思想無界行動有向

張范輝

摘 ?要：“智”一般指人們認識世界的能力，教學中就是對主體對象——兒童——思維水平的概括。數學是理科，“理”特指數學知識的內涵本質，是對數學學科知識與思想的概括，指教學的載體對象知識。教學改革的有效性取決于對主客體這樣的客觀要素認識與優化程度，只有在兩者的互孕互促互化中，數學教學才能生動創造、開放凝聚，走向美的境界。

關鍵詞：智慧;自由;理性;小學數學教學

教育如農事。農民的價值在田野，教師的價值在課堂。農事需深耕，教育需改革。“課改”首先需“改課”，教無定法、“我的課堂我做主”可以讓教師有足夠的自主權，改變教學理念，重組知識結構、變更呈現方式等，從而可以走向“形散”。形散意味著教學思想靈動、思維觸角自由，可以探摸更遠的地方，引領兒童自由發現與創造。教師們常說的“智”就是人們認識世界的能力，在教學中就是對學習主體——兒童——思維水平的概括。

但“形散”也并非信馬由韁，教無定法之下，卻有常法，貴在得法，這里的“法”自然首先是方法，更深的理解還應是方向，貴在有明確的方向，鮮明導向之中尋求合理的方法。形散中透著神聚，神聚意味著數學課堂主題內核明朗、思維路徑清晰、教學結構合理、思想蘊涵澄明，在自由創造中有明確的方向，這個方向就是思維的錘煉、素養的提升、理性的形成，誠如史寧中教授所說，“判斷數學基本思想的原則有兩個，第一是數學產生和發展所必須依賴的那些思想，第二是學習過數學的人應當具有的基本思維特征”，這個思維特征就是數學“理性”，這也就是人們常說的數學是理科，而不同于語文等其他學科的思維特征，“理”就是對學習載體——數學學科——知識與思想的概括。

有效的教學改革必立足于客觀要素的優化。著眼教學中主體之“智”和載體之“理”的客觀對象，把數學知識冰冷的學術形態不斷轉化為火熱的教學形態，創造出師生理解、內化知識的一段段美麗的學習時光。

一、智理互孕，教學要利于學生有新發現

數學是客觀性地存在，還是人類觀念性地存在？綿延千年的“心實之爭”讓人們擁有了不同的思考視角與深刻的洞察眼光。爭辯的過程也就是主體的思考之智與載體的知識之理互孕互長的過程，這樣的爭辯也就讓“內心的法則”與“頭頂的星空”都成為能夠震撼心靈的理性力量。

如何看待數學知識的眼光，能夠帶來教學方法的轉變？很多人認為，數學知識客觀冰冷，高度的抽象性與邏輯的嚴謹性容不得半點質疑、半點虛假，似乎只有呈現冰冷才是理性真正的面貌。以至于感性的、活潑的兒童在進行四則混合運算中，多次犯錯而不能糾偏的情況下，詢問老師“干嗎非得要先乘除后加減”。是啊，冰冷的規定背后到底有著怎樣火熱的思考？一段時間讓筆者迷惑德國數學家格奧爾格·康托爾曾說“數學的本質就在于它的充分自由”，其思想意義是怎樣的？數學的概念、符號難道真的就是這樣枯燥么，就不能天馬行空么？

最簡單的自然數“1”是生來就這么規定的么？為何楔形文字、羅馬文字中的“1”不是這樣的呢？史寧中教授曾說，如果歷史可以重來，今天的數學還是這個樣子么？史教授自己的回答是，大概除了1加1等于2這樣的運算法則不變，其他的幾乎全部可以改變。“1”本身并不存在，作為抽象符號表達，首先是想象與演變的結果。隨著人們的智慧創造，不斷被賦予了新的內涵，越來越具備了更深的思想。創造出的“1”，從開始僅僅表示的一個物體，繼而成為一個整體、一個單位，從計數到測度，從有限到無限，其中所蘊含著的巨大創造性與思想性，每每讓人嘆為觀止。《道德經》言“道生一”，從中可以感悟到“1”的創造是如此玄妙，以“道”字道出無法言傳的玄妙。德國數學家克羅內克爾曾說：“上帝創造了自然數，其他都是人造的。”筆者想克羅內克爾要表達的應該是：上帝創造了一，然后由人創造出了二、三以及其他。

