任務驅(qū)動教學法在微積分教學中的應用*

文/李靜（鄭州西亞斯學院）

一、引言

《微積分》課程是經(jīng)管類專業(yè)學生學習的一門基礎(chǔ)必修課，培養(yǎng)的是學生的邏輯思維能力、計算能力，而引導學生學會思考、學以致用更是教師應關(guān)注的問題，是學生通過本門課程應學習到的能力。任務驅(qū)動教學法，作為一種建立在建構(gòu)主義學習理論基礎(chǔ)上的教學法，不同于以往的傳統(tǒng)教學理念。在傳統(tǒng)的教學理念中，教師處于中心地位，以課堂教師講授知識為主進行知識傳授，學生處于一種被動學習狀態(tài)，缺乏主動思考的能力。而任務驅(qū)動教學法是以解決問題、完成任務為主的多維互動式的教學理念，這種教學方法將再現(xiàn)式教學轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄渴綄W習，使學生處于積極的學習狀態(tài)，每一位學生都能根據(jù)自己對當前任務的理解，運用共有的知識和自己特有的經(jīng)驗提出方案、解決問題，為每一位學生的思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供了開放的空間，體現(xiàn)了“以教師為主導，以學生為主體”的教學理念，使學生變被動學習為主動學習。關(guān)于任務驅(qū)動教學法的應用實施，已有不少專家學者的研究及應用成果，比如渤海大學的趙丹在其文章中指出如何構(gòu)建任務驅(qū)動教學模式，促進學生進行自主學習。孫麗東通過具體的案例，介紹了任務驅(qū)動教學法在高職院校高等數(shù)學課程的運用。本文將以《可分離變量的微分方程》這一節(jié)課為例，探討任務驅(qū)動教學法在微積分教學中的應用。

二、教學應用

《可分離變量的微分方程》選自由高等教育出版社出版，龔德恩、范培華主編的《微積分》（第二版）教材第九章《微分方程與差分方程簡介》的第二節(jié)《最簡單的微分方程》，教學時長1學時。在學習本節(jié)課內(nèi)容之前，學生已經(jīng)學習了第一節(jié)課《微分方程的概念》，了解認識了什么是微分方程以及微分方程的解、特解、通解等概念，但是并沒有學習如何解微分方程。數(shù)學是一種方法，是其他課程的一個工具，傳播的是一種思想，強調(diào)的是學以致用。在解決實際問題的時候，當我們通過對問題進行分析、數(shù)學建模，得到了相應的數(shù)學模型，列出來所要求解的方程，那么接下來要做的就是如何解方程，因此掌握方程的求解方法是必要的。微分方程的類型有很多，有線性和非線性之分，也有一階、二階之分，學生在專業(yè)課學習中會遇到此類微分方程，學會建立一些簡單類型的微分方程并掌握其求解方法，這對學生的后續(xù)學習有重要作用。本節(jié)課主要針對可分離變量的微分方程進行求解，解決的是怎么計算的問題，是第一節(jié)課內(nèi)容的延續(xù)和強化，同時作為一類最簡單的微分方程，是后面課時中其他類型微分方程求解內(nèi)容的鋪墊。

基于任務驅(qū)動教學法，本節(jié)課的教學目標設置如下：

知識目標：能準確判別可分離變量的微分方程的一般形式，掌握可分離變量的微分方程求解方法；

能力目標：能夠利用可分離變量微分方程來解決實際問題，變抽象的計算為直接的問題處理能力；

情感目標：激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣和求知欲，培養(yǎng)學生之間的團結(jié)協(xié)作與溝通能力，引導學生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學美。

（一）課前任務發(fā)布

在本節(jié)課前一周，由教師發(fā)布任務主題“已知當前或過去某個時刻的某一地區(qū)人口數(shù)量，基于馬爾薩斯人口模型預測未來某個時刻該地區(qū)的人口數(shù)量，以及在遙遠的未來人口會怎樣發(fā)展變化，并分析評價馬爾薩斯人口模型”。

