尺規作圖重在引導學生“想”數學

胡趙云

編者按

尺規作圖是初等數學的古老話題，在教育人們思考數學、發展幾何直觀與推理能力等方面有著獨特的意義?，F實教學對尺規作圖的功能研究不多，對它的教育價值缺乏足夠的認識。本專題從尺規作圖的價值與教學實踐等角度闡述尺規作圖教學要立足于引導學生思考，學會“想”數學。

一、概況介紹

尺規作圖是指規定只能用直尺和圓規兩種工具的作圖，也稱為初等幾何作圖或歐幾里得作圖。尺規作圖分為定位作圖與活位作圖。定位作圖是指所求作的圖形必須在指定條件的位置，如“作已知角的平分線”?；钗蛔鲌D是指所求作的圖形沒有明確指定的位置，如“作一個角等于已知角”。

尺規作圖必須遵守下列三條作圖公法：

（1）過兩點可以作一條直線;

（2）以定點為圓心及定長的線段為半徑可以作圓;

（3）兩條直線，或一條直線和一個圓，或兩個圓，如果它們相交，就可以確定它們的交點。

《幾何原本》的五條公設中第1.1、1.3條公設正是上述前兩條公法。由此，歐幾里得限制了作圖工具只能是直尺和圓規，也規定了直尺和圓規只具有下列功能：

（1）作線：用直尺可以作出第一條公法所規定的直線;

（2）作圓：用圓規可以作出第二條公法所規定的圓;

（3）確定交點：用直尺和圓規可以確定出第三條公法所規定的交點。

從已知條件出發，經過有限次使用直尺和圓規作出所求作的圖形，就說該作圖問題有解。如果符合已知條件的圖形不存在，就說該作圖問題無解。作圖不能與作圖無解是不同概念。作圖不能是由于受到作圖公法和工具的限制而無法作出所求作的圖形。例如，“三等分任意一個角”是尺規作圖不能。

尺規作圖題一般包括已知、求作、分析、作圖、作法、證明、討論七個方面內容。

分析，一般通過繪畫草圖，結合有關概念、公理、定理、基本作圖，思考條件與所求作圖形之間的聯系，尋找作圖的方法與步驟，積累“想”數學的經驗。通過證明驗證作出的圖形與題設條件相符，發展學生的推理能力。幾何作圖既蘊含著幾何證明，又能很好地培養發展幾何直觀。通過尺規作圖作出幾何圖形實現對數學操作實驗的抽象，形成并建立理念狀態下的數學，建立不受物理形態影響的幾何體系。

二、現狀分析

1.數學課程標準的定位

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中關于尺規作圖的要求如下：

（1）能用尺規完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作一個角的平分線;作一條線段的垂直平分線;過一點作已知直線的垂線。

（2）會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

（3）會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內切圓;作圓的內接正方形和正六邊形。

（4）在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。

與《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》相比，《課標》增加了“了解作圖的道理”。這個“道理”是指尺規作圖的作法與依據是什么，為什么這樣作，以及想出作法的道理。

2.教科書的做法

我們選擇人民教育出版社（以下簡稱“人教版”）、北京師范大學出版社（以下簡稱“北師大版”）、華東師范大學出版社（以下簡稱“華師大版”）、浙江教育出版社（以下簡稱“浙教版”）出版的數學教科書中關于尺規作圖內容作比較。

（1）關于基本作圖

為了簡化表述，將五條基本作圖用序號表示為：（a）作一條線段等于已知線段;（b）作一個角等于已知角;（c）作一個角的平分線;（d）作一條線段的垂直平分線;（e）過一點作已知直線的垂線。

表1 編排順序比較

人教版 北師大版 華師大版 浙教版

（a）七上第4章 （a）七上第4章 （a）七上第4章 （a）七上第6章

（b）八上第12章 （b）七下第2章 （b）七上第4章 （c）八上第1章

（c）八上第12章 （d）七下第5章 （c）八上第13章 （b）八上第1章

（e）八上第13章 （c）七下第5章 （e）八上第13章 （d）八上第1章

（d）八上第13章 （e）八下第1章 （d）八上第13章 （e）八上第1章

①編排順序比較（見表1）

從表1可知，基本作圖（b）至（e）各版本教科書的編排順序有所區別。除北師大版將基本作圖（e）安排在八下第1章外，其他各版教科書都在八上講完。

②呈現方式與要求比較（見表2）

各版本教科書關于五條基本作圖的呈現方式均有所區別，有的安排在正文介紹，有的作為例題解答，有個別作為習題供學生練習。具體要求也有區別，表現在有分析與沒有分析，完整呈現作法或者提出問題讓學生想作法，作圖后的結論有的給出證明，有的只給出簡單的說明或者只問學生為什么正確。