最基本的圖形“點”，按《幾何原本》的說法，“點是沒有部分的”，意味著點除了位置之外什么都沒有，按此定義，哪里能找到點？用筆畫在紙上的點就是數學上的點了么？眼中看到的點就是真正意義的點了么？再細尖的筆，把點畫到紙上，就已偏離點的本意了，因為這是面，只不過看上去很小而已，但面對它，我們都會清楚地認為這是一個點。測量的常識就是首先把所測量物體的兩端看作兩個點：測量線段的長度，把線段的兩端看作兩個點;測量兩城的距離，我們常把兩城作為兩個點;測量地球到月球的距離，我們把地球與月球看作兩個點……這時，點早已是一種想象。“抽象的前提是想象”，這般一看，數學還冰冷么？還客觀么？但這般想象毫不妨礙純粹的思考。點動成線，線無粗細、無顏色，但我們同樣用各種筆畫出繽紛的、不是線的線，在豐富的想象之中進行著嚴格的定義。線動成面，面動成體……人們運用想象與推理的智慧，構建了完整的圖形知識體系，嚴絲合縫，嚴密理性。

“1”與“點”作為數與形的兩個最基本概念，其誕生與發展的過程，就是人們的智慧創造與知識的理性內涵不斷生發、生長的過程。數學所研究的數量關系、空間形式都是智理互孕、互生互長的結果，豐富而又有秩序，一切都井井有條、合理美妙，經由不斷的抽象與推理，最終構成了嚴謹理性的數學體系。如此，解讀康托爾表述數學的本質是自由，其內在含義不僅是數學發展過程中所展現出的“自由創造”，更為重要的是，數學在尋求其嚴謹的同時，表現出極大的開放性和創造性。那么，教學就遵循著這樣的規律去創造和開發吧，讓兒童擁有新眼光，善于新發現。

二、智理互促，教學要利于思維有新發展

數學起源于以認識世界為目的的哲學，必然具有認識世界所需的方法論。兒童數學素養提升的顯要標志是解決問題的思維與方法，而這也就是認識世界的方法論視角。

明理能生智。“運算能力”的培養上，在理解運算的基本知識、理清數量關系基礎上，能夠抓關鍵、靈變換、簡過程、優運算，生發出驚艷的智慧之花。對于如64+72×8這樣的計算，如果以基礎算法，先乘后加，按步計算得結果。但如果能對數理理解清晰，則會生發64+9×8×8，得到64+9×64，進而得到10個64是640的巧妙算法。顯然在這過程中，需要的是數感、口算水平以及對乘法分配律算理的深入理解，對于數理的透徹理解，捕捉住隱匿聯系，促進方法活用，顯現優化的計算能力，這就是思維水平的提升，形成智慧火花。

“空間能力”的培養上，在理解圖形的基本概念、掌握圖形間相互關系基礎上，能夠靈活變換、簡約過程。

面對如圖1的陰影部分面積計算的問題，按常規計算辦法，陰影部分的面積應是用梯形的面積去掉空白部分三角形的面積，即（9+14）×11÷2-9×11÷2。但細察發現，陰影部分的兩個三角形等高，如圖2所示，可以把陰影的兩個三角形轉化為一個大三角形，直接由14×11÷2得到最后的結果。這是對平行線的性質、等底等高三角形的面積相等等圖形之理明晰的基礎上，生發出的巧妙方法。優化的方法中，我們可以看到，由各圖形面積計算的方法（認知），分析圖形間的聯系（明理），形成判斷、運用策略、優化方法、發展思維（成智）。