將每班學生分成若干個小組，每小組6-8人，對上述主題進行研究討論，并形成每一小組的研究成果。學生可以通過學習通和互聯(lián)網(wǎng)查找關(guān)于馬爾薩斯人口論和人口模型的相關(guān)資料以及解方程的方法。

該主題只說某一地區(qū)，沒有限定到底是哪一地區(qū)，因此學生在研究時關(guān)于地區(qū)的選擇具有開放性和自主性，每一小組研究的對象不同，在課堂上進行成果探討時可以更大程度地開拓學生的知識和視野，達到百花齊放百家爭鳴的效果。

作為教師，我們知道馬爾薩斯人口模型是一個非常簡單的模型，在人口預測上有很大弊端，對于現(xiàn)如今的人口預測來說實用性不強。要求學生基于馬爾薩斯人口模型預測人口數(shù)量，是因為學生初學微分方程概念，還沒有掌握相關(guān)的微分方程求解方法，難以理解更為復雜的人口模型。最后提出分析評價馬爾薩斯人口模型這一任務，可以使學生認識到這一模型的利弊，探索更多的模型，激發(fā)學生的求知欲。

（二）課中教學安排

（1）上課時，結(jié)合此前發(fā)布的問題，按照學生分組情況進行任務成果的匯報。

因為題目是開放性的，學生研究的地區(qū)不同，選取已知時刻人口不同，因此結(jié)果會有很大差異。此時，對每一組的成果給予正面評價與引導，可以激勵學生互相學習，取長補短，建立學生的自信心。

下面我們來看一下馬爾薩斯人口模型。通過假設人口的出生率、死亡率，建立由離散到連續(xù)的方程，建立微分方程，得到以下帶初始條件的微分方程：

其中t表示時間，P(t)表示t時刻的人口數(shù)量，r為人口的自然增長率，P(t0)為已知時刻t0的人口數(shù)量。

（2）由馬爾薩斯人口模型引入本節(jié)課的重點內(nèi)容：可分離變量的微分方程。

可分離變量微分方程的一般形式：

引導學生觀察這兩個微分方程，對比它們的形式，學生可以準確判斷出人口模型的微分方程即為可分離變量的微分方程。

（3）接下來由教師向?qū)W生演示可分離變量微分方程的求解方法。

解：分離變量，得：

兩邊同時積分，得：

由上述積分可得形如F(x,y) =0的隱函數(shù)，即為所求微分方程的解。

通過此微分方程的解法，由學生自己對馬爾薩斯人口模型再次進行求解，結(jié)合初始條件，得到人口模型的特解

學生將上述特解與本組展示成果中的人口預測函數(shù)進行對比，觀察其異同處。通過對方程解的分析，計算未來某一時刻的人口數(shù)。

（4）在遙遠的未來人口會怎樣發(fā)展變化？

此問題即對人口未來趨勢的預測，這考察到微積分中的極限思想，即t趨于無窮時，求函數(shù)的極限。結(jié)合人口變化的實際趨勢，該模型對于短時間內(nèi)的人口數(shù)量比較吻合。上述特解在t趨于無窮時，人口數(shù)量也會趨于無窮，但是從現(xiàn)實社會來看，即使是在長遠的未來，人口也不會無限增長，該模型有很大缺點。

課前任務中已要求學生分析評價馬爾薩斯人口模型，此時向?qū)W生展示每組的分析評價，并正確引導，引發(fā)學生對人口模型的思考。此后的人口學家又提出了其他的模型作為優(yōu)化和改進，如Logistic模型Leslie模型以及其他復雜的模型等，這些微分方程超出了學生的知識能力范疇，可以作為學生課后學習的拓展。

（5）課堂練習

在任務驅(qū)動教學模式下，學生學習了可分離變量的微分方程及其求解方法，并認識微分方程在實際生活中的應用。根據(jù)以往的教學經(jīng)驗，學生在對微分方程進行求解的過程中，會遇到積分及隱函數(shù)表示方面的難題，因此加強課堂練習，有助于增強學生的計算能力，并改善此類問題。接下來給出本節(jié)課的練習題，檢測學生對此類方程解法的掌握情況。

