《方程的根與函數的零點》教學設計

成小院

一、教學內容分析

函數與方程是中學數學的重要內容，既是初等數學的基礎，又是初等數學與高等數學的連接紐帶，在整個高中數學教學中占有非常重要的地位。

本節通過對二次函數圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數的情形.它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數的內在聯系，引出對函數知識的總結拓展。

本節課滲透著重要的數學思想 “特殊到一般的歸納思想”?“方程與函數”和“數形結合”的思想，因此教好本節至關重要。

二、學生學習情況分析

學生之前已經學習了函數的圖象和性質，因此從學生熟悉的二次函數圖象入手介紹函數的零點，從認知規律上講，應該是容易理解的。一元二次方程是初中的重要內容，學生應該有較好的基礎對于它根的個數以及存在性學生比較熟悉，這也為我們歸納函數的零點與方程的根聯系提供了知識基礎。但是學生對其他函數的圖象與性質認識不深（比如三次函數），對于高次方程還不熟悉，缺乏更多類型的例子，讓學生從特殊到一般歸納出函數與方程的內在聯系，因此理解函數的零點、函數的零點與方程根的聯系應該是學生學習的難點。加之函數零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學中應加強師生互動，盡多的給學生動手的機會，讓學生在實踐中體驗二者的聯系，并充分提供不同類型的二次函數和相應的一元二次方程讓學生研討，從而直觀地歸納、總結、分析出二者的聯系。

三、設計思想

教學理念：培養學生學習數學的興趣，學會嚴密思考，并從中找到樂趣

教學原則：注重各個層面的學生

教學方法：啟發誘導式

四、教學目標

以二次函數的圖象與對應的一元二次方程的關系為突破口，探究方程的根與函數的零點的關系，發現并掌握在某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法;學會在某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法。讓學生在探究過程中體驗發現的樂趣，體會數形結合的數學思想，從特殊到一般的歸納思想，培養學生的辨證思維以及分析問題解決問題的能力。

五、教學重點難點

重點：函數零點與方程根之間的關系;連續函數在某區間上存在零點的判定方法。

難點：發現與理解方程的根與函數零點的關系;探究發現函數存在零點的方法。

六、教學程序設計

1.方程的根與函數的零點.

問題1：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數的圖象：如圖7-1

1方程與函數

2方程與函數

3方程與函數

[師生互動]

師：教師引導學生解方程、畫函數圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐標的關系，推廣到一般的方程和函數引出零點概念。

零點概念：對于函數y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數x叫做函數y=f（x）（x∈D）的零點。

師：填表格

生：經過獨立思考，填完表格

師提示：根據零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與函數方程的根有何關系？

生：經過觀察表格，得出第一個結論

師再問：根據概念，函數y=f（x）的零點與函數y=f（x）的圖象與x軸交點有什么關系

生：經過觀察圖像與x軸交點完成解答，得出第二個結論

師：概括總結前兩個結論（請學生總結）。

1）概念：函數的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現，而是實數。例如函數的零點為x=-1，3

2）函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標.

3）方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。

師：引導學生仔細體會上述結論。

再提出問題：如何并根據函數零點的意義求零點？

生：可以解方程而得到（代數法）;

可以利用函數的圖象找出零點.（幾何法）

第一階段設計意圖

本節的前半節一直以二次函數作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結了二次函數零點情況，給學生一個清晰的解題思路。

2.零點存在性的探索

師：要求生用連續不斷的幾條曲線連接如圖4 ?A、B兩點，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個學生上臺板書：

生：兩個學生畫出連接A、B兩點的幾條曲線后發現這些曲線必與直線l相交。

師：再用連續不斷的幾條函數曲線連接如圖A、B兩點，引導學生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說明連接A、B兩點的函數曲線交點必在區間?（a，b） 內。

生：觀察下面函數f（x）=0的圖象（如圖5）并回答

圖5

①區間[a，b]上______（有/無）零點;f（a）·f（b）_____0（<或>）。

②區間[b，c]上______（有/無）零點;f（b）·f（c）_____0（<或>）。

③區間[c，d]上______（有/無）零點;f（c）·f（d）_____0（<或>）。

師：教師引導學生結合函數圖象，分析函數在區間端點上的函數值的符號情況，與函數零點是否存在之間的關系。

生：根據函數零點的意義結合函數圖象，歸納得出函數零點存在的條件，并進行交流、評析總結概括形成結論）

一般地，我們有：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線并且有f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c?∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

第二階段設計意圖：

教師引導學生探索歸納總結函數零點存在定理，培養歸納總結能力和邏輯思維

3.例范研究

已知函數f（x）= -3x⁵-6x+1有如下對應值表：

函數y=f（x）在哪幾個區間內必有零點？為什么？

通過本例引導探索，師生互動

探求1：如果函數y=?f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）>0時，函數在區間（a，b）內沒有零點嗎？

探求2：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0時，函數在區間（a，b）內有零點，但是否只一個零點？

探求3：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且函數在區間（a，b）內有零點時一定有f（a）·f（b）<0 么？

探求4：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象不是一條連續不斷的曲線，函數在區間（a，b）內有零點時一定有f（a）·f（b）<0 ？

師：總結兩個條件：

1）函數y=?f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線

2）在區間[a，b]上有f（a）·f（b）<0

一個結論：函數y=f（x）在區間[a，b]內至少存在一個零點

補充：什么時候只有一個零點？

（觀察得出）函數y=f（x）在區間[a，b]內單調時只有一個零點

求函數的零點個數.問題：

1）你可以想到什么方法來判斷函數零點個數？

2）判斷函數的單調性，由單調性你能得該函數的單調性具有什么特性？