數不定方程討論的學習中就出現了問題：一是不能準確使用“因為……所以……”句型，“因為”后面是相關條件，“所以”后面是得出的結果，要么條件不相關，要么結論不正確，主要是歸納與演繹的能力較弱;二是不會使用“? ?”推導符號，對符號感的理解度較低;三是缺乏對變量的定義域或值域的認識。小學（尤其是高年級學生）要讓學生學會討論，學會發表自己的觀點，使隱性推理過程顯性化。加強認知過程的邏輯關聯，使推理更加有深度。

接以上小數直接指向引入方式的案例討論，可不可以換一種學習思路呢？2.56元是多少元、多少角、多少分呢？從結論倒置提問，因為生活經驗告訴我們，學生對于2元5角6分的認知是沒有障礙的，那么你能說一說理由嗎？1角是1元的1/10，小數點后第一位表示個位的1/10，所以0.5元就是5角。依此類推0.06元就是6分。能否給小數點后面第一位一個名稱呢？因為是個位的1/10位值，所以取十分位比較好，那么第二位當然是百分位了，第三位可以是千分位，表示個位的1/1000……任意n位就是個位的1/10n，永遠可以無窮小。如果每個學生在直接指向后有深度思維展開，那么對于2.567千克問題的解答，還會有什么難度呢？

小學數學是每一個現代全人培養的基礎學科，許多小學問題都包含著深刻的大道理。每個學科都有每個學科的核心素養，小學數學的核心素養除了基礎知識和基本技能之外，還包含思維方式、情感態度和學習方法。傳統的“雙基”并沒錯，只是不夠完整。“四基”的框架是在“雙基”的基礎上發展起來的。知識、技能、情感三維度構成一個立方體，方法和過程的實踐活動是這個立方體的充填物。當前課堂教學改革的焦點應該集中在數學思想方法的浸潤上，關注隱性思維過程的顯性化研究，提升學生的有效性學習水平，凸顯數學學科的核心素養功能。

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