表2 呈現方式與要求比較

基本作圖 人教版 北師大版 華師大版 浙教版

（a） 正文。給出畫法，示范畫圖 例題。給出作法，示范作圖 正文。給出畫法，示范畫圖，八上再示范作圖 例題。給出作法，示范作圖

（b） 正文。給出作法，示范畫圖，讓學生想理由 正文。給出作法，示范作圖，在后續章復習題證明 正文。給出畫法，示范畫圖，八上再示范作圖 例題。給出作法，示范作圖，并說明理由

（c） 正文。給出作法，示范畫圖 例題。給出作法，示范作圖，讓學生想作圖理由 正文。給出作法，示范作圖，有證明過程 例題。給出作法，示范作圖，并說明理由

（d） 例題。給出作法，示范作圖，讓學生想理由 正文。給出作圖，讓學生想作法 正文。給出作法，示范作圖，有簡單說明 課內練習題

（e） 例題。給出分析、作法，示范作圖 例題。給出作法，示范作圖，讓學生想作圖理由 正文。給出作法，示范作圖，有證明過程 例題。給出分析、作法，示范作圖，讓學生想證明過程

從表2可以看出，各版本教科書大都以直接敘述作法、示范作圖為主要呈現方式，對基本作圖或基于基本作圖的作圖題的作法如何想出來缺少分析，幫助引導學生“想”數學的體驗不足。

（2）其他作圖內容

各版本教科書除了落實《課標》“會利用基本作圖作三角形、圓、三角形的外接圓與內切圓、正四邊形、正六邊形”等內容外，還有一些不同的處理方式。例如，北師大版教科書編制了較多作三角形、等腰三角形有關的作圖題;華師大版教科書編制了作平行四邊形、矩形、菱形的內容;浙教版教科書編制了較多的作圖問題，如與軸對稱、中心對稱、旋轉圖形，平行四邊形、最短的弦、n等分線段、黃金分割點等有關的例題與習題。從中可看出，浙教版教科書對尺規作圖的題型多于其他版本教科書的題型，要求也高于《課標》。

（3）作圖與畫圖

長期以來，初中數學習慣用“作圖”表示尺規作圖，用“畫圖”表示可以借助刻度尺、三角板、量角器、丁字尺、縮放尺、比例規等工具作圖。多數版本教科書仍沿用這一慣例。如北師大版教科書在軸對稱、中心對稱、旋轉圖形中就用“畫圖”表達，而人教版教科書對此不作嚴格的區分。

3.教學現狀

當前，尺規作圖問題一般只要求作出圖形，保留痕跡，不寫作法。隨著尺規作圖要求的降低，教學重視程度跟著下降，導致課堂教學中，涉及尺規作圖的內容時，教師很少引導學生分析思考作法，更多地采用教師示范、學生模仿，或者學生一邊聽教師敘述作法一邊作圖的方式。這種講授—記憶式的教學使得學生體驗不到思考的樂趣，其效果也就可想而知了。例如， 2018年廣東省中考卷有一道尺規作圖題。

如圖1，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°。

（1）試用尺規作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為點E，交AD于點F。（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

（2）略。

這是基本作圖題“作已知線段的垂直平分線”的再現。教科書中有明確的講解，相信教師也會教，但考試結果卻令人意外。有一批學生交了白卷，錯誤的作法多種多樣，如下。

這從側面說明，失去思考，只以模仿、記憶方式的作圖教學，學生終究還是不會。

三、教會學生“想”數學

1.從基本作圖的作法想起

基本作圖是尺規作圖的基礎，其作法相對簡單。因處于尺規作圖的起始階段，如何想出作法就顯得尤為重要。引導缺少經驗的學生想到作法特別困難，以至于教科書、教師往往采用直接告知的簡單方式。例如，作一個角等于已知角。教科書通常寫成：

這個作法是怎么想到的？怎么會想到用圓規畫??？學生能經過自己獨立探索而想出作法嗎？如果不能，教師能給予哪些幫助？

如果這是七年級的學習內容，教師可以設計如下一組問題串：

（1）兩個角相等什么意思？

（2）你有哪些方法理解兩個角相等？

（3）你有哪些方式理解兩個角重合？

（4）你會用什么方式說明兩個角開口相同？

通過以上問題，引導學生思考如何將角的相等問題轉化為線段或弧的相等問題，從而得到作弧的想法。如果這個問題在“三角形全等”后學習，就可以有更多的問題組設計方式。其他的基本作圖問題，也可以采用類似的方式處理。