從這里的數與形的兩個案例中，我們可以感悟到，數學知識內在之理的透徹理解，優化方法策略，促進思維發展、智慧生發。

反之，人們的智慧提升又進一步促進數學發展。幾何學發展歷程，從歐式幾何的概念必須建立于現實常識到非歐幾何概念建立于邏輯公理，甚至有些概念有悖于人們對熟知世界的認識，數學的自由表現掙脫了現實的束縛，人類的思想可以無限制、無邊界的向外拓展，但無界的思想卻有著嚴謹的邏輯。如今幾何學的概念、結論早已與是否符合客觀實際無關，只要它符合邏輯推理。這就是典型的人的智慧促進數學的發展，目前看，不管數學的發展如何分支，但數學整體一致，結果相互協調，蘊含著真理的內涵。

三、智理互化，教學需啟迪心智新成長

和所有知識一樣，數學知識是人所創造的，必將帶著人文的底色。一方面，是人創造了數學知識，經過不斷遴選形成較為完善的學科體系，構成學生學習成長的載體，數學知識凝結著人類的智慧、思想與精神。另一方面，形成的數學學科又以獨特的內涵思想、理性力量重塑人的自身。這樣的主體之“智”與載體之“理”互化就體現了人文的兩個維度，即以人創文，文以化人。數學化人的角度是獨特的、理性的，帶著生動、深刻的意味。

對于用“數手指”輔助做算術題，較多小學低年級的教師認為不可取，他們認為這種方法可能對孩子的計算造成心理上的“手指依賴”，從而導致淺于數理分析、弱于口算技能，不利于培養孩子的數感，因而在一開始即嚴格按照數的分合等來開展算術教學，同時不允許學生“數手指”。但對于心智發展稍微延后的兒童，與其限制造成的躲躲閃閃、欲“數”還休，還不如科學地利用好天然“工具”來更好地進行計算。從一開始的“掰手”數指進行計算，即邊掰手指，邊看邊數完成算術運算;逐步到“背手”數指進行計算，即把小手放在自己的背后，可伸撥手指，通過思考而不是直接看著手指幫助完成運算;最后“想手”數指進行計算，即在自己的腦海中形成“手指表象”來完成算術運算。這三個階段也正是孩子經歷從具象到表象，再到抽象的過程，這個過程中，還可以通過“5”這一數字滲透初步的“整體”意識。

人生各有差異，這是客觀的，也是這個世界豐富多彩的原因。運算結果雖一致，但過程方法各不同。在不同的過程中尋求啟迪心智成長的普遍方法。數學化理成智的過程是獨特的，從直觀到抽象，從特殊到一般，啟迪智慧，發展心智。

面積和長度、角度、體積一樣，除了測量對象的維度不同，其“確定單位、測量對象、得到結果”的思維本質是一樣的。長度的測量，是用一段規定的、已知的單位長度去不重疊地依次測量多次，然后把所量的幾段長度相加得到最后的結果。與此類似，面積的測量則是用一塊規定的、已知的單位面去不重疊地依次覆蓋所要測量的面，然后相加得到最后的結果。這樣的先“1”后測，這樣的“有限可加性”揭示著數學測量的本質意義，這個數以多少為合適、用哪個單位作表征，說到底只不過是根據測量所要解決什么樣的問題而定。如此“定單位、去測量、得結果”的測量意識、認知與能力就是人們生存、生活的一種基本素養，成為觀察與認識世界的普適眼光與解決問題的基本能力，這也就是為什么要人人學習數學、人人都要具備基本數學眼光的道理所在。數學化理成智的視角是普適的，心智的成長就是面對新問題時的方法遷移解決的過程。

未來已來。以不確定性為特征的時代呼喚創新型人才的要求，我們的應答就是基于學科來育人、樹人。華為創始人任正非所言“未來就在小學教師的講臺上”，雷霆之語折射出的是培養什么樣的人、怎樣培養人這樣的本源追問。數學教師立足課堂主陣地，豐富開放的生動智慧，嚴謹普適的深刻理性，教學過程體現著華東師范大學汪曉勤所倡的“知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效”。以數學之理培育兒童之智，從而讓數學教育創造屬于未來的生命之美。