（6）課堂小結(jié)

最后總結(jié)本節(jié)課所學的教學內(nèi)容：可分離變量的微分方程一般形式，可分離變量的微分方程解法。

（三）課后復習鞏固

向?qū)W生布置課后習題作業(yè)。課后習題是關(guān)于可分離變量微分方程求解的練習，達到對課堂知識直接鞏固的目的。

三、任務評價

任務驅(qū)動教學法，容易激發(fā)和引導學生學習的積極性，培養(yǎng)學生的實踐和創(chuàng)新能力，使學生變被動學習為主動學習。小組合作完成任務，更好地培養(yǎng)了學生之間的合作精神和溝通能力。通過對馬爾薩斯人口模型網(wǎng)絡資料的查詢、搜索，學生的信息技術(shù)能力得到提升，學生探索欲更強。在教學中，隨著人口預測任務的完成，學生產(chǎn)生了很大的成就感。通過任務驅(qū)動教學法，能夠使學生對可分離變量微分方程的形式認識更清晰、記憶更牢固。

相關(guān)鏈接

教學方法論由教學方法指導思想、基本方法、具體方法、教學方式四個層面組成。教學方法包括教師教的方法（教授法）和學生學的方法（學習方法）兩大方面，是教授方法與學習方法的統(tǒng)一。教授法必須依據(jù)學習法，否則便會因缺乏針對性和可行性而不能有效地達到預期的目的。但由于教師在教學過程中處于主導地位，所以在教法與學法中，教法處于主導地位。過程教學法的教學重點放在學生的寫作過程上，強調(diào)在學生寫作過程中幫助他們發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。教師通過多樣化的教學活動，側(cè)重在語篇水平上指導寫作，包括構(gòu)思、寫提綱、寫初稿和修改等各個寫作環(huán)節(jié)。教師的指導貫穿于整個寫作過程直至最后成文。國內(nèi)外的專家、學者提出了不少關(guān)于寫作的教學理論和方法，麥肯齊和湯普金斯的過程寫作法。因獨辟蹊徑，觀點新穎而實用，受到外語教學界的矚目，成為寫作教學法的主流。該方法克服了結(jié)果教學法的種種弊端，以交際理論為基礎(chǔ)，以學生為中心，注重發(fā)展學生的思維能力和交際能力，強調(diào)內(nèi)容的重要性。它認為，寫作的實質(zhì)是以英語為工具，去發(fā)現(xiàn)、澄清和挖掘意義，準確表達思想的復雜過程。學生有感而發(fā)，文章內(nèi)容實在。過程法的提出對中國的英語寫作教學意義重大，值得借鑒。寫作教學經(jīng)歷了一系列的變革，它的重心已漸漸從寫作成品轉(zhuǎn)移到寫作過程，教師從過去關(guān)心學生寫什么轉(zhuǎn)移到關(guān)心學生的寫作過程。這種改變究竟是如何產(chǎn)生的？我們不得不追根溯源，闡述一下與之息息相關(guān)的語言教學重心的轉(zhuǎn)移。20世紀70年代，第二語言教學逐步摒棄了行為主義理論，轉(zhuǎn)向以交際為目標的教學法。交際法滲透到寫作教學，過程寫作法產(chǎn)生。寫作教學的目標是通過培養(yǎng)學生思維能力和交際能力來發(fā)現(xiàn)內(nèi)容，挖掘內(nèi)容，準確地表達內(nèi)容，與讀者進行交流。使寫作課堂成為交際的課堂，富有創(chuàng)造性的課堂，有趣的課堂。

過程教學法的理論基礎(chǔ)是交際理論，它認為寫作的過程實際上是一種群體間的交際活動。而不是寫作者的單獨行動。它將教學的重點放在學生寫作過程和寫作能力上，充分培養(yǎng)學生的思維能力。教師的指導也始終貫穿于整個寫作過程之中，直至最后成文。