2.作圖題重在怎樣想出作法

尺規作圖的樂趣在于想出作法。遇到作圖題，學生無從下手時，教師不應直接告知作法，更不應該讓學生看教師示范后再模仿重復作一次，而是應該設計恰當的問題，引導學生思考，幫助學生積累思考的經驗，學習如何從已知的定理、熟悉的作圖題、常見的圖形與結論中想到作法。

例1 尺規作圖：作∠A=36°。

學生可能嘗試將平角五等分，但不易實現。

在學生思考未果后，教師可以設計問題串引導學生思考：

（1）能將這個角放在三角形中解決嗎？

（2）你能想起一個熟悉的含有36°內角的三角形嗎？是個什么樣的三角形？畫一畫。

（3）這個三角形有什么特征？

（4）能用尺規作圖找到線段AB的黃金分割點P嗎？

（5）BC，PC，AB，AC之間有什么關系？

（6）你能用尺規作出，使AB=AC，BC=AB嗎？

例2 已知△ABC，如圖，在△ABC所在的平面內，作點P，使∠APB=2∠C。

在學生思考未果后，教師可以設計問題串引導學生思考：

（1）與“一個角是另一個角的2倍”有關的概念、定理、圖形，你見過嗎？請說一說，畫一畫。

（2）點A，B，P，C能成為角平分線圖形上的點嗎？

（3）等腰三角形頂點的外角是底角的2倍，能讓你想到這個問題的作法嗎？

（4）同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，能讓你想到這個問題的作法嗎？

本問題可以進一步討論：這樣的點P有多少個點？這些點形成什么圖形？

3.關聯能引導學生想作法

想，可以是頓悟、靈感，可以是歸納、特殊化，也可以是類比、關聯。尺規作圖的關聯表現在多方面。作圖題不同，但作圖依據有關聯，如“作一個角的平分線”“作一條線段的中點”“作一條線段的垂直平分線”“過一點作已知直線的垂線”等的作圖都是構造等腰三角形，都是依據等腰三角形性質證明的。作圖題的表達方式各異，但作圖的構想是相同的，如：

（1）已知線段AB，在線段AB上作點P，使AP2=AB·PB。

（2）已知線段a，b，作線段c，使線段c是線段a，b的比例中項。

（3）已知長方形ABCD，作正方形EFGH，使得它的面積等于長方形ABCD的面積。

（4）尺規作圖：作∠A=36°。

（5）作已知圓的內接正五邊形。

（6）已知線段a，作正五邊形ABCDE，使AB=a。

這些作圖題表達方式有別，但本質都是作兩條線段的比例中項。經常引導學生關聯已有積累，思考數學問題的解決，可以提高學生“想”數學的能力。

4.研究圖形性質從作圖開始

認識研究幾何圖形的性質，常常從操作開始，讓學生“經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，探索幾何圖形的性質。諸多教科書設計了這些活動，如圖8。

圖8

課堂中，教師會據此設計如下問題：

（1）△ABC是等腰三角形嗎？

（2）∠B與∠C有什么關系？

（3）∠BAD與∠CAD有什么關系？

（4）BD與CD有什么關系？

學生會得到，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=CD，于是由此得出是等腰三角形的結論。但是，學生們會有疑問：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=CD是因為紙片折疊重合得到的，是先有重疊再剪出等腰三角形，不是因為等腰三角形得出來的。怎樣解決這個疑問？

可以用尺規作圖解決。依次設計如下活動：

（1）尺規作圖：已知線段a，b，作△ABC，使AB=AC=a，BC=b。

a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b

（2）思考：△ABC是等腰三角形嗎？

等腰三角形一定有什么性質？你是怎么知道的？

兩腰相等什么意思？能給我們什么啟發？

（3）操作：剪下△ABC，將△ABC的兩腰重合在一起。

（4）觀察：△ABC的兩腰重合時，你觀察到什么？

兩圖形重合什么意思？從中你觀察到什么？

尺規作圖得到的等腰三角形是一般意義的等腰三角形，用它研究得到的性質具備一般性的結論，令人信服。其實，后續的平行四邊形、矩形、菱形等圖形性質的探索都可以采用這種方式。

可見，尺規作圖是認識探索圖形性質的有力工具。

（作者單位：上海赫德雙語學校）

責任編輯：胡玉敏

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